TEMA: INECUACIONES CUADRÁTICAS

03-04-11 Pregunta de jofigon

¿cómo soluciono esta inecuación? 

2x^2 + x - 1< 0 

Hola jofigon. Es una inecuación cuadrática. Tienes que factorizar el polinomio para que quede una multiplicación. Luego, se puede usar lo siguiente:

- Una multiplicación "a.b" dá resultado positivo (que es lo mismo que "mayor que cero" (a.b > 0)), si los dos factores son positivos (mayores que cero, a > 0 y b > 0); o si los dos factores son negativos (menores que cero: a < 0 y b < 0).

a.b > 0    si    a > 0  y  b > 0       ó        a < 0  y  b < 0

Y eso es por la regla de los signos:

+.+ = +    ("positivo por positivo dá positivo")

-.- = +      ("negativo por negativo dá positivo")


- Una multiplicación "a.b" dá negativo (que es lo mismo que "menor que cero" (a.b < 0), cuando uno de los factores es positivo y el otro negativo (uno es mayor que cero y el otro menor que cero: a > 0 y b < 0 ó a < 0 y b > 0)

a.b < 0    si   a > 0  y  b < 0      ó      a < 0  y  b > 0

Y eso es por la regla de los signos:

+.- = -        ("positivo por negativo dá negativo")

-.+ = -        ("negativo por positivo dá negativo")

Factorizo por el Séptimo caso:

2x² + x - 1 =

a = 2
b = 1
c = -1

x_1,2 =

          -1 +- V1² - 4.2.(-1)
x_1,2 = --------------------
                      2.2

          -1 +- V9
x_1,2 = -----------
                 4

          -1 +- 3
x_1,2 = --------
              4

x₁ = (-1 + 3)/4 = 2/4 = 1/2

x₂ = (-1 - 3)/4 = -4/4 = -1

Un trinomio de segundo grado se factoriza según sus raíces así:

a.(x - x₁).(x - x₂)       (Séptimo caso de factoreo)

Entonces este trinomio queda así:

2.(x - 1/2).(x -(1)) =

2.(x - 1/2).(x + 1)


Una vez factorizado el polinomio, reemplazo en la inecuación, y ésta queda así:

2.(x - 1/2).(x + 1) < 0

Como la inecuación es con el signo "<" (menor), hay que usar lo que te comenté al principio:

"Una multiplicación "a.b" dá negativo (que es lo mismo que "menor que cero" (a.b < 0), cuando uno de los factores es positivo y el otro negativo (uno es mayor que cero y el otro menor que cero: a > 0 y b < 0 ó a < 0 y b > 0)"

a.b < 0    si  a > 0  y  b < 0     ó     a < 0  y  b > 0

Pero allí tenemos 3 factores:

2
(x - 1/2)
(x + 1)

Entonces mejor pasamos el 2, dividiendo al otro miembro, así nos quedan sólo dos factores y podemos usar la propiedad:

(x - 1/2).(x + 1) < 0:2

(x - 1/2).(x + 1) < 0 

(recuerda que si en vez de 2 hubiera sido -2, habría que invertir la desigualda (cambiar el signo de "menor" por el "mayor")

Luego, como dijimos antes, una multipliación es menor que 0 si uno de los factores es menor que cero y el otro mayor que cero. Así que puede ser:

1)  x - 1/2 > 0    y    x + 1 < 0    ó 

2)  x - 1/2 < 0   y    x + 1 > 0


1)  x - 1/2 > 0   y   x + 1 < 0

       x > 1/2           y x < -1

</////////////)|----|--|(/////////////>
-∞            -1      0  1/2             +∞

No hay ningún número que cumpla con esas dos condiciones al mismo tiempo, así que por aquí no tenemos ninguna solución.


2)  x - 1/2 < 0    y    x + 1 > 0

          x > 1/2    y       x < -1

<-----------|(////|//)|-------------->

-∞            -1     0   1/2               +∞

Los números que cumplen con esa condición son los que pertenecen al intervalo (-1;1/2)

Solución: (-1;1/2)