RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: CIRCUNFERENCIA - ANGULOS INSCRIPTOS - ARCOS

17-03-11 Pregunta de hankalejo

de acuerdo con los datos de la figura, si PT y PR son tangentes a la circunferencia en T y R respectivamente, entonces, ¿cuál es la medida del arco mayor TMR?




Hola hankalejo. A mí se me ocurrió esto (no sé qué estás cursando, qué propiedades te dieron, qué tema es. Ésta es una manera de resolverlo, con los temas de Nivel medio. No sé si hay otra). Los temas que voy a usar son: ángulos inscriptos, propiedad de las tangentes, cuadriláteros, y figuras circulares.

El arco se puede calcular conociendo el ángulo central correspondiente. Así que vamos a tratar de encontrar el valor del ángulo central:

En el dibujo traza los radios desde T y R (es decir, segmentos desde T al centro de la circunferencia, y lo mismo desde R). Al centro de la circunferencia le ponemos la letra O:




Allí puedes ir observando que los radios (OT y OR) son perpendiculares a las semirrectas TP y RP (es una propiedad de las tangentes). También podrás ver que se forma un romboide con los vértices T, P, R y O (ya que OT = OR por ser radios de la misma circunferencia, y los ángulo OTP y ORP son iguales, pues son ambos ángulos rectos). Y entonces se puede calcular el valor del ángulo x. Te digo cómo:

Resulta que el ángulo TMR es un ángulo inscripto, y su ángulo central correspondiente es TOR. Como el ángulo central es igual al doble del inscripto (es una propiedad), el ángulo TOR mide 2x (el doble de x). Lo ponemos en el dibujo:




Entonces tenemos un romboide con un ángulo que mide 2x y otro que mide x. Y los otros dos ángulos son ángulos rectos, porque son los ángulos que forman las tangentes con los radios (como te comenté antes, las tangentes son perpendiculares a los radios). Como son ángulos rectos, sabemos su medida: 90°.

Entonces ahora tenemos un cuadrilátero, cuyos ángulos miden: 90°, 90°, x y 2x. Y sabemos que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360°. Como tenemos una sola incógnita, podemos hallar el valor de x, planteando la ecuación:

90° + 90° + x + 2x = 360°

3x = 360° - 90° - 90°

3x = 180°

x = 180°:3

x = 60°

Entonces, si el ángulo inscripto x es igual a 60°, el ángulo central correspondiente es igual a:

Angulo central = 2xAngulo inscripto

Angulo central TOR = 2.60° = 120°

Y conociendo el ángulo central, se puede calcular la medida del arco. Pero nos piden el arco mayor TMR. Para ese arco, el ángulo central correspondiente no es el de 120° (ese corresponde al arco menor), sino el ángulo cóncavo, que se puede calcular así:

360° - 120° = 240°

Porque el ángulo que, junto con el de 120°, completan toda la vuelta de 360°:



Ahora, la medida del arco TMR, correspondiente al arco de 240°, se puede hallar con una fórmula, o planteando una regla de tres simple. Porque, para un ángulo de 360°, el arco es toda la circunferencia, entonces la medida del arco es el perímetro o longitud de la circunferencia, y eso se calcula así:

Perímetro de la circunferencia = 2∏.r

Entonces, a 360° le corresponde un arco que mide 2∏.r. Como la medida de los arcos es directamente proporcional a la medida de los ángulos centrales, podemos plantear:

360° ------ 2∏r
240° ------ x = 240°.2∏.r/360°

x = 480°∏r/360° 

x = (4/3)∏.r            (MEDIDA DEL ARCO MAYOR TMR) 


Si conociéramos el radio, podríamos hallar la medida numérica del arco (porque ∏ es un número, que podemos redondear a 3,14). Pero como no te dan el radio, eso es lo más que averiguar:

ARCO MAYOR TMR = (4/3)∏.r

Y también te doy la fórmula para hallar el arco, por si lo prefieres a usar la regla de tres simple:

Arco = Angulo.2∏.r/360°   (Ángulo por 2∏ por radio, sobre 360°)