TEMA: NÚM. IRRACIONALES - RADICALES - OPERACIONES - RACIONALIZACIÓN

30-04-11 Pregunta de michael      (OPERACIONES CON RADICALES)

simplificar las expresiones usando la propiedad de los radicales. 

a) -2 raiz 50+3 raiz 18-6 raiz 32 

b) (raiz 6+2) al cuadrado 

c) raiz 80-6 raiz 20+3 raiz 45 

d) (al cubo raiz 9x al cuadradoy) (al cubo raiz 27x4y 

e) (raiz 5-2) (raiz 5+2) 

necesito ayuda lo mas rapido posible es muchiismas graias por su ayuda!

Cursando:: 4 to de bachiller
Edad:: 17
Nacionalidad:: dominicana
¿Qué opinas de la web?: esta muy bien

Hola michael.

a) -2V50 + 3V18 - 6V32 =

Es una suma algebraica de radicales. Para resolver eso necesitas saber varias cosas:

- Sumar/restar radicales. Debes saber que se pueden sumar/restar los términos con radicales "semejantes" (es decir, que tienen "raiz de lo mismo", por ejemplo: las V2 con las V2, las V3 con las V3, etc.). Por ejemplo:

2V3 + 5V3 = 7V3          (porque 2 + 5 = 7)

- Simplificar radicales (El índice se simplica con el exponente, cuando se puede, tal como en una fracción el numerador con el denominador: dividiendo a ambos por el mismo número. Por ejemplo:

³V5⁶ = ³V5⁶² = 5² 

Porque 6:3 = 2, y 3:3 = 1. Cuando en el índice queda 1 se tacha la raiz, porque raiz de índice 1 no existe.

Pero sobretodo tienes que saber que se puede simplificar cuando el índice y el exponente son iguales:

³V7³ = ³V7³ = 7

V5² = V5² = 5 

(recordemos que si el símbolo V   no tiene número como índice, es porque es un raiz cuadrada y por lo tanto el índice es 2)

- Extraer factores fuera del radical. Cuando el exponente es mayor que el índice, se puede "separar" la potencia en varios factores y simplificar algo, con lo cual va a quedar algún factor fuera del radical. Por ejemplo:

V5³ = V5².5¹ = V5².V5¹ = V5².V5 = 5.V5

- Propiedad distributiva de la raíz con el producto: Va.b = Va.Vb

- Descomponer o "factorizar" números compuestos en sus factores primos (eso seguramente lo sabes, se hace mucho en la primaria, para calcular el mcm y el mcd)

Y ahora aplicamos todo eso el ejercicio:

-2V50 + 3V18 - 6V32 =

Los radicales no son semejantes. Pero 50, 18 y 32 son números compuestos. Los podemos descomponer y extraer factores fuera del radical, y quizás luego de hacer eso nos queden radicales semejantes:

50 | 2
25 | 5
 5 | 5
 1 | 1

50 = 2.5²

V50 = V2.5² = V2.V5² = V2.V5² = V2.5 = 5V2

Así que, en la suma algebraica, vamos a reemplazar a V50 por 5V2. Pero yo prefiero hacer primero lo mismo con todos los radicales y luego los reemplazo a todos en un solo paso.

(Nota: Es preferible poner adelante al número que está fuera del radical. Así se entiende más que es el "coeficiente" de ese radical, que luego podemos sumar con otro)

18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 1

18 = 2.3²

V18 = V2.3² = V2.V3² = V2.V3² = V2.3 = 3V2

32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
 1 | 1

32 = 2⁵

V32 = V2⁵ = V2⁴.2¹ = V2⁴.V2¹ = V2⁴².V2¹ = 2².V2 = 4V2

Y ahora reemplazo los tres radicales:

-2V50 + 3V18 - 6V32 =

-2.5V2 + 3.3V2 - 6.4V2 =

-10V2 + 9V2 - 24V2 =

Y ahora, todos esos términos tienen radicales "semejantes", así que se pueden sumar/restar como te mostré antes:

-10V2 + 9V2 - 24V2 =

-25V2             (porque -10 + 9 - 24 = -25)


O también se puede "pensar" así:

(-10 + 9 - 24).V2 =

-25V2

Y que lo que se está haciendo es como factor común a V2, ya que V2 está multiplicando en todos los términos.


b) (V6 + 2)² =

(Supongo que es así, porque si el (6 + 2) estuviera adentro de la raiz, el ejercicio sería demasiado fácil)

Es una suma de dos términos elevada al cuadrado, es decir: un "binomio al cuadrado". Entonces se puede resolver aplicando la fórmula para el Cuadrado de un binomio:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(V6 + 2)² = (V6)² + 2.V6.2 + 2² = (V6)2 + 4V6 + 4 = 6 + 4V6 + 4 = 10 + 4V6


c) Ése es como el a). Con lo que te dije espero que lo puedas hacer.


d) ³V9x²y.³V27x⁴y =

Es una multiplicación de raíces del mismo índice. Eso se resuelve sabiendo que, para raíces del mismo índice:

ⁿVa.ⁿVb = ⁿVa.b

Es decir, bajo una sola raiz se pone la multiplicación.

³V(9x²y).(27x⁴y) =

Y ahora se resuelve la multiplicación. Como está todo multiplicando, y la multiplicación cumple con la propiedad "conmutativa" (se puede cambiar el orden de los factores) y asociativa, se pueden multiplicar los números con los números, y las potencias de igual base (sumando los exponentes). Los siguientes pasos no son necesarios, pero los hago para que se vea cómo estoy aplicando las propiedades para que se pueda hacer eso:

³V(9x²y).(27x⁴y) =

³V9.27.x².x⁴.y.y =             (cambié el orden de los factores, prop. conmutativa)

³V(9.27).(x².x⁴).(y¹.y¹) =             (asocié los factores)

³V243.x²⁺⁴.y¹⁺¹ =            (sumo los exponentes de las mismas bases)

³V243.x⁶.y²

Pero como 243 es un número compuesto, lo tengo que descomponer para ver si se pueden extraer factores fuera del radical:

243 | 3
81 | 3
27 | 3
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 1

243 = 3<sup>5

3</sup>V3⁵x⁶y² =

3V3³.3²x⁶.y² =

Y ahora separo para simplificar los radicales que se pueden. Con x⁶ también se puede simplificar el índice 3.

³V3³.³V3².³Vx⁶.³Vy² =

³V3³.³V3².³Vx⁶².³Vy² =

3.³V3².x².³Vy² =

Ahora ordeno las cosas: cambio el orden de los factores, para que quede adelante todo lo que está fuera de los radicales. Y multiplico de nuevo las raíces, para que quede todo bajo una sola raiz:

3.x².³V3²y² =

Y como ya no se puede hacer más nada dentro del radical, resuelvo 3² = 9:

3x².³V9y²


e) (V5 - 2).(V5 + 2) =

Eso es una "suma por resta" de dos binomios con los mismos términos. En uno están sumando y en el otro restando. Este tipo de multiplicación es uno de los "Productos notables" (porque dá un resultado "especial" digamos), y se puede resolver directamente aplicando una fórmula (sin necesidad de multiplicar los binomios con la propiedad distributiva). La fórmula es:

(a + b).(a - b) = a² - b²

Se la aplicamos a este ejercicio:

(V5 - 2).(V5 + 2) =

(V5)² - 2² =

(V5)² - 2² =

5 - 4 = 1

14-03-11 Pregunta de Sofia         (SUMAS Y RESTAS DE RADICALES)

Hola marce!! mi nombre es sofia y mañana tengo examen de matematica y no me salen estos ejercicios, te los dejo si me los podes hacer o explicar, si podezs!!, son estos:

1- Siendo m=2-3√5 y p=2+3√5

a- m+p
b- p-m
c- m*p
d- p²-m²

DESDE YA MUCHAS GRACIAS Y ESPERO PUEDAS AYUDARME!!

besos!

Hola sofia.

a) LA SUMA:

m + p = 2 - 3V5 + 2 + 3V5 = 4 + 0V5 = 4 + 0 = 0

Explicación:

2 - 3V5 + 2 + 3V5 =

Allí tienes 4 términos. Puedes "juntar" (sumar/restar entre sí) :

- Los términos que tengan "raíces de lo mismo" ("radicales semejantes")
- Los términos que sean números sin raíces ("números solos")

En este ejemplo puedes "juntar" entre sí los términos que tienen raíz de 5, por un lado (son el 2do y 4to término). Y por el otro lado el 2 y el 2 (del 1er término y el 3ero):

2 + 2 = 4

Esa cuenta no necesita explicación creo.

-3V5 + 3V5 = 0V5

Y esa cuenta seguro que sí. Así que te digo: Para "juntar" los términos con raíz, tienes que sumar o restar los números que están multiplicando a la raíz. En este ejemplo son el "-3" y "3" que tienen delante::

-3 + 3 = 0

Por eso dió 0V5. Luego, los pasos son:

m + p = 2 - 3V5 + 2 + 3V5 = 4 + 0V5 = 4 + 0 = 4

(porque 0V5 es una multiplicación por 0, así que dá cero)

Como siempre, un ejemplo cualquiera (y menos si es un caso particular) no es bueno para explicar el tema. Te voy a mostrar algunos otros parecidos para que se vaya entendiendo mejor:

2V5 + 8V5 - 4V5 - 3V2 =

Allí tenemos todos términos con raíces. Los 3 primeros son raíces de lo mismo ("raíces de 5"), pero el último tiene una raíz diferente. Se pueden "juntar" entre sí solamente los 3 primeros términos. Y la cuenta que hay que hacer es:

2 + 8 - 4 = 6

Así que van a quedar:

6V5

Y como no hay otro término con V2 más que el último, no lo puedo juntar con nada: va a quedar igual. Así que:

2V5 + 8V5 - 4V5 - 3V2 = 6V5 - V2

Otro:

-4V3 + 5 + (1/2)V3 - 6V2 + V2 - 8 =

Allí se pueden juntar entre sí:

- los que tienen V3
- los que tienen V2
- los número solos

- Para los que tiene V3, la cuenta es:

-4 + 1/2 = -7/2

Así que quedan (-7/2)V3

- Para los que tienen V2:

-6 + 1 = -5       (el "1" es porque el término V2 es igual a 1V2)

Así que quedan: -5V2

- Para los números solos, la cuenta es:

5 - 8 = -3

Así que:

-4V3 + 5 + (1/2)V3 - 6V2 + V2 - 8 = (-7/2)V3 - 5V2 - 3


b) LA RESTA:

p - m = 2 + V3 - (2 - V3) = 2 + V3 - 2 + V3 = 0 + 2V3 = 2V3

Explicación:

Por ser una resta, tuve que poner un paréntesis delante del número "m" (el que se resta). Porque tiene dos términos. Al tener más de un término, el signo menos de la resta afecta a todos los términos del número, y se pone un paréntesis para indicar eso. Si no le pones el paréntesis, no estarías restando a todo el número m = 2 - V3, sino solamente al número 2. Así que eso hay que tener en cuenta en una resta.

Luego se quita el paréntesis. Al haber un signo menos delante del paréntesis, al quitarlo cambian los signos de todos los términos que estaban dentro de él (como ya debes saber desde que aprendiste a hacer ejercicios con números enteros). Por eso, siendo que m = 2 - V3, al final quedó: -2 + V3. Porque al quitar el paréntesis, hay que cambiar los signos de ambos términos.

Y luego de quitar paréntesis te queda como la suma, que te expliqué en el ejercicio anterior cómo se hace:

2 + V3 - 2 + V3 =

2 - 2 = 0

V3 + V3 = 1V3 + 1V3 = 2V3

Por eso el resultado es:

0 + 2V3 = 2V3

06-03-11 Pregunta de luz              (RAICES IRRACIONALES)

se deben conseguir 10 numeros que al elevarlos al cuadrado seas cercanos a 2y que tengan entre 3 y 6 cifras decimales

Hola luz. Eso lo puedes encontrar probando. Sabemos que 1 al cuadrado dá 1, y que 2 al cuadrado dá 4. Entonces, un número que al cuadrado dé cercano a 2, tiene que estar entre 1 y 2. Probemos con alguno:

(1,5).(1,5) = 2,25

Ahí tenemos un número que al cuadrado dá "cercano" a 2. Si quiero un número que dé más cercano todavía, debo tomar un número más chico que 1,5. Y además pide que tengan entre 3 y 6 cifras decimales (3, 4, 5, o 6 cifras decimales), así que el 1,5 no sirve. Pero podríamos imaginarnos que, para que tenga más cifras decimales el resultado, le tenemos que poner más cifras decimales al número. Así que ahora voy a probar con otro número que cumpla con eso:

(1,25).(1,25) = 1,5625

Bueno, no sé si eso es muy "cercano" a 2. No sé cuán cercano quieren que sean los números a 2. Me parece que es mejor si nos dá de 1,8 para arriba, y de 2,1 para abajo. Así que busquemos acercarnos un poco más. Ahora elijo un número entre 1,25 y 1,5, porque el primero me quedó muy chico, y el segundo muy grande:

(1,45).(1,45) = 2,1025

Ahí encontramos un buen ejemplo, que cumple con todo: cercano a 2, y con 4 cifras decimales (o sea, entre 3 y 6 cifras decimales). Y ahora los otros 9 ejemplos que te piden los buscas en números cercanos a ése. Y puedes variar el número de decimales si quieres que dé otra cantidad de cifras. Te muestro algunos más, y luego que dejo a tí para que busques otros:

(1,435).(1,435) = 2,059225

(1,415).(1,415) =2,002225

(1,39).(1,39) = 1,9321

(1,41).(1,41) = 1,9881

10-12-10 Pregunta de Laura Carolina       (RACIONALIZACIÓN)

Hola!

Otro ejercicio:

√((4 - √2) / (8 - √2))

GRACIAS!

Hola Laura Carolina. El otro ejercicio es de racionalización.


√4 - √2        8 + √2
---------- * ---------=
8 - √2           8 + √2

√4 - √2 . (8 + √2)
------------------- =
     (8)² - (√2)²

√(4 - √2).(8 + √2)
-------------------- =
        64 - 2

√(4 - √2).(8 + √2)
------------------- =
             62

Racionalizar es un procedimiento para que no queden raíces en el denominador (transformar al denominador en un número racional, ya que las raíces que no dan "exactas" son irracionales). Cuando en el denominador hay dos términos, se puede racionalizar multiplicando por una fracción que abajo y arriba tenga los dos mismos términos que el denominador, pero cambiándole el signo al segundo término:

8 - √2 ------- > 8 + √2       CONJUGADOS

A 8 + √2 se le llama "el conjugado" de 8 - √2. Entonces, hay que multiplicar una fracción que arriba y abajo tenga el conjugado del denominador. Así se logra que quede una multiplicación de "suma por resta de los mismos términos" entre los denominadores. Y una "suma por resta de los mismos términos" dá como resultado "el primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado (una diferencia de cuadrados)":

(a + b).(a - b) = a² - b²

De esa forma se logra que la o las raíces que haya en el denominador queden elevadas al cuadrado. Y entonces se pueden simplificar, pues potencia 2 con raíz cuadrada se simplifican:

(√2)² = 2

Te comento que en numerador se podría hacer otra cosa para que quede más simple. Pero eso si te dieron el tema "Introducir factores dentro del radical", que en general no lo ven, depende del nivel del curso. Si lo viste, tendrías que introducir a (8 + √2) dentro de la raíz esa bajo la cual está (4 - √2). Si lo necesitas me preguntas y te muestro esa parte cómo hacerla. Sino lo viste, lo dejas así.