TEMA: FUNCIÓN LINEAL - ECUACIÓN DE LA RECTA

25-02-11 Pregunta de Andrea        (PROBLEMA PARA HALLAR LA FÓRMULA)  

Yo otra vez. Esta vez con un problema, me podrías enseñar paso a paso como se hace. 

Una fábrica de pisos antideslizantes P&M está desarrollando un nuevo tipo de plastificado de alta resistencia para uso industrial. Este plastificado lleva un pulido especial. Los técnicos que probaron las distintas posibilidades de pulido, establecieron el precio del metro cuadrado de piso listo para transitar en función de la superficie que ocupa. El mejor sitema que encontraron cuesta $25 el metro cuadrado. Además, cobran un gasto fijo de asesoramiento permanente de $80. 
Considerar la recta p(s) que asigna el precio correspondiente p(en $) a la superficie s en piso plastificado (en m^2). 
A) Completar la tabla de valores: 

SUPERFICIE(m^2) PRECIO ($) 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
3 

B) Indicar la ecuación de la recta p. Graficarla. 
C) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la dependiente? 
D) ¿Cuál es el costo de plastificar un piso de 25m^2? 
E) ¿Qué superficie tiene un piso cuyo plastificado tiene un costo de $280? 

Espero me respondas. Desde ya muchas gracias!!


Hola de nuevo Andrea. En base a lo que te dice el problema tienes que deducir la fórmula de la función. Si se cobran 25$ por metro, para calcular cuanto cuesta "s" (de superficie) cantidad de m² hay usar la fórmula:

25.s

Es decir: multiplicar el precio (25$), por la cantidad (s) de m². Por ejemplo, para calcular cuánto cuesta un piso de 4 m², hay que hacer la siguiente cuenta:

25.4 = 100

Va a costar 100$. 

Pero también hay un gasto fijo de 80$. Eso quiere decir que, además de los "25.s" pesos que hay que pagar, también hay pagar 80$ más. Esto es un "gasto fijo", es decir que no depende de la cantidad de m² que pidas: no depende de s. Así que siempre tendrás que pagar: "25.s" más otros 80$. La fórmula que representa eso es:

25.s + 80

Así que tenemos una función cuya fórmula es:

p(s) = 25s + 80

Que para cada valor de s (superficie en m²), te dá el precio que cuesta: p(s). Ahora que tenemos la fórmula, veamos las preguntas:

A) TABLA DE VALORES: Para completarla hay que reemplazar la s de la fórmula por la superficie (s). El resultado será el precio p(s) correspondiente a esa superficie.

SUPERFICIE(m²)      PRECIO ($) 
0.5                            92,5            Porque p(0,5) = 25.0,5 + 80 = 92,5
1                              105              Porque p(1) = 25.1 + 80 = 105
1.5 
2 
2.5 
3 

Y el resto de la tabla se completa de igual manera. Te lo dejo a vos ya que puedes guiarte por los dos ejemplos que te dí (cualquier duda me preguntas).


B) La "ecuación de la recta" es lo mismo que la fórmula de la función:

p(s) = 25s + 80

O si se prefiere con "x" e "y":

y = 25x + 80

Para graficarla puedes usar los puntos de la tabla. Sobre el eje x (horizontal) se representa la superficie, y sobre el eje y (vertical), el precio. Puedes evitar los puntos que dieron resultados "con coma", ya que con sólo dos puntos alcanza para graficar una recta. Te recomiendo el punto (1,105), y los otros puntos que dan resultados enteros. Me imagino que sabes graficar puntos del plano. Y tendrás que usar una unidad adecuada para el eje "y" (porque son números grandes): yo diría que podías tomar que un cuadradito equivale a 10, entonces al décimo cuadradito tienes 100. Así podrás graficar el 105, y los otros dos números que están por arriba de 100.


C) La variable independiente es la "s" (superficie en m2), porque podemos ponerle valor a gusto nuestro (según la superficie que querramos plastificar). Y la variable dependiente es "p" (precio), porque depende del valor que le demos a la "s", es decir: el precio que cuesta el plastificado del piso depende de la cantidad de m2 que querramos plastificar.


D) Para calcular el precio de un piso, hay que reemplazar en la fórmula la "s" con la superficie del piso. Así que si son 25m2:

p(s) = 25s + 80

p(25) = 25.25 + 80 = 705

El costo es de 705$


E) Ahora al revés: sabemos el costo (280$, que es el resultado de aplicarle la fórmula a cierto valor de "s" que desconocemos), y no sabemos la superficie "s". Así que hay que plantear la siguiente ecuación:

p(s) = 25s + 80

25x + 80 = 280

25x = 280 - 80

25x = 200

x = 200/25

x = 8

La superficie es de 8m².

24-02-11 Pregunta de luciana      (PROBLEMA CON FUNCIÓN COSTO E INGRESO)

Sigo molestando, quisiera saber si este ejercicio de funcion lineal está bien resuelto y cómo tengo que graficar. 
Gracias 

Una llantera fabrica neumáticos y cobra $350 por pieza fabricada. La empresa tiene un costo fijo de $19500 mensuales y $150 por cada neumático fabricado. 
a.- funciones lineales para costo y para ingreso por cada pieza fabricada 
b.- representar en el gráfico 
c.- Cuánto le cuesta a la fábrica producir 250 neumáticos 
d.- Cuántos neumaticos debe vender para tener un ingreso de $5250 
e.- Si fabrica 800 piezas pierde, gana? cuanto? 
mis respuestas fueron estas: 

a. costo: fx= 150x + 19500 
ingreso: fx= 350x 

c. 150 x 250 + 19500 
fx= 57000 

d. 350x=5250 
x= 15 

e. funcion costo 
fx= 150 x 800 + 19500 
fx= 139500 

funcion ingreso 
fx= 350 x 800 
fx= 280000 

ingreso - costo 
280000 - 139500 = 111500 ganancia


Hola luciana. Está bien lo que hiciste. Y para graficar las dos rectas puedes usar los puntos que hallaste antes. Sabrás que con dos puntos alcanza para graficar una recta: Graficas dos puntos, los unes, y tienes la recta.

Para la función costo:

f(x) = 150x + 19500

encontraste los puntos:

(250,57000)

(800,139500)

porque averiguaste que fabricar 250 piezas tiene un costo de 57000, y que fabricar 800 piezas tiene un costo de 139500.


Para la función ingreso:

f(x) = 350x

encontraste los puntos:

(15,5250)

(800,28000)

porque averiguaste que para tener un ingreso de 5250 hay que fabricar 15 piezas, y que fabricando 800 se obtiene un ingreso de 28000.

06-12-10 Pregunta de martín 

Estoy estudiando matematica para rendir el ingreso a la Universidad Nacional del Sur y estoy teniendo problemas para resolver el siguiente ejercicio de la unidad de RECTAS, el ejercicio es el siguiente:

Determine , en cada caso, el o los valores de k para los caules la recta de ecuacion kx + (2k+1) + 3 = 0:
a) es vertical.
b) tiene pendiente igual a (raiz cuadrada de 3)/3

Les agradeceria que me puedan ayudar en la resolucion de este tipo de ejercicios

Muchas gracias 


Hola martin. Me parece que copiaste mal la ecuación de la recta (te olvidaste de la "y"). Porque debe ser así:

kx + (2k + 1)y + 3 = 0

Es una ecuación que está en la forma general:

ax + by + c = 0

Ahora te muestro cómo resolver cada punto:

a) Las rectas verticales tienen ecuación de esta forma:

x = k       (k es cualquier número real)

Por ejemplo:

x = 2 es la recta vertical que corta al eje x en el 2.

Las fórmulas de las rectas verticales no son fórmulas de funciones. Son fórmulas que no tienen "y", sólo la "x" (ojo, eso no tiene nada que ver con que te la olvidaste en el enunciado ¿eh?). Luego, si queremos que kx + (2k + 1)y + 3 = 0 sea la fórmula de una recta vertical, hay que buscar la manera de eliminar el término que tiene "y". Y la forma de hacerlo es que lo que esté multiplicando a la "y" sea igual a cero:

kx + (2k + 1)y + 3 = 0

2k + 1 = 0

Se tiene que cumplir eso para que la recta sea vertical. Después que encontremos el valor de k te muestro cómo podemos verificar eso, lo cual te sirve para entender mejor por qué:

2k = -1

k = -1/2                (Respuesta al punto a) )


Eso significa que, cuando k = -1/2, 2k + 1 es igual a cero. Y la "y" desaparece de la fórmula, porque queda multiplicada por 0. Reemplacemos en la fórmula, con la k que hallamos, para comprobar que obtenemos la fórmula de una recta vertical:

Verificación:

kx + (2k + 1)y + 3 = 0

-1/2 x + (2.(-1/2) + 1)y + 3 = 0

-1/2 x + (-1 + 1).y + 3 = 0

-1/2 x + 0.y + 3 = 0

-1/2 x + 3 = 0

-1/2 x = 0 - 3

-1/2 x = -3

x = -3:(-1/2)

x = 6

Ves como quedó una fórmula sin "y", del tipo x = k, que representa a una recta vertical.

Podemos decir, como conclusión, que la condición para que la recta sea vertical es que el número que multiplica a la "y" tiene que ser igual a cero. Eso te sirve para cualquier otro ejercicio similar: tienes que plantear que la expresión que está multiplicando a la "y" debe ser igual a cero.


b) tiene pendiente igual a √3/3

Esto lo puedes hacer de varias formas. Una de ellas es despejar la "y", para que la ecuación quede en la forma explícita:

y = mx + b

Porque en esa fórmula se puede ver la pendiente de la recta: es la "m", el número que está multiplicando a la "x".

La otra forma es directamente usando la fórmula de la pendiente conociendo la ecuación general de la recta:

Si ax + by + c = 0, la pendiente es igual a:

pendiente = -a/b


Te lo muestro de las dos maneras, para que tú decidas:

1) Despejando la "y" para pasar a la forma explícita:

kx + (2k + 1)y + 3 = 0

(2k + 1).y = 0 - kx - 3

(2k + 1).y = -kx - 3



             (lo separé en dos fracciones de denominador 2k + 1)



Como dije antes, la pendiente es el número que multiplica a la x:

Pendiente:

Y pedía que la pendiente fuera igual a √3/3:



Entonces, para encontrar "k" hay que resolver esa ecuación:

-k = √3/3 . (2k + 1)

-k = 2k.√3/3 + √3/3

-k - 2k√3/3 = √3/3

k.(-1 - 2√3/3) = √3/3




Y lo correcto sería racionalizar:





k = √3 - 2        (Respuesta al punto b) )


2) Usando la fórmula:

Dada la ecuación de la recta en su fórmula general:

ax + by + c = 0

La pendiente es igual a:

Pendiente: -a/b

La fórmula de nuestra recta era:

kx + (2k + 1)y + 3 = 0

Allí tenemos que:

a = k  (lo que está multiplicando a la "x")

b = 2k + 1 (lo que está multiplicando a la "y")

Pendiente = -a/b =

Ésa es la misma expresión a la que llegué resolviéndolo de la otra manera. Luego, pide que la pendiente sea igual a √3/3. Así que hay que igualar esa fórmula a √3/3 y resolver la ecuación, lo cual ya está hecho arriba: ver aquí.