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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: ECUACIONES LOGARÍTMICAS

25-11-10 Pregunta de Ro

Hola, tengo un ejercicio que no puedo resolver, me gustaria que me ayudaran. 
Ejercicio: 
log en base 10 de (x-1) + log en base 10 de (3x+1) = log en base 10 de 3 por (x^2-2) 

Espero que entiendan la forma en que lo escribi. 

Saludos.

Hola Ro. Como tienes varios "logaritmos", tienes que usar las Propiedades de los logaritmos para que quede un solo logaritmo, al menos uno de cada lado. En el primer término hay que usar la Propiedad del logaritmo de un producto (multiplicación), ya que tienes una suma de logaritmos:

Propiedad

log (a.b) = log a + log b

En realidad hay que usarla "al revés":

log a + log b = log (a.b)

Como dicen algunos: "La suma se transforma en multiplicación"

Porque en la ecuación que nos dieron tenemos la suma de dos logaritmos, y según la Propiedad eso es igual a un solo logaritmo de la multiplicación de lo que había en cada logaritmo (argumento). Así que lo aplico en el primer miembro de la ecuación:

log (x - 1) + log (3x + 1) = log [3.(x2 - 2)]

log [(x - 1).(3x + 1)] = log [3.(x2 - 2)]

(los corchetes los uso aquí para que se entienda que toda la expresión está "dentro del logaritmo")

Luego, hay dos miembros en los que sólo tenemos "logaritmo de algo". Entonces se puede cancelar la operación "logaritmo", pues "si los logaritmos de dos cosas son iguales, esas dos cosas deben ser también iguales" (es una propiedad, no es una suposición, y lo puedes hacer siempre con el logaritmo. Ojo que no vale para cualquier operación, sólo para algunas, entre las que está incluido el logaritmo). Así que cancelo, y me queda:

log [(x - 1).(3x + 1)] = log [3.(x2 - 2)]


(x - 1).(3x + 1) = 3.(x2 - 2)

Eso es un ecuación ya sin logaritmo. Hay que encontrar el valor de x, así que tratamos en lo posible de despejarla. Empecemos aplicando la Propiedad distributiva:


3x2 + x - 3x - 1 = 3x2 - 6

Paso las x al mismo miembro, para "juntar" las que son del mismo grado:

3x2 - 3x2 + x - 3x - 1 = -6

-2x - 1 = -6

Por suerte se cancelaron las x2, así que me quedó una sencilla ecuación de primer grado:

-2x = -6 + 1

-2x = -5

x = -5/-2

x = 5/2

Esa podría ser la solución de la ecuación, pero hay que verificar si cumple la "Condición de existencia". Porque para que se pueda calcular el logaritmo de un número, este número debe ser mayor que cero, ya que no existe logaritmo de cero ni de números negativos (en la calculadora te dá error). Entonces tengo que ver que, al reemplazar las x de la ecuación por 5/2, no me quede en ningún caso el logaritmo de un número negativo ni de cero. Porque si así sucediera, no se podría calcular el logaritmo, entonces la igualdad que plantea la ecuación no sería verdadera, es decir que 5/2 no verificaría la ecuación, y por lo tanto 5/2 no sería solución de la ecuación. Así que voy a probar a 5/2 en cada logaritmos que aparece en la ecuación. Prefiero hacer cada uno por separado:

Esta era la ecuación:

log (x - 1) + log (3x + 1) = log [3.(x2 - 2)]

Reemplazo en cada argumento ("lo que está dentro del logaritmo"):

(x - 1) = 5/2 - 1 = 3/2   es un número positivo

(3x + 1) = 3.(5/2) + 1 = 15/2 + 1 = 17/2      es positivo

3.(x2 - 2) = 3.[(5/2)2 - 2] = 3.(25/4 - 2) = 3.(13/4) = 39/4    positivo

Es decir que se puede reemplazar con 5/2 en todos los argumentos de los logaritmos de la ecuación, sin obtener en ninguno un número negativo ni el cero. Así que podemos decir que x = 5/2 es solución de la ecuación logarítmica:

Solución: x = 5/2

(Para ampliara te recomiendo leer el ejercicio que sigue abajo (19-11-10 hernán), que es muy parecido al tuyo y usa otra de las Propiedades del logartimo.



19 -11 -10 Pregunta de hernan

hola no me sale esta ecuacion log2 (x^2 +3x+3) - log2 (2x - 3) = log2 (2x +1) referencia ^ = elevado a 2 en este caso 

Hola hernan. Hay que usar una de las Propiedades de los logaritmos para que quede un solo logaritmo de cada lado. Luego, se pueden cancelar los logaritmos. Como es una resta de logaritmos, corresponde usar la Propiedad del logaritmo de una división o cociente (ver propiedad).

log2 (x2 + 3x + 3) - log2 (2x - 3) = log2 (2x +1)

log2 (x2 + 3x + 3)/(2x - 3) = log2 (2x + 1)

(En el primer miembro transformé una resta de logaritmos en el logaritmo de una división, por la Propiedad del logaritmo de una división o cociente. La división la puse como fracción porque es más conveniente en estos casos para trabajar luego con la ecuación que va a quedar)

Ahora, como ambos miembros son logaritmos de la misma base, puedo pensar que "cancelo" los logaritmos. En realidad, estoy usando este concepto: si los logaritmos de dos cosas son iguales, es porque esas dos cosas son también iguales. Eso, para los logaritmos, vale; pero ojo que no vale para cualquier operación, por ejemplo no vale para la potencia cuadrado ni otras potencias pares. Entonces me queda solamente lo que está dentro de los logaritmos:

(x2 + 3x + 3)/(2x - 3) = 2x + 1

Éso es una ecuación racional, y la forma más fácil de resolverla es pasar el denominador multiplicando al otro miembro (aclarando luego la Condición de existencia, porque ese pasaje no vale para cualquier valor de x):

x2 + 3x + 3 = (2x + 1).(2x - 3)

Ahora es una ecuación cuadrática. Aplico distributiva para "soltar" a todos los términos, luego los agrupo por grado para que quede uno solo de cada grado. Y paso todo del mismo miembro, para que quede "cero" en el otro y poder usar la "fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas":

x2 + 3x + 3 = 4x2 - 6x + 2x - 3

x2 - 4x2 + 3x + 6x - 2x + 3 + 3 = 0

-3x2 + 7x + 6 = 0

Fórmula resolvente:


x1,2 =

x1,2 =

x1 = (-7 + 11)/(-6) = 4/(-6) = -2/3

x2 = (-7 - 11)/(-6) = -18/-6 = 3


Ésas son las dos posibles soluciones de la ecuación. Pero tienen que cumplir con la condición de existencia para la ecuación racional y además para la logarítmica. Para que un número sea solución de una ecuación racional, no debe hacer que el denominador dé cero, ya que dividir por cero no se puede, y los denominadores de las fracción están "dividiendo". Y para que un número sea solución de una ecuación logarítmica, no debe hacer que el argumento del logaritmo (lo que está dentro del paréntesis), valga cero ni sea un número negativo. Pues no existe el logaritmo de cero ni de los números negativos (prueba un ejemplo en la calculadora y verás que dá error).

1) Condición de existencia para la ecuación racional:

2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Entonces, x debe ser desigual a 3/2. Porque si fuera igual a 3/2, haría que el denominador de la ecuación dé cero. Los resultados obtenidos en la cuadrática fueron:

x1 = -2/3

x2= 3

Ninguno de ellos es 3/2, así que ambos son soluciones de la ecuación racional.


2) Condición de existencia para la ecuación logarítmica:

x2 + 3x + 3 > 0

2x - 3 > 0

2x + 1 > 0

Si específicamente nos pidieran "hallar la condición de existencia", deberíamos resolver esas inecuaciones para encontrar el conjunto de los valores de x que las cumplen. Pero si no lo piden (y porque en este caso es complicado con la primera, que es cuadrática), podemos hacerlo de otra forma. Podemos reemplazar con los valores que queremos saber si cumplen la condición, hacer las cuentas, y así veremos si las cumplen:

Con x1 = -2/3

x2 + 3x + 3 = (-2/3)2 + 3.(-2/3) + 3 = (4/9) - 2 + 3 = 13/9 > 0 (esta la cumple)

2x - 3 = 2.(-2/3) - 3 = -4/3 - 3 = -13/3 < 0 (ésta no la cumple)

Como no cumple una de las condiciones, podemos decir que x = -2/3 no es solución de la ecuación logarítmica. Porque si reemplazamos en 2x - 3 dá un valor menor que cero, y entonces log2 (2x - 3) no se puede calcular, porque logaritmos de números negativos no hay. Así que descartamos esa solución (no hace falta probar la última condición, pues ya encontramos una que no cumple).

Con x2 = 3

x2 + 3x + 3 = 32 + 3.3 + 3 = 9 + 9 + 3 = 21 > 0 (ésta la cumple)

2x - 3 = 2.3 - 3 = 6 - 3 = 3 > 0 (ésta la cumple)

2x + 1 = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7 > 0 (ésta la cumple)


Es decir que x2 cumple las tres condiciones para ser solución de la ecuación logarítmica, pues cuando reemplazo con el "3" en los argumentos de los logaritmos, todos los resultados son mayores que cero, así que los logaritmos se podrán calcular. Así que la solución de la ecuación es:

x = 3

Ó, expresado como "Conjunto solución":

CS = { 3 }



13-03-10
Pregunta de nocheindiana:

Hola 
De las opciones que citaron en la respuesta es la 1: Log base C {(C al cubo)/2} 
Espero se entienda. 
A)Me piden considerando la igualdad hallar la opción correcta que proporcione la 
expresión de n en función de C. 
B)Si n=-2 determinar el valor de C. 
Muchas gracias.



Muy bien. Aclarado. 

Punto A):

Te muestro una solución posible (hay varias expresiones a las que se puede llegar, dependiendo de si se aplica logaritmo en base c o en base 2, si se aplican o no las propiedades, etc.)



       Apliqué la propiedad de la división de logaritmos

         Por la "Propiedad Uniforme"

Aquí se pueden hacer distintas cosas. Pero para que en la expresión quede una sola "n", tuve que hacer lo siguiente (si no queda una sola "n" no se podía despejar la "n"):

           c-n es igual a 1/cn (para c distinto de 0)


      quizás dudes de esto, pero es así y si quieres te lo explico

      Por la propiedad distributiva de la potencia y la multiplicación


Ves como así llegamos a que haya una sola "n". Antes traté de hacerlo de otra manera, pero quedaban varias "n" y era imposible despejar. Ahora sí podemos despejar la "n".

Como la "n" es un exponente, hay que volver a usar los logaritmos para despejarla. Se puede hacer de dos maneras: Usando la definición de logaritmos, o aplicando logaritmos en ambos miembros. Acá también es donde podríamos elegir logaritmos en distintas base ("c", "2" o cualquier otra). Como al principio los logaritmos estaban en base "c", voy a usar esa base:

         Por la "Propiedad Uniforme"

   Por la propiedad del logaritmo de una potencia



El objetivo de despejar la "n" ya está cumplido. Luego si se quiere pueden aplicarse las propiedades de los logaritmos para llegar a diferentes expresiones, por eso te decía que se puede llegar a resultados aparentemente muy diferentes, pero todos equivalentes entre sí por supuesto. Si quieres ver otros resultados puedes pedírmelos que también te los paso.


Punto B):

Se trata de reemplazar la "n" por 2 y despejar "c" para hallar su valor. O sea que ahora es la "c" la que vamos a despejar. Se puede seguir a partir de una expresión a la que habíamos llegado en el punto A):



c3 . c-n = 8n.2     Por la propiedad de las proporciones

c3-n = 8n.2        Por la propiedad de las potencias de igual base

Ahora ya podemos reemplazar la "n" por "2". (Es preferible hacer esto en este punto en lugar de seguir despejando la "c", porque habría que volver a usar logaritmos)

c3-2 = 82.2

c1 = 128

c = 128


Ése es entonces el valor de "c" cuando "n" vale 2.




LAS PROPIEDADES QUE USÉ
:

Propiedades de los Logaritmos:

Logaritmo de un cociente: 

Loga(b/c) = logab - logac

Logaritmo de una potencia:

Loga bc = c.logab

Propiedad de la multiplicación de potencias de igual base:

an . am = an+m


Propiedad distributiva de la potencia y la multiplicación:

(a.b)n = an.bn

Propiedad fundamental de la proporciones:


a/b = c/d  (b y d distinto de "0") entonces:

a.d = b.c


Espero te sirva la respuesta y cualquier duda que tengas sobre el desarrollo de esta solución puedes volver a preguntar.

Otras soluciones posibles:

1) Con base "c"

A partir del resultado final que te mostré antes:

Logaritmos

se puede llegar a otras expresiones equivalentes, si usamos las Propiedades de los Logaritmos:

Propiedades de los logaritmos   

                Porque logcc = 1

         Expresión 2

2) Con base "2":

Si cuando en la primera resolución que te dí, llegué a esto:




 hubiera elegido aplicar logaritmo en base 2 en lugar de base c, el ejercicio seguiría asi:





           Expresión 3

Ésa ya es otro resultado posible, porque logramos despejar la "n". Pero si ahora aplico las Propiedades de los Logaritmos llego a otra expresión más:




       Expresión 4           (Porque log22 = 1 y log28 = 3)

Como ves, pude llegar a 4 expresiones distintas (pero equivalentes, por supuesto) de "n en función de c", dependiendo de la base que elija, o de aplicar o no las propiedades de los logaritmos. Pero las 4 son equivalentes

Espero que te sirva y puedes seguir consultando.



Pregunta de nocheindiana


Hola gracias por la respuesta. Ahora tengo otra duda, espero me puedan ayudar. Gracias
Log base C de C al 3 sobre 2= Log base C de 8 a la n - Log base C de C a la -



Me alegro que te haya servido la respuesta a tu anterior consulta.
Paso a responder esta nueva consulta:

Primero que nada habría que aclarar bien cómo es el ejercicio, porque lo que 
escribes puede interpretarse de varias maneras. Aquí te muestro las que me parecen más probables:

1)  

2)  


3)  


Luego, sería mejor que yo pudiera ver el enunciado del ejercicio. Es decir: "lo 
que se pide". Porque en esa expresión tenemos dos letras (o incógnitas): la "c" 
y la "n". Por lo tanto no puede calcularse valor de ninguna de las dos.
Si no se pueden calcular las incógnitas, en un ejercicio así podría ser que te 
pidan alguna de las siguientes cosas:

- Despejar la "c"
- Despejar la "n"
- Aplicar las propiedades del logaritmo para reducir a su mínima expresión

Te pediría que vuelvas a copiar el ejercicio con su enunciado completo, y que me digas 
cuál es exactamente la expresión entre las opciones que te mostré (la 1, la 2, la 3 u otra diferente). Si no te dieron el enunciado, habría que ver qué tema estás viendo o cómo son otros ejercicios que estén junto a ése, para tratar deducir que es lo que pueden estar 
pidiéndote.

Espero tu respuesta.





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