TEMA: ECUACIONES LOGARÍTMICAS

16-02-11 Pregunta de jofigon

sos, urgente quiero solucionar la ecuacion logaritmica: logbase(1/2)de x+log base(4)de x^3=log base2 de8. Espero se entienda porque no hallé mejor forma de redactarlo. Gracias!!!

Hola jofigon:

log_1/2x + log₄x³ = log₂8

Hay que pasar los logaritmos a la misma base. Y en ese ejercicio es conveniente hacerlo a base 2. Para eso pones el logaritmo en la nueva base que quieres, y lo divides por el logaritmo en base nueva de la base vieja. Mejor verlo que leerlo en palabras:

log₂x / log₂(1/2) + log₂x³ / log₂4 = log₂8

Luego, los logaritmos de números se pueden resolver. Así que queda:

log₂x / (-1) + log₂x³ / 2 = 3

-1.log₂x + (1/2).log₂x³ = 3

Ahora se puede seguir de dos maneras diferentes. Una consiste en sacar el exponente 3 de la x por la propiedad del logaritmo de una potencia. Así van a quedar dos logaritmos con el mismo argumento y base (log₂x), y entonces se pueden "juntar". La otra opción sería "meter" como exponentes al -1 y al 1/2, también usando la propiedad del logaritmo de una potencia. Prefiero usar el primer procedimiento:

-1.log₂x + (1/2).3.log₂x = 3

-1.log₂x + (3/2).log₂x = 3

Y como en los dos términos quedaron logaritmos "iguales", se los puede "juntar" (sumar o restar los números que tienen delante: -1 + 3/2 = 1/2). Queda:

(1/2).log₂x = 3

Y como ya quedó un solo término con logaritmo, puedo despejar y aplicar la definición de logaritmo:

log₂x = 3:(1/2)

log₂x = 6

2⁶ = x

64 = x

Si quieres ver cómo se hace de la otra forma me lo pides y te muestro. Cualquier duda me preguntas.


Cambio de base:

Para cambiar de base se usa la siguiente propiedad:

log_cb = log_ab/log_ac

Es decir: para pasar a una nueva base "a" un logaritmo que estaba en base "c", hay que dividir el log en base "a" del argumento, por el logaritmo en base "a" de la base "c". La fórmula para cambiar de base dice: "el logaritmo en base nueva del argumento, dividido el logaritmo en base nueva de la base vieja". Es más difícil decirlo que hacerlo. Para cada uno de esos logaritmos del ejercicio anterior fue así:

log_1/2x = log₂x / log₂(1/2)

log₄x³ = log₂x³ / log₂4