Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: ECUACIONES E INECUACIONES CON MÓDULO


24-04-11 Pregunta de Leonardo      (ECUACIÓN CON VARIOS MÓDULOS)

Hola, queria antes que nada agradecer lo bien explicados que estan los conceptos y la ayuda que ofrecen. Una consulta que tengo es como resolver el siguiente ejercicio, ya que tengo las respuestas y lo entiendo analizandolo mentalmente, pero no puedo dar con el proceso analitico. El ejercicio es el siguiente: 
|x+1|² = |x+1|+2 

Muchas gracias desde ya.

Cursando:: Analisis Matematico 1
Edad:: 22
¿Qué opinas de la web?: Muy bien explicados todos los temas

Hola Leonardo.

|x + 1|2 = |x + 1| + 2 

Una manera de hacerlo es usando la definición de módulo:

|x| = x   si     x >= 0        (DEFINICIÓN DE MÓDULO)
       -x    si    x < 0

Como los dos módulos tienen adentro la misma expresión: x + 1, hay sólo dos posibilidades:

(x + 1) > = 0    ó    (x + 1) < 0

1) Si (x + 1) > = 0, entonces |x + 1| = x + 1 (según la definición de módulo)

Así que la ecuación queda así:

(x + 1)2 = x + 1 + 2

x2 + 2x + 1 = x + 3

x2 + 2x - x + 1 - 3 = 0

x2 + x - 2 = 0

Y esa ecuación cuadrática completa la resuelvo con la fórmula resolvente:

x1,2 = formula resolvente

          -1 +- V12 - 4.1.(-2)
x1,2 = --------------------
                    2.1

          -1 +- V9
x1,2 = ----------
              2

          -1 +- 3
x1,2 = --------
              2

x1 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1

x2 = (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2

Pero ojo, hay que recordar que partimos de que x + 1 >= 0, entonces la solución también tiene que cumplir que:

x + 1 >= 0

x >= -1

Comparemos con las soluciones que obtuve de la cuadrática:

x1 = 1 

El 1 es mayor que -1, así que esta solución cumple con la inecuación

x2 = -2 

El -2 no es mayor que -1, así que no cumple con la inecuación. Así que esta solución no es válida: se descarta.

La opción 1) dió una sola solución:

x = 1


2) Si x + 1 < 0 entonces |x + 1| = -(x + 1). Entonces la ecuación queda:

[-(x + 1)]2 = -(x + 1) + 2

(x + 1)2 = -x - 1 + 2

x2 + 2x + 1 = -x - 1 + 2

x2 + 2x + 1 + x + 1 - 2 = 0

x2 + 3x = 0

Otra ecuación cuadrática, que la puedes resolver con el método que quieras. A mí me parece más rápido hacerlo de la siguiente manera:

x.(x + 3) = 0

x = 0     ó     x + 3 = 0

x = 0     ó     x = 0 - 3
                   
                   x = -3

Posibles soluciones:

x1 = 0
x2 = -3

Pero además recordemos que se tiene que cumplir que:

x + 1 < 0

x < - 1

Y veamos si las posibles soluciones lo cumplen:

x1 = 0      El 0 no es menor que -1. Así que esta solución no es válida.

x2 = -3     El -3 sí es menor que -1. Así que esta solución es válida.

La opción 2) dió x = -3 como solución.


Juntando las dos opciones tenemos que la solución de la ecuación es:

x = 1    ó    x = -3

S = {1,-3}




15-04-11 Pregunta de Gogo      (INECUACIONES CON MÓDULO)

Hola, espero que puedas ayudarme con este ejercicio y algunas dudas que tengo. 

- Escribir como intervalo o unión de intervalo, y hallar si existe supremo e ínfimo. 

a) A= {xeR/ |1-5x|< o igual a 9} 

b) B= {xeR/ |5x-6|>4} 

muchísimas gracias!

Hola Gogo. 

a) A = {x є R / |1 - 5x| < = 9} 

Hay que encontrar el conjunto de todos los números reales que cumplan con esa condición:

|1 - 5x| <= 9

Para eso hay que resolver la inecuación con módulo. Una de las formas de resolver una inecuación con módulo es usando ciertas propiedades:

1) |x| > a ---> x < - a ó x > a       (siendo "a" un número positivo)

2) |x| < a ---> -a < x < a

(Las mismas valen para >= y <= )

Para más explicación sobre esto puedes ver otras respuestas anteriores que dí sobre esto:

INECUACIONES CON MODULO

INECUACIONES CON MODULO 2

Como esta inecuación es con el símbolo de menor, hay que usar la segunda propiedad:

|1 - 5x| <= 9 ----> -9 <= 1 - 5x < = 9

Y resuelvo la inecuación "doble":

-9 <= 1 - 5x <= 9

-9 - 1 <= -5x <= 9 - 1

-10 <= -5x <= 8

-10/-5 >= x >= 8/-5 

(se invierte la desigualdad porque pasé el -5 de multiplicar a dividir, y es un número negativo)

2 >= x >= -8/5

Eso significa que "x es menor que 2 y mayor que -8/5"

Representamos en la recta numérica para visualizar mejor qué números cumplen con eso:

imagen

Y podemos ver que son los números que pertenecen al intervalo.

[-8/5;2]



b) B = {x є R / |5x - 6|> 4 }

Como esta es con el "mayor", uso la primera propiedad:

|5x - 6| > 4 ---> 5x - 6 < -4 ó 5x - 6 > 4

Y resuelvo esas dos inecuaciones:

5x - 6 < -4 ó 5x - 6 > 4

5x < -4 + 6 ó 5x > 4 + 6

5x < 2 ó 5x > 10

x < 2/5 ó x > 10/5

x < 2/5 ó x > 2

Representamos eso, para ver qué números cumplen con una u otra condición:


Y vemos que son los números que están en el intervalo (-∞;2/5) o en el intervalo (2;+∞). Así que la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (-∞;2/5) U (2;+∞)



27-02-11 Pregunta de leo159753         (ECUACIONES CON MODULO)

como se hacen lad ecuaciones con modulo

Hola leo. Cuando tenemos igualado un módulo a un número, se trata de pensar que lo que está dentro del módulo puede ser igual a "ese número, en positivo o en negativo". 

Porque el módulo es el "valor absoluto" de un número, podríamos decir: "el número sin signo". Por ejemplo:

|3| = 3
|-3| = 3

Entonces, para resolver una ecuación con módulo se usa eso. En el ejemplo que te dí se ve que para que el resultado de un módulo dé 3, lo de adentro tiene que ser: 3 ó -3. Ya que en ambos casos su módulo dá 3. Entonces, si dentro del módulo tienes una expresión con una incógnita, por ejemplo:

|2x - 5| = 3

Podemos decir que:

2x - 5 = 3    ó    2x - 5 = -3

"Lo que está dentro del módulo es igual a 3, o lo que está dentro del módulo es igual a -3".

Porque ya vimos arriba que si su módulo dió 3, es porque 2x - 5 era el número 3, ó era el número -3.

Luego se resuelven esas dos ecuaciones que ya no tienen módulo, y se llega a dos resultados:

2x - 5 = 3
2x = 3 + 5
x = 8:2
x = 4

ó

2x - 5 = -3
2x = -3 + 5
x = 2:2
x = 1

Las soluciones de la ecuación son:

x = 4
x = 1

S = {4, 1}

Y podemos comprobar que eso es verdad, reemplazando dentro del módulo con las soluciones, para ver que efectivamente el módulo va a dar 3:

|2x - 5| = |2.4 - 5| = |8 - 5| = 3

|2x - 5| = |2.1 - 5| = |2 - 5| = |-3| = 3

Y también se puede apreciar cómo, con una de las soluciones la expresión es igual a 3, y con la otra es igual a -3.

Eso es básicamente lo que se usa para resolver ecuaciones con módulo. Luego, hay variedad de ecuaciones con diferentes complicaciones, donde ya hay que usar propiedades, hay varios módulos, etc.



20-02-11 Pregunta de Tom      (INECUACIONES CON DOS MÓDULOS)

Buenas profesor, tengo problemas con esta inecuacion |3x -1|< |x - 1| 

hice este desarrollo 

|3x -1|^2< |x - 1|^2 

9x^2 -6x +1 < x^2 -2x +1 

8x^2 < 4x 

x < 1/2 (Rta final) 

El asunto es que mirando la inecuacion veo que en el 0 los valores se igualan,y sin embargo en mi respuesta no aparece. 

Desde ya muchas gracias


Hola Tom. Lo que está mal es la última parte. Te quedó una inecuación cuadrática y no se puede despejar así como hiciste: pasando la "x" dividiendo. Ahí te olvidaste de (o no sabías) cómo se resuelve una inecuación cuadrática que además de x2 tiene x. Y es que ni siquiera la ecuación cuadrática
8x2 - 4x = 0  se puede resolver así, porque ¿y qué tal si la "x" vale cero? ¿puedo pasar el cero dividiendo? No, porque no se puede dividir por cero.

Para resolver esa inecuación cuadrática, tienes que factorizar el polinomio. Puedes usar el primer caso: Factor común, o el Séptimo (caso particular donde c = 0). Para mí es más fácil con factor común: con sólo sacar la "x" alcanza, pero aquí también se puede sacar el 4, y yo lo saco (aunque no es obligatorio):

8x2 - 4x < 0

4x.(2x - 1) < 0

Y ahora: una multiplicación es menor que cero (= dá como resultado un número negativo), cuando un factor es mayor que cero (= número positivo) y el otro factor es un número menor que cero (= número negativo). Y es por la regla de los signos:

+ . - = +
- . + = -

Ese quiere decir que tenemos dos alternativas para que se cumpla esa inecuación:

a) 4x > 0     y     2x - 1 < 0     ó

b) 4x < 0     y     2x - 1 > 0


a) 4x > 0 
     x > 0/4
     x > 0

y

2x - 1 < 0
2x < 0 + 1
2x < 1
x < 1/2

Eso lo representas en la recta numérica, y ves que los números que cumplen ambas condiciones son los del intervalo:

(0 ; 1/2)      ó con inecuaciones:     0 < x < 1/2


b) 4x < 0
    x < 0/4
    x < 0



2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2

Pero esas dos condiciones no las puede cumplir simultáneamente ningún número, como verás si lo graficas en la recta numérica. Así que la alternativa "b" no dá ninguna solución. Así que la solución de la inecuación es:

S = (0 ; 1/2) 

ó de otra forma: 0 < x < 1/2

Si quieres puedes ver también la explicación que dí en otra respuesta sobre cómo resolver una ecuación cuadrática, con los gráficos de la recta numérica y todo:

INECUACIÓN CUADRÁTICA



15-12-10 Pregunta de Daiana         (INECUACIONES)

HOLA NECESITARIA SABER SI ME PODRIAN DAR UNA EXPLICACION ACERCA DE INECUACIONES CON DENOMINADORES Y CON MODULO, YA QUE NO LAS ENTIENDO.MUCHAS GRACIAS.

Hola de nuevo Daiana. Vamos ahora con las inecuaciones con módulo. Para estas ecuaciones hay que usar dos propiedades:

1)   Si |x| > k entonces    x < - k 
  ó   x > k

2)   Si |x| < k entonces     -k < x < k

("k" es un número real mayor que cero, es decir, positivo)

Traducción de las propiedades:

1) Si el módulo de algo es mayor que cierto número positivo, es que lo que está dentro del módulo es: "mayor que el positivo o menor que el negativo". Por ejemplo:

|x| > 3 entonces x < - 3   ó   x > 3

Por ejemplo: x puede ser 4; 5; 6; 4,2; 80, etc. Es decir: cualquier número mayor que 3. O sino puede ser -4; -5; -4,01; -15; etc. Es decir: cualquier número menor que -3. Son todos los números que cumplen con alguna de esas dos condiciones. Es un conjunto formado por los números mayores que 3, y por los número menores que -3.

2) Si el módulo de algo es menor que cierto número positivo, lo que está dentro del módulo es "mayor que el negativo y menor que el positivo". Por ejemplo:

|x| < 5 entonces - 5 < x < 5

Es decir: "x es un número que está entre -5 y 5". Por ejemplo: -4; - 3; 0; 1; 2; 3,6; etc. Son los números que cumplen con dos condiciones al mismo tiempo: son mayores que -5 y al mismo tiempo menores que 5. Ésa expresión es una "fusión" de dos inecuaciones: x > -5  y  x < 5 (x debe ser mayor que -5, y también debe ser menor que 5)


Ahora te muestro un ejemplo de aplicación de cada una de las propiedades, en inecuaciones con módulo:

1) |2x + 3| > 4

Por la propiedad 1), tenemos que:

2x + 3 < -4    ó     2x + 3 > 4

Luego, resolvemos las dos inecuaciones ésas, que ya no tienen módulo:

2x + 3 < -4
2x < -4 - 3
2x < -7
x < -7/2

ó

2x + 3 > 4
2x > 4 - 3
2x > 1
x > 1/2

La solución de esa inecuación con módulo son los números que cumplen con eso:

x < -7/2   ó    x > 1/2

Los gráficamos en la recta numérica, para visualizar los intervalos donde están esos números:



La solución es la unión de esos dos intervalos:

S = (-∞; -7/2) U (1/2 ; +∞)


2) |3x - 1| < 8

Por la propiedad 2), tenemos que:

-8 < 3x - 1 < 8

Esa "fusión" de dos inecuaciones se pueden resolver simultáneamente, o por separado. Lo hago "simultáneamente":

-8 + 1 < 3x < 8 + 1
-7 < 3x < 9
-7/3 < x < 9/3
-7/3 < x < 3 

Represento en la recta numérica:



La solución es el intervalo:

S = (-7/3 ; 3)


Pregunta de José (Argentina - 5to año)      (ECUACIONES)

Tambien tengo otra duda que no tiene que ver con polinomios en realidad.. Es la siguiente:
tengo una ecuacion lineal como esta:
3.|x| + 4 = x

cuando desarrollo el modulo y hago las dos opciones para x (si es positiva o negativa), cuando despejo la x que no tiene modulo tmb le tengo que cambiar el signo??
Es decir:
hago el caso de que x sea negativa (por el modulo), me queda:
3 .-x + 4 = - x??
o solo le cambio el signo a la x que esta encerrada en el modulo?
Gracias desde ya

No, sólo tienes que poner negativa a la que estaba dentro del módulo. A la otra no, ésa sigue siendo positiva.
Porque es lo que está dentro del módulo lo que puede ser positivo o negativo. Lo que no tiene módulo queda como está. Las dos ecuaciones que te quedan son:

3x + 4 = x

y

3.(-x) + 4 = x

Eso aclara tu duda.





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