TEMA: OPERACIONES CON POLINOMIOS

06-05-11 Pregunta de violeta                   (DIVISIÓN EXACTA)

Hola mi nombre es Violeta...
Mi consulta es la siguiente:

2)Determine el valor de c para que la siguiente division sea exacta:

(2 x3 -5 x2 -3x4 + c) / (3x +2)

Desde ya muchas graciass!!!!!! Saludos

Hola Violeta. Se puede hacer la división manteniendo la letra "c" como término independiente del polinomio, y la condición para que la división sea exacta es que el resto sea igual a cero. En el resto va a estar la "c", entonces lo igualas a cero y despejas la c:

  -3x⁴ + 2x³   -  5x² + 0x + c  |____3x + 2_______________
-                                       -x³ + 4/3 x²  - 7/9 x + 14/27
  -3x⁴ - 2x³
------------
           4x³   -   5x²
        -
           4x³ + 8/3 x²
          --------------
                  -7/3 x²   +   0x
                -
                  -7/3 x² - 14/9 x
                 -----------------
                               14/9 x    +    c
                             -
                               14/9 x + 28/27
                              ---------------------
                                           c - 28/27


El resto es igual a c - 28/27. Y para que la división sea exacta el resto tiene que ser igual a cero. Así que debe ser:

c - 28/27 = 0

c = 0 + 28/27

c = 28/27

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24-02-11 Pregunta de Giuliana      (DIVISIBILIDAD - TEOREMA DEL RESTO)

Hola. Tengo un ejercicio para resolver y no lo entiendo, necesito que me ayuden, el ejercicio es:
Si P(x) = 2©x⁴+3x³-2©x²-3 hallar los valores de © que hacen que p(x) sea divisible por Q(x)=x-1
© es alfa..
desde ya.. Muchisimas gracias

Hola Giuliana. Cambiemos "alfa" por "A", así no hay problema con los caracteres:

P(x) = 2Ax⁴ + 3x³ - 2Ax² - 3

P(x) sea divisible por Q(x) = x - 1

Decir que P(x) sea divisible por Q(x), es lo mismo que decir que P(1) = 0. Para cualquier otro ejemplo:

P(x) es divisible por un polinomio Q(x) = x - a, si P(a) = 0

Eso tiene que ver con el Teorema del resto, pero eso lo hablamos después. Ahora te muestro cómo a partir de éso se puede calcular A:

1) Calculo P(1), que consiste en reemplazar por el número "1" a todas las x del polinomio:

P(x) = 2Ax⁴ + 3x³ - 2Ax² - 3

P(1) = 2A.1⁴ + 3.1³ - 2A.1² - 3

P(1) = 2A + 3 - 2 A - 3

P(1) = 0          (acá interrumpimos para ver primero otro ejemplo)

Acá surge un problema. Resulta que, en este caso en particular, la "A" desaparece. En la mayoría de los ejercicios eso no va a pasar, y entonces va a quedar una expresión con A. Así te voy a mostrar otro ejemplo, para que veas el procedimiento completo, porque sino quizás no se entienda cómo sigue ese ejercicio (después más abajo lo termino y comparo):

Otro ejemplo:

P(x) = 5Ax⁴ + 2x3 + Ax² - 7, que sea divisible por Q(x) = x - 1

1) Calculo P(1)

P(1) = 5A.1⁴ + 2.1³ + A.1² - 7

P(1) = 5A + 2 + A - 7

P(1) = 6A - 5

2) Como habíamos dicho que P(1) tiene que ser igual a cero, planteo la ecuación :

6A - 5 = 0

y la resuelvo para ver qué valores de A cumplen eso:

6A = 0 + 5

A = 5/6

Y ésa es entonces la solución: Para A = 5/6 se cumple que (x - 1) lo divide exactamente, porque P(1) = 0

Ahora seguimos con tu ejercicio (caso particular):

Como había desaparecido la A, no se puede plantear una ecuación para hallarla. Y el cálculo de P(1) nos había dado que:

P(1) = 0

Pero eso es justamente lo que se tenía que cumplir. Y que haya desaparecido la "A" significa que, el que se cumpla eso, NO DEPENDE DE "A". Cualquiera sea A, resulta ser que P(1) = 0, así que P(x) es divisible por (x - 1) para cualquier valor de A. Por eso la solución del ejercicio es el Conjunto de todos los números Reales:

A Є R    (A pertenece al conjunto de los números reales)

¿Qué pasaría si, al desaparecer la A, hubiéramos obtenido que P(1) era otro número, distinto de cero. Por ejemplo:

P(1) = 3

Eso significaría que, cualquiera fuera el valor de A, P(1) daría 3, no daría cero nunca. Entonces no se cumpliría que P(1) = 0 para ningún número. Nunca sería P(x) divisible por (x - 1). La solución en ese caso sería el conjunto vacío: Ø


RESUMEN DE LOS PASOS DE TU EJERCICIO:


P(x) = 2Ax⁴ + 3x³ - 2Ax² - 3

P(1) = 2A.1⁴ + 3.1³ - 2A.1² - 3

P(1) = 2A + 3 - 2 A - 3

P(1) = 0

Solución: A Є R


RELACIÓN DE ESTE EJERCICIO CON EL TEOREMA DEL RESTO:

El Teorema del resto dice que se puede calcular el resto de dividir un polinomio P(x) por otro de la forma (x - a), calculando P(a). Y se dice que un polinomio (o un número entero también) es divisible por otro, cuando el resto de la división dá cero. Por ejemplo:

12 es divisible por 3, porque el resto de la división dá cero.
13 no es divisible por 3, porque el resto de la división dá 1.

Así que, si el resto es igual a P(a), entonces para que sea divisible tiene que resultar que P(a) = 0. Éso es lo que se usa para resolver ejercicios como ése, como te mostré al comienzo.

05-01-11 Pregunta de Carla           (GRADO DE LA SUMA)

Hola, ¿Cómo determino el grado de la suma de dos polinomios sin hacer la cuenta?.

Hola carla. Se pueden dar tres situaciones:

1) Si un polinomio tiene grado mayor que el otro, el polinomio suma va a tener el grado del mayor. Por ejemplo:

(2x³ - x + 1) + (5x² - 3) = 2x³ + 5x² - x - 2

    2x³ + 0x²  -  x + 1                (grado 3)
+
            5x² + 0x -  3                (grado 2)
-----------------------
     2x³ + 5x²  - x  - 2               (grado 3: el mayor de los dos)

Como 2x³ no se suma con ningún término del otro polinomio, porque el otro no tiene término de grado 3, en el resultado de la suma va a estar ese término: 2x³; y como es el de mayor grado entre los dos polinomios, será también el de mayor grado en la suma (porque en la suma de polinomios no cambia el grado de los términos).


2) Los dos polinomios tienen el mismo grado, y sus coeficientes principales son opuestos:

Por ejemplo:

(-2x³ + 4x + 1) + (2x³ - x² + x) = -x² + 5x + 1

   -2x³ + 0x² + 4x + 1               (grado 3)
+
    2x³ -  x²  +  x +  0                (grado 3)
-----------------------
    0x³ - x² + 5x + 1                  (se anula el grado 3)

Como los coeficientes principales (de los términos de mayor grado) son "opuestos" (igual valor pero distinto signo), al sumarlos "se cancelan" (dá cero); entonces desaparecen los términos de mayor grado. En ese caso, el grado de la suma será igual al segundo grado más grande que haya entre los términos de ambos polinomios. En este caso es el grado 2, ya que el segundo polinomio tiene un término de grado 2 (-x²), mientras que el primero tiene otros términos de menor grado.


3) Si ambos polinomios son del mismo grado, el grado de la suma es igual al grado de ambos polinomios. Por ejemplo:

(2x³ + 1) + (5x³ + 2x + 3) = 7x³ + 2x + 4

    2x³ + 0x² + 0x + 1           (grado 3)
+
    5x³ + 0x² + 2x + 3           (grado 3)
-----------------------
    7x³ + 0x² + 2x + 4           (grado 3)


En la parte de SUMA DE POLINOMIOS de la página, justamente dí ejemplos que cumplieran con las dos primeras situaciones, y uno donde se anula un término (pero no es justamente el de mayor grado):

EJEMPLO 1 (Suma de polinomios de igual grado)
EJEMPLO 2 (Suma de polinomios de distinto grado)
EJEMPLO 3 (Uno de los términos de la suma dá cero)

Allí puedes ver los grados de los polinomios y el grado de resultado, y podrás sacar las mismas conclusiones que te expuse arriba.

20-09-10 Pregunta de Alejandra

FAVOR DE RESOLVER TENGO EXAMEN GRACIAS..... 

Hola Alejandra. En el punto 2 son sumas de polinomios. Eso ya está explicado en la página, puedes ver ejemplos y explicación en los siguientes enlaces: 

SUMA DE POLINOMIOS
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

En la hoja que me mandaste, a vos ya te están dando un ejemplo resuelto para que te guíes por él. Lo voy a copiar:

   3x² + 2x - 1
+
   2x² - 3x + 5
----------------
   5x²  - x  + 4

Observa el resultado de cada columna del ejemplo resuelto:

5 viene de sumar 3 + 2 = 5. Por eso el resultado de la primera columna es 5x².
-x es en realidad -1x. Porque si sumas 2 + (-3), el resultado es -1.
Y 4 viene de sumar -1 + (+5) = -1 + 5 = 4

Espero que eso te sirva para darte cuenta cómo hacer los otros, y sino consulta los enlaces que te dí arriba, donde se explica todo con más detalle.

Punto 3: Son restas de polinomios. Las restas se pueden hacer cambiando todos los signos de los términos del segundo polinomio, y luego sumándolos como en la suma (es decir, la resta se convierte en suma). Te muestro cómo hay que hacer, usando el ejercicio 1 (que también te lo están mostrando el esa hoja, en el punto 4):

Éste es el ejercicio:

    5x² - 2x - 4
-
  (-7x² - 2x + 5)
------------------

Ahora le cambiamos todos los signos a cada término del polinomio de abajo. Es decir que:

-7x² va a pasar a ser 7x² (que es lo mismo que -7x²)
-2x va a pasar a ser 2x (que es lo mismo que +2x)
+5 va a pasar a ser -5
Y la operación va a dejar de ser resta, y se convierte en suma. Ahora el ejercicio se convirtió en esta suma de polinomios:

    5x² - 2x - 4
+
    7x² + 2x - 5
------------------

Y entonces hay que sumar los polinomios como ya sabemos:

5 + 7 = 12. Son 12x².
-2 + 2 = 0. Son 0x, que es lo mismo que 0, que puede no ponerse.
-4 + (-5) = -4 - 5 = 9.

    5x² - 2x - 4
+
    7x² + 2x - 5
------------------
   12x² + 0x - 9


Y en el punto 4 te están tratando de explicar lo que acabo de mostrar: Las restas de la izquierda se transforman en sumas, que están a la derecha de las flechas. Lo que tienes que hacer allí es solamente resolver las sumas que están a la derecha de la hoja, es decir los ejercicios: b), d) y f). Que son sumas y se hacen como ya te te expliqué.

Espero que te sirva para que puedas hacer los otros ejercicios.

22-05-10 Pregunta de nocheindiana        (TEOREMA DEL RESTO - DIVISIBILIDAD)

Hola, me pueden ayudar? Tengo un polinomio y me cuesta resolverlo. El ejercicio dice:
Dado r(x)=X3+ KX2 + hX + 9
y m(X)= X2 + KX + h
Averiguar incognitas sabiendo que r+m es divisible por (x+1) y r(x).m(x)= X5+ax4-x3-2x2+x
Les agradeceré si me contestan pronto porque este ejercicio me traba para seguir con el resto.

Hola nocheindiana. Me puse a resolver el ejercicio, pero me encuentro con que hay un error en el enunciado, porque (r+m) no puede ser divisible por (x+1). De todos modos te muestro cómo llegué hasta eso, y quizás te sirva para darte la idea de cómo se resuelve. Y sino, revisa el enunciado porque algo está mal. Luego si me lo envías te lo hago completo. Aquí está lo que hice:

1) Primero calculo r + m, sumando los dos polinomios por supuesto:

r + m = (x³+ kx² + hx + 9) + (x² + kx + h) = x³ + (k + 1)x² + (h + k)x + h + 9

(Agrupé los términos de igual grado. Sino entiendes eso después te lo explico si me lo pides)

Es decir que (r+m) = x³ + (k + 1)x² + (h + k)x + h + 9

2) Luego dice que (r+m) es divisible por (x + 1). Eso significa que -1 es raíz de ese polinomio, o sea que (r+m)(-1) = 0. O dicho de otra manera: Por el teorema del resto, (r+m)(-1) = 0; ya que si es divisible, el resto de la división es cero. Entonces:

(r+m)(-1) = 0

(-1)³ + (k + 1).(-1)² + (h + k).(-1) + h + 9 = 0

-1 + (k + 1).1 + (-h - k) + h + 9 = 0

-1 + k + 1 - h - k + h + 9 = 0

Se cancelan las incógnitas, k con -k y h con -h. Y sólo queda:

9 = 0

Lo cual es falso obviamente. Por eso te digo que hay un error en el enunciado.
Si me mandas el enunciado correcto aclárame también si necesitas que te explique más a fondo algunos pasos.

Pregunta de José     (VALOR NUMERICO - TEOREMA DEL RESTO - DIVISIBILIDAD)

Al dividir x^3-2x^2+3x-1 por otro polinomio divisor, el cociente resulta x^2-4x+11 y el resto -23. Hallar el polinomio divisor.

Tienes que plantearlo usando el concepto de división. Si se divide un polinomio A por un polinomio D, y el cociente es Q y el resto R, tenemos que:

A = D.Q + R             (concepto de división)

x³ - 2x² + 3x - 1 = D.(x² - 4x + 11) + (-23)

Y allí despejas la D, que es el divisor, tal como lo haces en las ecuaciones. Te queda:

x³ - 2x² + 3x - 1 + 23 = D.(x² - 4x + 11)
(x³ - 2x² + 3x + 22):(x² - 4x + 11) = D

Es decir que para calcular D hay que dividir esos dos polinomios:


  x³ -  2x² + 3x + 22   |__ x² - 4x + 11____
-x³ + 4x² - 11x                x + 2
_____________
        2x² - 8x + 22
       -2x² + 8x - 22
__________________
                       0

El resultado de la división es (x + 2). Es decir que D = x + 2 es el divisor que buscamos.

Pregunta de Alexander (por mail):    (VALOR NUMÉRICO)

¿cual es el resultado de P(x) = 2x-3, para x=5 ; y p(x)=2x² + x - 45, para x=5?

Para el primer polinomio:

p(x) = 2.x - 3
p(5) = 2.5 - 3 = 10 - 3 = 7

Para el segundo polinomio:

p(x) = 2x² + x - 45
p(5) = 2.5² + 5 - 45 = 2.25 + 5 - 45 = 10

Se trata de buscar el Valor Numérico del polinomio, reemplazando la x por el número que nos dán y haciendo las cuentas.