Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: CÓNICAS - PARÁBOLA - ECUACIÓN ORDINARIA O CANÓNICA - COMPLETAR EL TRINOMIO



07-01-11 Pregunta de ewy5000:

hola y gracias por explicarme, pero a la hora de hacer otro me volbi a atorar espero y mebuelvas a ayudar y ver si con este le entiendo mejor. 

bueno el ploblema es el siguiente: 
Transformar la ecuacion en su forma canonica 
2y2 + 24x + 12y - 10=0 

medisen q los coeficientes sean redusidos a 1??

Hola ewy5000.  Ésa es la ecuación general de una parábola, y te piden pasarla a la canónica, que en general es así:

(y - yv)2 = p.(x - xv)

Para llevarla a esa forma hay que completar el trinomio en "y", para que quede un trinomio cuadrado perfecto y después factorizarlo para que quede una suma o resta elevada al cuadrado (y - yv)2, como ya te mostré en otras consultas:

1) Antes de completar el trinomio hay que dividir todos los términos por 2 (el número que multiplica a la y2). De esa forma se puede quitar a ése número que está multiplicando a la y, y la "y" quedará con coeficiente "1". Dividir todos los números por 2 es como sacar factor común 2 (pero hay que hacerlo aún cuando no haya factor común 2):

2y2 + 24x + 12y - 10 = 0

2.(y2 + 12x + 6y - 5) = 0

2.(y2 + 6y + 12x - 5) = 0

2) Ahora voy a completar el trinomio:

y2 + 6y + .....

6:2 = 3

y2 + 6y + 32

(Para ver por qué se completa así el trinomio, consultar aqui: completar trinomio)

Para completar el trinomio tuve que sumar 32. Pero como 32 no estaba en la fórmula, también tengo que restarlo:

2.(y2 + 6y + 32 - 32 + 12x - 5) = 0

Ahora voy a factorizar el trinomio el Tercer caso de factoreo:

y2 + 6y + 32 = (y + 3)2

Y luego lo reemplazo en la fórmula:

2.(y2 + 6y + 32 - 32 + 12x - 5) = 0

2.[(y + 3)2 - 9 + 12x - 5] = 0

2.[(y + 3)2 + 12x - 14] = 0

2.(y + 3)2 + 24x - 28 = 0

2.(y + 3)2 = -24x + 28

(y + 3)2 = (-24x + 28)/2

(y + 3)2 = -12x + 14

(y + 3)2 = -12.(x + 14/-12)

(y + 3)2 = -12.(x - 7/6)

Y ésa es la ecuación canónica.

En los últimos pasos dividí por -12, porque la x (como la y) tiene que quedar con coeficiente igual a 1.

RESUMEN DE LOS PASOS:

2y2 + 24x + 12y - 10 = 0
2.(y2 + 12x + 6y - 5) = 0
2.(y2 + 6y + 12x - 5) = 0
2.(y2 + 6y + 32 - 32 + 12x - 5) = 0
2.[(y + 3)2 - 9 + 12x - 5] = 0
2.[(y + 3)2 + 12x - 14] = 0
2.(y + 3)2 + 24x - 28 = 0
2.(y + 3)2 = -24x + 28
(y + 3)2 = (-24x + 28)/2
(y + 3)2 = -12x + 14
(y + 3)2 = -12.(x + 14/-12)
(y + 3)2 = -12.(x - 7/6)



05-01-11 Pregunta de hi:

xfa ayuden me a transformar una ecuasion en su forma ordinaria.el ejercisio es este: 

3x2 + 12x - 9y + 3=0 

soloq me dicn q lodvo d redusir a 1 ?? y no entiendo.


Hola hi. Es la ecuación general de una parábola con directriz horizontal, y te piden pasarla a la forma canónica, que es así:

(x - xv)2 = 2p.(y - yv)

Donde "xv" es la coordenada "x" del vértice de la parábola, e "yv" es la coordenada "y" del mismo (aunque para lo que vamos a hacer eso no importa). Para llevarla a esa forma tienes que completar el trinomio:

3x2 + 12x + ....

Y luego factorizarlo como Trinomio cuadrado perfecto, para que quede así:

(x + algo)2

No sé si ya sabes "completar el trinomio" o "completar cuadrados". Por ahora te muestro los pasos, luego trataré de darte una justificación o darte un enlace hacia una respuesta dónde ya expliqué eso:

1) Saco factor común 3 (divido todos los términos por 3, aún aunque no todos fueran divisibles exactamente por 3), porque 3 es el número que multiplica a la x2, y quiero que desaparezca de al lado de la x2:

3x2 + 12x - 9y + 3 = 0

3.(x2 + 4x - 3y + 1) = 0


2) Divido por 2 al número que está con la x:

4:2 = 2


3) Agrego a la fórmula ese número elevado al cuadrado, sumándolo y restándolo:

3.(x2 + 4x + 22 - 22 - 3y + 1) = 0


4) Factoreo el trinomio:

x2 + 4x + 22 es un Trinomio cuadrado perfecto (el paso 2) fue justamente para que quede este Trinomio. Lo factoreo con el 3er caso:

x2 + 4x + 22 = (x + 2)2
x               2
      2.2.x
        4x

No hace falta que hagas este paso si no recuerdas como factorizar. Sólo tienes que saber que el trinomio se transformó en:

(x + 2)2

Que es: (x + el número que me dió en el paso 2)2


5) Reemplazo el trinomio en la fórmula general, y opero hasta llegar a la fórmula canónica:

3.(x2 + 4x + 22 - 22 - 3y + 1) = 0

3.[(x + 2)2 - 22 - 3y + 1] = 0

3.[(x + 2)2 - 4 - 3y + 1] = 0

3.[(x + 2)2 - 3 - 3y] = 0

3.(x + 2)2 - 9 - 9y = 0             (hice la distributiva con el 3)

3.(x + 2)2 = 9 - 9y

(x + 2)2 = (9 - 9y):3

(x + 2)2 = 3 - 3y

(x + 2)2 = 3.(1 - y) (saco factor común, para que quede como la canónica)

(x + 2)2 = -3.(y + 1)

(cambié signos y el orden, para que quede la "y" positiva, como debe quedar en la forma canónica)

Obviamente te pueden surgir muchas dudas por lo que se hace en cada paso, así que en todo caso me preguntas si no entiendes el por qué de algunos.

Y en este enlace te explica un poco por qué se completa el trinomio haciendo eso:

COMPLETAR EL TRINOMIO


RESUMEN DE LOS PASOS:

3x2 + 12x - 9y + 3 = 0

3.(x2 + 4x - 3y + 1) = 0

3.(x2 + 4x + 22 - 22 - 3y + 1) = 0

3.[(x + 2)2 - 22 - 3y + 1] = 0

3.[(x + 2)2 - 4 - 3y + 1] = 0

3.[(x + 2)2 - 3 - 3y] = 0

3.(x + 2)2 - 9 - 9y = 0

3.(x + 2)2 = 9 - 9y

(x + 2)2 = (9 - 9y):3

(x + 2)2 = 3 - 3y

(x + 2)2 = 3.(1 - y)

(x + 2)2 = -3.(y + 1)



TEMA: CÓNICAS - PARÁBOLA

29-11-10 Pregunta de Manuel

Hola Marce una vez mas necesito de su ayuda por ultima vez ya esta es la ultima guia que tendre que resolver espero me pueda ayudar para yo poder realizar los demas....

Los ejercicios son....

31. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con coordenadas en el Foco(3,4) y de Directriz, la recta x-1=0

Hola Manuel. La ecuación de la parábola es así:

(y - yv)2 = 2p.(x - xv)           cuando la parábola es "paralela al eje x" ó

(x - xv)2 = 2p.(y - yv)           cuando la parábola es "paralela el eje y"


Llamo "Paralela al eje x" a la parábola que tiene sus ramas extendiéndose hacia la derecha o hacia la izquierda, y su directriz es vertical (como en este ejemplo, mira el gráfico). Y "paralela al eje y" a la que tiene sus ramas apuntando hacia arriba o hacia abajo, y su directriz es horizontal. En este gráfico puedes ver la parábola de la que habla este ejercicio:




En tu ejercicio, la directriz es la recta: x - 1 = 0. Ésa es la fórmula de una recta vertical. Despejo la x para ver por dónde pasa esa recta:

x - 1 = 0

x = 1

La directriz de esta parábola que buscamos es una recta vertical que pasa por
x = 1 (la puedes ver en el gráfico). Como es una recta vertical, la parábola es "paralela al eje x", entonces la fórmula que estamos buscando es como la primera que te mostré:

(y - yv)2 = 2p.(x - xv)

Y lo que necesitamos averiguar para escribir esa fórmula en particular para esta parábola que te piden hallar, es:

- Los valores de "xv" y "yv", que son las coordenadas del vértice de la parábola; y

- El valor de "p" ("parámetro")

Como nos dan como datos el foco y la directriz, con un simple gráfico se pueden deducir esas dos cosas, sabiendo que:

- El vértice es un punto que está a la misma altura del foco y justo en el medio entre el foco y la directriz. En el dibujo se puede ver que ese punto es el (2,4). Así que xv = 2 e yv = 4. Y

- El parámetro "p" es la distancia entre el foco y la directriz. Que en dibujo se puede ver muy claramente que es igual a 2.

Así que ya tendríamos lo necesario para dar la fórmula de esa parábola. Es:

(y - 4)2 = 2.2.(x - 2)

(y - 4)2 = 4.(x - 2)

Ésa sería la respuesta al ejercicio. 

Pero yo supongo que te pedirán que halles "analíticamente" esos valores, es decir: no mediante un gráfico, sino utilizando conceptos, fórmulas, etc. Y porque además, no siempre en un gráfico se ven tan claras las cosas, ya que a veces los números no son enteros, sino decimales. Entonces te muestro lo que podrías hacer (y el gráfico sirve de referencia):

Para hallar el vértice:

Dijimos que el vértice está "justo en medio" entre la directriz y el foco. Como la parábola es paralela al eje x, ese punto tiene:

- coordenada yv igual a la coordenada "y" del foco. Como el foco es (3,4), la yv es 4.

- coordenada xv igual al punto medio entre la x por donde pasa la directriz y la x del foco. El punto medio entre otros dos puntos se puede hallar sacando el "promedio", es decir: sumar los dos números y dividir por 2. Así:

x de la directriz: 1

x del foco: 3

Punto medio entre esos dos: (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

En general, si llamo xd a la x de la directriz, y xf a la x del foco, la fórmula sería:

xv = (xd + xf)/2

(Eso para las parábolas paralelas al eje x. Para las paralelas al eje y hay que buscar el punto medio entre las "y", no entre las "x". Con un dibujo te puedes dar cuenta)

Entonces tenemos que: xv = 2, yv = 4. El vértice es el punto V = (2,4). Eso era uno de los elementos que teníamos que hallar para presentar la fórmula.

Para hallar "p":

El parámetro "p" es la medida de la distancia entre la directriz y el foco. Como la directriz es vertical, esa distancia se puede calcular restándole a la x del foco, la x de la directriz:

p = xf - xd = 3 - 1 = 2

El parámetro "p" vale 2 (como puedes darte cuenta en el dibujo). Y esa fórmula vale también para la parábola que apunta sus ramas hacia la izquierda, pues esta tiene la directriz a la derecha del foco y el parámetro "p" te dá negativo. En cambio, cuando es una parábola paralela al eje "y", lo que hay que restar son la
yf - yd.

Así llegamos a las mismas conclusiones que con el gráfico:

V = (2,4). Así que xv = 2 e yv = 4

p = 2

Por eso, la fórmula de la parábola que buscábamos es:

(y - yv)2 = 2p.(x - xv)

(y - 4)2 = 2.2.(x - 2)

(y - 4)2 = 4.(x - 2)


Espero que esto te sirva para los demás ejercicios, incluso si te toca una parábola paralela al eje y. Sino, me vuelves a preguntar. Saludos.





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