TEMA: POLINOMIOS - FACTORIZACION SEGUN SUS RAICES - VALOR NUMERICO - MULTIPLICIDAD - ESPECIALIZACION

30-05-11 Pregunta de Griselda

hola Marce!! soy Griselda, gracias me sirvio mucho la direccion para las cuadraticas.ahora necesito q me ayudes con estos ejercicios.1- escribir un polinomio de grado 4 q tenga 1,2,3 y 4 como raices.2-escribir un polinomio de grado 5 cuyo coeficiente principal sea -8 y cuyo termino independiente sea 2/5. muchisimas gracias 

Cursando:: 1 año de matematicas
Edad:: 33
Nacionalidad:: Arg
¿Qué opinas de la web?: genial 

Hola Griselda:

1- Polinomio de grado 4 que tenga 1, 2, 3 y 4 como raíces.

Como ya expliqué en varias oportunidades, un polinomio de grado "n" se puede factorizar según sus raíces de la siguiente forma:

a.(x - x₁).(x - x₂)........(x - x_n)

Siendo x₁, x₂,..., x_n sus "n" raíces (ojo que si hablamos de raíces reales, el polinomio puede tener menos de "n" raíces reales). Y siendo "a" el coeficiente principal del polinomio. 

Así que si me piden que encuentre un polinomio que tenga determinadas raíces, puedo armarlo con factores (x - raíz). En tu ejemplo, si el polinomio es de grado 4, su forma factorizada podría ser:

a.(x - x₁).(x - x₂).(x - x₃).(x - x₄)

Y como las raíces deben ser: 1, 2, 3, y 4, podría armarlo así:

(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

Ése polinomio tiene como raíces a 1, 2, 3 y 4, como te pide el enunciado. Y es de grado 4, porque si aplicás la distributiva llegás a un polinomio de grado 4. Como el enunciado no exige ninguna otra condición, le puedes poner cualquier coeficiente principal, o ninguno (el "1" en realidad), como hice yo ahí arriba.

Podemos comprobar que efectivamente son raíces, reemplazando cada una en el polinomio. Recordemos que para que un número sea raíz de un polinomio nos tiene que dar cero al reemplazarlo por la indeterminada:

Con el 1:

P (x) = (x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

P (1) = (1 - 1).(1 - 2).(1 - 3).(1 - 4) = 0.(-1).(-2).(-3) = 0

El 1 es raíz, porque al reemplazarlo en su indeterminada, el valor numérico del polinomio es cero.

Con el 2:

P(2) = (2 - 1).(2 - 2).(2 - 3).(2 - 4) = 1.0.(-1).(-2) = 0

Lo mismo para el 2.

Y lo mismo va a pasar con el 3 y 4. Hacer esta comprobación, con el polinomio así factorizado, también ayuda a darse cuenta de por qué se puede factorizar así un polinomio con sus raíces: por estar multiplicando el factor (x - raíz), cuando se reemplaza la x por dicha raíz queda (raíz - raíz), y eso es igual a cero. Entonces queda un cero multiplicando. Y cualquier cosa multiplicada por cero dá cero.

Luego, si queremos tener el polinomio como suma y resta de términos, hay que multiplicar los factores, aplicando la propiedad distributiva por ejemplo:

(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

(x² - 2x - x + 2).(x² - 4x - 3x + 12) =

(x² - 3x + 2).(x² - 7x + 12) =

x⁴ - 7x³ + 12x² - 3x³ + 21x² - 36x + 2x² - 14x + 24 =

x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24

Ves como llegamos a un polinomio de grado 4, y eso es porque en algún momento multiplicamos x.x.x.x = x⁴, y no hay multiplicación que dé con un grado mayor que ése.

Y como te decía, puedes ponerle cualquier valor a "a", por eso hay infinitos polinomios que cumplen con lo que te pide el enunciado. Por ejemplo:

3.(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

-5.(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

etc. etc.

En esta misma página, en otras consultas que respondí, puedes ver más explicación y ejemplos sobre esto.


2- Escribir un polinomio de grado 5 cuyo coeficiente principal sea -8 y cuyo termino independiente sea 2/5. 

Bueno, eso es muy fácil. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado. Como el polinomio es de grado 5, el término de mayor grado es el de grado 5, así que en el polinomio tiene que estar el término:

-8x⁵

Y ése debe ser el término de mayor grado, porque sino el polinomio ya no sería de grado 5. Y no debe haber otro término de grado 5, porque sino se le sumaría.

Luego, dice que el término independiente debe ser 2/5. El término independiente es el término de grado cero, "el número que no tiene x". Así que en el polinomio debe estar el término:

2/5

Y no debe haber otro "número solo", porque sino se le sumaría.

Así que se trata de inventar cualquier polinomio que tenga esos dos términos, y le podemos agregar cualesquiera términos de otros grado, o nada. Aquí algunos ejemplos:

-8x⁵ + 2/5

-8x⁵ - x + 2x³ + 2/5

9x² - 8x⁵ + 2/5

etc., etc.

06-04-11 Pregunta de yessi

polinomio de 3grado que tenga los ceros indicados y satisfaga las condiciones dadas: 
-3,-2,0 f(-4)=16 Primer ejercicio

Hola yesi. Un polinomio de grado 3 se puede factorizar según sus ceros o "raíces", de la siguiente manera:

a.(x - x₁).(x - x₂).(x - x₃)

donde x₁, x₂ y x₃ son sus "ceros". Como en el enunciado te dan los ceros, vamos a reemplazar allí con ellos. Queda:

a.(x - (-3)).(x - (-2)).(x - 0)

Que "pasado en limpio" es:

a.(x + 3).(x + 2).x

Y ahora falta calcular "a", el coeficiente principal. Pero como nos dicen que

 f(-4) = 16

le aplicamos el -4 al polinomio y igualamos a 16, porque sabemos que f(-4) tiene que ser igual a 16:

f(x) = a.(x + 3).(x + 2).x

f(-4) = a.(-4 + 3).(-4 + 2).(-4) = 16

a.(-1).(-2).(-4) = 16

Y de allí se puede despejar "a" para encontrar su valor:

a.(-8) = 16

a = 16:(-8)

a = -2

Así que ahora podemos reemplazar "a", que era lo único que nos faltaba conocer para poder factorizar el polinomio:

a.(x + 3).(x + 2).x =

-2.(x + 3).(x + 2).x

Pero queda mejor si la x se pone adelante:

-2x.(x + 3).(x + 2)

En esta misma página hay ejemplos cómo éste, con explicación más detallada, te dejo el enlace:

FACTORIZACIÓN SEGÚN SUS RAÍCES

18-02-11 Pregunta de tomas

necesito saber como encontrar una funcion polinomica de grado 3 o 4, si nos dan los puntos por los que pasa. te doy 2 ejemplos:

a) encontrar la funcion polinomica de grado 4 donde: x1=3;es una raiz doble x2=2;es una raiz doble y f(-1)=2

b) encontrar la funcion polinomica de grado 3 donde: x1=-5; es una raiz simple x2=-1; es una raiz doble f(0)=4

Hola tomas. Debes saber que un polinomio de grado n se puede factorizar según sus raíces (no siempre reales) de esta forma:

a.(x - x₁).(x - x₂).........(x - x_n)

Donde x₁, x₂,..., x_n, son sus raíces, y "a" el coeficiente principal (el número que quedaría multiplicando a la x de mayor grado si hiciéramos la multiplicación de todos esos factores).

Así que esa fórmula es lo que puedes usar para resolver estos ejercicios. Un polinomio de grado 4 se puede escribir así:

a.(x - x₁).(x - x₂).(x - x₃).(x - x₄)

Con x₁, x₂, x₃ y x₄ sus raíces. Luego, una raíz es "doble" cuando está repetida en esa factorización. Al decirme que x = 3 es una raíz doble y x = 2 también lo es, te están diciendo que el polinomio es así:

a.(x - 3).(x - 3).(x - 2).(x - 2)         (o también: a.(x - 3)².(x - 2)²)

Luego, para determinar completamente cómo es el polinomio, faltaría averiguar cuánto vale "a". Y para que puedas hacer eso te dan el otro dato: f(-1) = 2.
f(-1) es aplicarle la fórmula de la función a "-1" (reemplazar todas las x por -1), y te dice que el resultado de hacer eso te va a dar 2.

f(x) = a.(x - 3).(x - 3).(x - 2).(x - 2)

f(-1) = a.(-1 - 3).(-1 - 3).(-1 - 2).(-1 - 2) = 2

f(-1) = a.(-4).(-4).(-3).(-3) = 2

a.144 = 2

a = 2/144

a = 1/72

Así que la función polinómica que cumple lo que pide el enunciado es:

f(x) = (1/72).(x - 3).(x - 3).(x - 2).(x - 2)

(ó también  f(x) = (1/72).(x - 3)².(x - 2)² )

Y si la necesitas en la forma polinómica (ahí está "factorizada"), aplicas la Propiedad distributiva para multiplicar todos los factores, en el orden que prefieras. Yo lo voy a hacer así:

f(x) = (1/72).(x - 3)².(x - 2)² = (1/72).(x² - 6x + 9).(x² - 4x + 4) =

(1/72).(x⁴ - 4x³ + 4x² - 6x³ + 24x² - 24x + 9x² - 36x + 36) =

(1/72).(x⁴ -10x³ + 37x² - 60x + 36) = 1/72 x⁴ - 5/36 x³ + 37/72 x² - 5/6 x + 1/2

Así que la función polinómica que buscábamos es:

f(x) = 1/72 x⁴ - 5/36 x³ + 37/72 x² - 5/6 x + 1/2


El otro ejercicio es muy similar, así que te lo dejo a tí. Cualquier duda me consultas. Mira en esta misma página las otras consultas, porque hay otros ejercicios resueltos muy parecidos a los tuyos que te pueden servir.

22-01-11 Pregunta de RUTH

HOLA!SOY RUTH: ME PODRIAN AYUDAR A RESOLVER ESTOS DOS PROBLEMAS Q NO LOS ENTIENDO. 
1) Determinar el polinomio de tercer grado, cuyas raices son los numeros 2, -1 y 3, y el coeficiente de X3 es el numero 1. 
2) Determinar el polinomio de cuarto grado cuyas raices son los numeros 1, -1,2 y 5, y tal q f(0)=6. 

GRACIAS!

Hola Ruth. Para hacer esos ejercicios tienes que saber que un polinomio de grado "n", que tenga "n" raíces, se lo puede factorizar según sus raíces, así:

a.(x - x₁).(x - x₂)........(x - x_n)

Siendo x₁, x₂, etc. las raíces, y "a" el coeficiente principal, que es el coeficiente del término de mayor grado.

1) Determinar el polinomio de tercer grado, cuyas raices son los numeros 2, -1 y 3, y el coeficiente de x³ es el numero 1. 

Si tu polinomio es de grado 3, el término de mayor grado es x³, entonces si dice que el coeficiente de x³ es 1, es porque a = 1. Sabiendo eso, y conociendo las raíces, ya podemos escribir el polinomio factorizado así:

1.(x - 2).(x -(-1)).(x - 3) =

(x - 2).(x + 1).(x - 3)

Un polinomio de tercer grado puede tener como máximo 3 raíces (así como uno de grado "n" no va a tener más que "n" raíces), así que no va a haber más factores que ésos. El polinomio es ése. Teniendo "a" y todas las raíces, el polinomio queda así determinado.

Y ahora lo puedes usar la Propiedad distributiva:

(x - 2).(x + 1).(x - 3) = (x² + x - 2x - 2).(x - 3) = (x² - x - 2).(x - 3) =

x³ - 3x² - x² + 3x - 2x + 6 = x³ - 4x² + x + 6

Ves como así se nota que es un polinomio de grado 3, y que el coeficiente de x³ resultó ser "1" (x³ no tiene número multiplicando delante, entonces el coeficiente es 1).


2) Determinar el polinomio de cuarto grado cuyas raices son los numeros 1, -1, 2 y 5, y tal q f(0) = 6.

En este te dá las 4 raíces, pero no te dá el coeficiente "a". Por eso te dá ese otro dato: f(0) = 6, que es para que puedas encontrar "a". Podemos ir escribiendo el polinomio factorizado como en el punto 1), pero dejando la letra "a" ya que desconocemos su valor:

a.(x - 1).(x -(-1)).(x - 2).(x - 5) =

a.(x - 1).(x + 1).(x - 2).(x - 5)

Y f(0) = 6, significa que sí, en el polinomio reemplazamos la "x" por el número "0", el resultado de la multiplicación va a dar 6. 

f(x) = a.(x - 1).(x + 1).(x - 2).(x - 5)

Reemplazo la "x" por el número "0":

f(0) = a.(0 - 1).(0 + 1).(0 - 2).(0 - 5)

f(0) = a.(-1).1.(-2).(-5)

f(0) = a.(-10)

f(0) = -10a

Pero el enunciado decía que f(0) = 6, entonces:

-10a = 6

a = 6/(-10)

a = -3/5

Así calculamos el valor del coeficiente "a" que nos faltaba. Entonces ya tenemos todo para determinar el polinomio:

(-3/5).(x - 1).(x + 1).(x - 2).(x - 5)

Y si aplicamos la Propiedad distributiva, lo llevamos a la forma polinómica:

(-3/5 x + 3/5).(x + 1).(x - 2).(x - 5) =

(-3/5 x² - 3/5 x + 3/5 x + 3/5).(x - 2).(x - 5) =

(-3/5 x² + 3/5).(x - 2).(x - 5) =

(-3/5 x³ + 6/5 x² + 3/5 x - 6/5).(x - 5) =

-3/5 x⁴ + 3x³ + 6/5 x³ - 6x² + 3/5 x² - 3x - 6/5 x + 6 =

-3/5 x⁴ + 21/5 x³ - 27/5 x²  - 21/5 x + 6

11-01-11 Pregunta de carla           (RAICES - MULTIPLICIDAD)
Marce, tengo este ejercicio: 
a) Indicar en cada caso el grado del polinomio y las raíces con su multiplicidad: 

_(2x+1)^3(x-raíz cuadrada de tres)^2... Y en la respuesta el ejercicio me dice: 
"Las raíces son -1/2 raíz triple: (raíz cuadrada) raíz doble. 

_x^3 (x-1)^2 (x+1)^5. RTA:Las raíces son: 0 de multiplicidad 3, 1 de multiplicidad 2; -1 de multiplicidad 5. 

_2(y+2)^2 (3/2-y) (1+y). Rta: Las raíces son: -2 doble, 3/2 simple; -1 simple... 

Lo que no entiendo es como sacar raices y como denominarlas... Cuando escribo multiplicidad de, cuando raíz doble de, cuando simple. Busqué en internet pero me confunde aún más. 

Hola carla. 

(2x + 1)³.(x - √3)²

Las raíces de un polinomio son los valores de x (o la "indeterminada"), que hacen que el polinomio dé cero. Así que en un principio, para hallar las raíces habría que pensar en resolver esta ecuación:

(2x + 1)³.(x - √3)² = 0

Pero un producto es igual a cero cuando alguno de sus factores es igual a cero. Entonces:

(2x + 1)³ = 0      ó       (x - √3)² = 0

Lo anterior te lo digo sólo para que sepas el concepto de lo que es una raíz y de dónde viene el procedimiento a seguir para hallar las raíces. Pero en realidad no hace falta que plantees esas ecuaciones. Porque las dos ecuaciones que puse arriba tienen las mismas soluciones que estas otras más sencillas:

2x + 1 = 0          ó         x - √3 = 0

No hace falta ponerle los exponentes a los factores: Esas ecuaciones dan el mismo resultado que las otras, porque "algo" elevado a cualquier exponente dá cero, si ese "algo" vale cero.

Así que para hallar las raíces de un polinomio así factorizado (te dan al polinomio como una multiplicación), lo que tienes que hacer es simplemente igualar cada factor a cero (sin necesidad de ponerle el exponente al que viene elevado el factor).

Y luego resolver cada ecuación:

2x + 1 = 0

2x = -1

x = -1/2


x - √3 = 0

x = √3

Las raíces son : x = -1/2    y     x = √3

Y la multiplicidad la sacas del exponente justamente (después te explico de dónde viene eso). Como en el polinomio teníamos a (2x + 1) elevado a la 3, es una raíz "triple" y su multiplicidad es 3:

(2x + 1)³ ----- > Raíz triple x = -1/2 ----- > Multiplicidad: 3


Y como (x - √3) estaba elevado a la 2, es una raíz doble, y su multiplicidad es 2.

(x - √3)² ----- > Raíz doble x = √3 ----- > Multiplicidad: 2


El otro ejercicio:

-x³.(x-1)².(x+1)⁵

x = 0               Raíz triple - Multiplicidad: 3 (porque en el polinomio estaba x³)

x - 1 = 0
x = 1               Raíz doble - Multiplicidad: 2 (porque viene de (x - 1)²)

x + 1 = 0 
x = -1             Raíz quíntuple - Multiplicidad: 5 (porque viene de (x + 1)⁵

Ya con eso puedes resolver los ejercicios de ese tipo. Cualquier duda me consultas. Ahora trato de explicarte algo que quizás te ayude a "ver" de dónde viene eso de la multiplicidad:


Alguna vez habrás visto algún polinomio factorizado como este ejemplo:

5.(x - 2).(x - 1)³.(x - 3)².(x + 8)

que es lo mismo que:

5.(x - 2).(x - 1).(x - 1).(x - 1).(x - 3).(x - 3).(x + 8)

Ése polinomio está factorizado según sus raíces, y sus raíces son:

x = 2
x = 1
x = 3
x = -8

Esos números hacen que el polinomio dé cero (éso es la raíz de un polinomio), y puedes comprobarlo reemplazando la x del polinomio por cualquiera de ellos: la multiplicación dá cero, porque uno de los factores va a dar cero.

Pero fijate que son los mismos números que están en los factores (x - 2), (x - 1), (x - 3) y (x + 8); con el signo cambiado. Es decir que en un polinomio totalmente factorizado se pueden "ver" las raíces: Son esos números que están restando. Esos factores son de la forma: (x - raíz). Y aclaremos que si la raíz es negativa, el factor es una suma, como pasó con el -8, porque que (x - (-8)) = (x + 8).


Y ahora el tema de la multiplicidad:

5.(x - 2).(x - 1).(x - 1).(x - 1).(x - 3).(x - 3).(x + 8)
   1 vez              3 veces                       2 veces        1 vez

Como (x - 2) está una sola vez en la factorización, x = 2 es una raíz "simple", y se dice que su multiplicidad es "1". Eso es porque a la raíz 2 "se la puede ver" una sola vez en la factorización del polinomio según sus raíces. Eso no lo puedes ver en los ejercicios que te dieron, pues no estaban factorizados según sus raíces, por ejemplo en el factor (2x + 1) no se "puede ver" a simple vista la raíz -1/2: tuvimos que despejar para calcular la raíz. Pero en un ejemplo como éste que te doy se puede entender mejor por que se habla de multiplicidad: es porque la raíz "se puede ver" cierta cantidad de veces en la factorización del polinomio.

Como (x - 1) está 3 veces en la factorización, x = 1 es una raíz "triple", y se dice que su multiplicidad es 3.

(x - 3) está 2 veces en la factorización, entonces x = 3 es una raíz "doble", y su multiplicidad es 2.


Otro ejemplo:

9.(x - 3)².(x + 7).(x - 4)³

Aquí las raíces son:

x = 3
x = -7          (recordemos (x + 7) es lo mismo que (x - (-7))
x = 4

Y la multiplicidad:

x = 3 es una raíz "doble", porque en la factorización el factor (x - 3) está elevado a la 2 (significa que "está 2 veces" en la factorización). Se dice que la multiplicidad de esa raíz es 2.

x = 7 es una raíz "simple", porque (x - 7) aparece una sola vez. Multiplicidad: 1

x = 4 es una raíz "triple", porque (x - 4) aparece elevado a la 3 (significa que "está 3 veces" en la factorización). Multiplicidad de esta raíz: 3


Si te interesa ver más sobre este tema, expliqué algunas cosas en el apartado sobre el caso de factoreo que aplica el Teorema de gauss:

Factorización del polinomio según sus raíces

En la factorización se ven las raíces

20-12-10 Pregunta de sofía              (VALOR NUMÉRICO - ESPECIALIZACIÓN)

Hola, mi nombre es sofia y queria saber si me podrian ayudar con unos ejercicios porq tengo exmen mañana y no me salen.

el 1º dice: 
Hallar a perteneciente a reales de forma tal que la especializacion de G(X)=3ax3-x4+3a+ax2 sea igual al termino independiente del polinomio cuando x es igual al coeficiente principal. 

si me pueden ayudar se los agradeceria!!!

muchos saludos!

Hola sofía.

1° El coeficiente principal es -1 (el número que está multiplicando a la x con el mayor exponente, que es x⁴). Al decir "cuando x es igual al coeficiente principal", te está diciendo que "especialices" en el coeficiente principal, que como ya te dije es -1. Así que tienes que especializar en -1 (Reemplazar todas las x del polinomio por -1):

G (-1) = 3a.(-1)³ - (-1)⁴ + 3a + a.(-1)² = 3.a.(-1) - 1 + 3a + a.1 = -3a - 1 + 3a + a = -1 + a

Y dice que la especialización en ese número tiene que ser igual al término independiente, que es 3a (el único término del polinomio G que no tiene x). Así que se debe cumplir que:

-1 + a = 3a
-1 = 3a - a
-1 = 2a
-1/2 = a

La solución es: a = -1/2


Y ahora podemos ver si ese número "a" cumple con lo que dice el enunciado. El polinomio era:

G (x) = 3ax³ - x⁴ + 3a + ax²

 Pero si reemplazamos la "a" con la solución que encontramos, el polinomio queda así:

G (x) = 3.(-1/2).x³ - x⁴ + 3.(-1/2) + (-1/2).x²

G (x) = -3/2 x³ - x⁴ - 3/2 - 1/2 x²

Lo especializo en el coeficiente principal -1, como dice el enunciado:

G (-1) = (-3/2).(-1)³ - (-1)⁴ - 3/2 - (1/2).(-1)²

G (-1) = (-3/2).(-1) - 1 - 3/2 - (1/2).1

G (-1) = 3/2 - 1 - 3/2 - 1/2

G (-1) = -3/2

Y eso tenía que ser igual al término independiente del polinomio, que podemos ver que es también -3/2. Así verificamos que la solución es correcta.