TEMA: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

15-04-11 Pregunta de joséalejo    (EJERCICIO COMBINADO)

Uno de los factores de: 
5 x^3 y - 20 x^3 y^4 + 20 x^3 y^7 es?

2] Uno de los factores de: x^2 - x - y^2 - y es?

Edad:: 19

Hola joséalejo.

5x³y - 20x³y⁴ + 20x³y⁷ =

Eso es un polinomio. Si se piden unos de los factores, tienes que factorizarlo para ver sus factores. Y luego eliges uno de ellos. "Factor" se le llama a lo que está multiplicando. Por ejemplo, en la multiplicación: 

2.(x + 1).y⁵

Los factores son tres:

El 2
El (x + 1)
Y la y⁵

Así que voy a factorizar al polinomio que te  dieron, para ver cuáles son sus factores:

5x³y - 20x³y⁴ + 20x³y⁷ =

Primero e puede aplicar el Primer caso: Factor común

5x³y.(1 - 4y³ + 4y⁶) =

Y ahí se puede aplicar el Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto

5x³y.(1 - 4y³ + 4y⁶) =
          1              -2y³
             2.1.(-2y³)
                 -4y³

5x³y.(1 - 2y³)² =                  ó también

5x³y.(1 - 2y³).(1 - 2y³)

Allí los factores son varios:

5
x³
y
(1 - 2y³)

Lo que te piden es elegir uno de ellos. Por ejemplo:

5


2) x² - x - y² - y =

Para factorizar allí voy a cambiar el orden de los términos, porque es un ejercicio raro donde hay que agrupar los términos y aplicar distintos casos en cada grupo:

x² - y² - x - y = 
x      y 
Entre los dos primeros términos voy a aplicar Diferencia de Cuadrados. Y entre los dos últimos voy a sacar factor común -1:

(x + y).(x - y) - 1.(x + y) =

Luego, allí quedaron dos términos, y los dos tienen a (x + y) como factor. Observa:

(x + y).(x - y) - 1.(x + y) =

Así que se puede sacar a (x + y) como factor comú:

(x + y).(x - y - 1)

Y así quedó factorizado el polinomio. Los factores son:

(x + y)
(x - y - 1)

Y te piden que elijas uno de ellos. Por ejemplo:

(x + y)

08-04-11 Pregunta de PAOLA    (EJERCICIOS COMBINADOS - RECONOCER EL CASO)

hola que tal, ante todo GRACIAS POR CREAR ESTA PAGINA. 
mi pregunta es: si me dice factoree las siguientes expresiones, combinando los siguientes casos de factores. 
A)x al cuadrado+ax-bx-ab 
B)a al cuadrado+2ab+b al cuadrado-c al cuadrado 
C)X al cubo Y - XY al cubo 
D)X A a la cuarta+x x al cubo -x al cuadrado - x 

¿COMO ME DOY CUENTA EL TIPO DE FACTOREO QUE DEBO OCUPAR? MUCHAS GRACIAS. 

Hola PAOLA. Como te dije antes, en la página hay un apartado donde te dá ciertas pautas para que reconozcas qué caso aplicar, que tienen que ver más que nada con el número de términos del polinomio: RECONOCER EL CASO.

Ahora te muestro cómo podrías darte cuenta en estos ejercicios en particular:

A) x² + ax - bx - ab =

- Primero que nada hay que fijarse si hay factor común (primer caso): no hay, porque no hay ninguna letra que esté en todos los términos, y ningún número que pueda ser factor común (no hay ni números en este polinomio).

- Luego, el polinomio tiene 4 términos, entonces podría aplicarse uno de estos casos:

Cuatrinomio cubo perfecto (Cuarto caso)
Factor común en grupos (Segundo caso)
Gauss (en última instancia)

Pero salta a la vista que no hay ninguna potencia tercera, así que Cuatrinomio cubo.. no es. Entonces podemos probar agrupaciones para ver si se puede aplicar el Segundo caso. Te digo que en ese polinomio sí se puede aplicar el Segundo caso, y te lo dejo a tí para que lo intentes (ya que me preguntabas más que nada cómo reconocer el caso y no cómo hacer los ejercicios). Si no te sale me preguntas.


B) a² + 2ab + b² - c² =

En éste tampoco hay factor común. Y tampoco es Cuatrinomio, por las mismas razones que en otro. Pero tampoco se puede agrupar para el Segundo caso, ya me puedo dar cuenta porque hay una "c" en un sólo término. La verdad, éste es un ejercicio más complicado de factoreo, donde se agrupan los términos pero no para sacar factor común en grupos, sino para usar distintos casos. En la página mostré algunos ejemplos de este tipo de ejercicios (VER EJEMPLOS). En un ejercicio así es el ingenio o la práctica lo que te hace dar cuenta de qué caso puedes usar, luego de que te das cuenta de que no puedes empezar por ningún caso que tome a todos los términos. En un ejercicio así no te puedo decir "cómo me doy cuenta de que caso aplicar": Uno ve que de entrada no se puede aplicar ningún caso a todos los términos, pero sabe que es un ejercicio para factorizar porque nos lo dieron para eso, entonces lo mira pensando si, tomando algunos de los términos (no todos), podría haber algún caso. Y fijate que en este los 3 primeros términos son un Trinomio cuadrado perfecto, y el otro es un cuadrado y está restando. Eso me sugiere que si me olvido del último término y aplico el tercer caso entre los 3 primeros, luego podré continuar con otro caso:

a² + 2ab + b² - c² =
a                  b
       2.a.b

(a + b)² - c² =

Bien, lo que quedó allí es una Diferencia de cuadrados (no de las más simples), cuyas bases son: (a + b) y c. Porque es una resta entre el cuadrado de (a + b) y el cuadrado de c:

(a + b)² - c² =
(a + b)        c

(a + b + c).(a + b - c)


C) x³y - xy³ =

Como siempre primero que nada fijarse si hay factor común. Como las letras "x" e "y" están repetidas en los dos términos, hay factor común:

xy.(x² - y²) =

Y luego tengo una resta de dos cuadrados. Eso debes reconocerlo enseguida como el quinto caso: Diferencia de cuadrados.

xy.(x² - y²) =
       x      y

xy.(x + y).(x - y)


D) x⁴ + x³ - x² - x =     (me imagino que es así, no se entiende muy bien)

Primero que nada hay que ver si hay factor común. Y como la letra "x" está en todos los términos, si lo hay:

x.(x³ + x² - x - 1) =

Luego, quedó un polinomio de cuatro términos: podría ser cuarto caso o segundo. Algunos pueden darse cuenta a simple vista que cuarto caso no es (Cuatrinomio cubo perfecto), pero sino habría que probar:

x³ + x² - x - 1 =
x                   -1
       3.x².(-1)
         -3x²

Ya con eso vemos que no dá, porque si fuera un Cuatrinomio cubo perfecto tendría que estar el término -3x², y no está. El otro caso en el que podemos pensar teniendo cuatro términos es el segundo (Factor común en grupos). Y éste es justamente un caso particular donde se puede agrupar sacando factor común "-1" ó "1", sobre lo cual expliqué en la página (ver aquí):

x³ + x² - x - 1 =

x².(x + 1) - 1.(x + 1) =

(x + 1).(x² - 1) =

Y ahí aparece otra Diferencia de cuadrados, ya que x² es cuadrado y el "1" también:

(x + 1).(x² - 1) =
          x      1

(x + 1).(x + 1).(x - 1)

29-03-11 Pregunta de Laura    (EJERCICIOS COMBINADOS)

Buenas, 
me podrían ayudar con estos 2 ejercicios ? no pude llegar al resultado, en el desarrollo hay algo que no hago bien, 
son de factoreo: 
x^3y-xy^3 
x^4+x^3-x^2-x 

Muchísimas gracias! 

saludos 

Laura 

Hola Laura:

x³y - xy³ = 

xy.(x² - y²) =                 (Saqué factor común "xy")
     x      y

xy.(x + 1).(x - 1)            (Apliqué Diferencia de cuadrados en x² - y²)


El segundo:

x⁴ + x³ - x² - x =

x.(x³ + x² - x - 1) =         (Saqué factor común "x")

Y a x³ + x² - x - 1 lo puedes factorizar por gauss, o como factor común en grupos (es un caso particular, donde conviene sacar factor común "1" o "-1"). Lo hago por factor común en grupos, y te recomiendo unos enlaces donde se muestran y explican varios ejemplos como éste, para que lo entiendas mejor:

x.(x³ + x² - x - 1) =

x.(x².(x + 1) + 1.(-x - 1)) =

(este paso no es necesario si se saca factor común "-1" en vez de "1")

x.[x².(x + 1) - 1.(x + 1)] =

x.[(x + 1).(x² - 1)] =

x.(x + 1).(x² - 1) =                  (Diferencia de cuadrados en x² - 1)
                 x       1
  
x.(x + 1).(x + 1).(x - 1)


Enlaces:

FACTOR COMÚN EN GRUPOS - EJEMPLO 10

07-03-11 Pregunta de Paola           (EJERCICIOS COMBINADOS - SEXTO CASO)

Hola de nuevo: estoy trabada. En la simplificacón del caso 12 hasta el fector común sin ningún problema, pero cuando tengo que aplicar la regla de rufini, no se. Entiendo la forma en qu la explicaste, pero en la explicación lo haces con x, y en los demás casos es 3x y sinceramente no me sale. Me podrás ayudar? Gracias

Hola Paola. Si no me equivoco, lo que no entendiste es cómo factoricé al polinomio:

3x³ + 3 =

Ése es un ejercicio combinado de factoreo, allí se pueden aplicar dos casos. En un ejercicio combinado, hay que sacar Factor Común antes que nada, si se puede por supuesto. Aquí tenemos al 3 como factor común, así que empecemos por eso:

3.(x³ + 1) =

Luego, dentro del paréntesis quedó: x³ + 1, que es una suma de potencias terceras (ya que 1 es igual a 1³). Así que se puede aplicar el Sexto Caso. Voy a tomar sólo ese polinomio por ahora, para que se entienda que lo estoy factorizando sólo a él. Pero luego hay que recordar cómo era el ejercicio al principio:

x³ + 1 = (x + 1)
x       1

Por lo que me dices, ya conoces cómo se aplica el caso. Voy a dividir a x³ + 1 por
(x + 1) ("suma se divide por suma"), y voy a utilizar la regla de Ruffini para la división (porque es lo que se acostumbra):

   | 1    0    0    1
   |
-1|     -1    1   -1
-------------------
     1   -1   1   | 0

El cociente es: 1x² - 1x + 1. Pero como los unos no se ponen, es:

COCIENTE: x² - x + 1

Así que (x³ + 1):(x + 1) = (x² - x + 1). Por lo tanto:

x³ + 1 = (x + 1).(x² - x + 1)

Así quedó factorizado x³ + 1. Pero no olvidemos que el polinomio que estábamos factorizando era:

3.(x³ + 1) =

Así que, en el lugar de (x³ + 1), pongo su equivalente factorizado:
(x + 1).(x² - x + 1). Entonces queda:

3.(x + 1).(x² - x + 1)

Hay otro ejemplo muy parecido a éste explicado en la página. Aquí te dejo en enlace:

COMBINADOS DE FACTOREO - EJEMPLO 3

27-02-11 Pregunta de anahi        (SEXTO CASO)

como es el sexto caso??si nos podes explicar porque nosotros dividimos asi como te mostramos hace rato,pero el signo de dividendo 
y q significa esto??

m m
(a +b ): (a+b) si m es impar

m m
(a +b ): (a-b) Nunca

m m
(a -b ): (a+b) si m es par

m m
(a -b ): (a-b) siempre

si nos puede explicar porque no le entendemos esta parte.

Hola anahi. Es una forma reducida, y un poco retorcida, de decir lo siguiente (lo cual tenés que saber para aplicar el Sexto caso de factoreo)

Si tenés un polinomio de la forma:

a^m + b^m  siendo "m" un número impar (como 3 por ejemplo)

lo puedes dividir por (a + b)  (y no por (a - b))

"Si la potencia es de exponente impar, se divide suma por suma, resta se divide por resta"

Por ejemplo:

a³ + b³ lo puedes dividir por (a + b), y no por (a - b) 

a³ - b³ lo puedes dividir por (a - b), y no por (a + b)

Que lo puedas dividir significa que el resto de la división va a dar cero. Viste que en este caso hay que dividir para factorizar, y la división debe dar cero.

Y para m par:

a^m - b^m se puede dividir por (a - b), y también por (a + b) (por cualquiera de los dos)

En cambio:

a^m + b^m no se puede dividir por ninguno (ni por (a + b), ni por (a - b))

"Si la potencia es de exponente par, la resta se puede dividir por la suma o por la resta; y la suma no se puede dividir por ninguna de las dos":

POTENCIAS IMPARES ---> SUMA POR SUMA - RESTA POR RESTA

POTENCIAS PARES ----> RESTA POR CUALQUIERA - SUMA NO SE PUEDE

Ahora, si lo quieres hacer más simple, para factorizar te alcanza con recordar sólo lo siguiente:

"Si es suma divido por suma, si es resta por resta (sea par o impar la potencia, eso te vale). Con excepción que si es suma de potencia par, no se puede factorizar". Por ejemplo:

x³ + 8 lo divido por (x + 2)
x³ - 8 lo divido por (x - 2)
x⁴ - 16 lo divido por (x - 2)
x⁴ + 16 no se puede

No hace falta recordar que a (x⁴ - 16) también se lo puede dividir por (x + 2), así usas siempre la regla de "dividir por el de la misma operación" y listo.

Eso ya está explicado en la página, por si quieres ver más te dejo el enlace:

SEXTO CASO - SIGNOS DEL DIVISOR

18-02-11 Pregunta de alejandro (EJERCICIOS COMBINADOS AGRUPANDO TÉRMINOS)

Cómo factorizar la siguiente expresión?

25x2y2 - 25 - a2y2 + 10ay

Gracias.

Hola alejandro. Hay que agrupar los términos de manera conveniente, y no está fácil. Probé varias agrupaciones, pero con la única que pude factorizar fue la siguiente (no sé si habrá otra):

Con los 3 últimos términos se puede formar un Trinomio cuadrado perfecto, pero los signos están incorrectos, ya que los cuadrados aparecen negativos. Sin embargo, se pueden cambiar esos signos, sacando factor común -1, o simplemente poniendo los términos entre paréntesis y agregándole un signo "-" delante del paréntesis:

25x²y² - (25 + a²y² - 10ay) =

Cambio el orden de los términos en el trinomio, porque prefiero que las letras vayan primero (eso es optativo). Luego aplico el tercer caso:

25x²y² - (a²y² - 10ay + 25) =
                  ay                    -5
                        2.(-5).ay
                           -10ay

25x²y² - (ay - 5)² =

Y ahora me quedó una Diferencia de cuadrados, no muy común porque el segundo cuadrado es una expresión de dos términos. Aplico el quinto caso. Las "bases" son "5xy" y "ay - 5":

25x²y² - (ay - 5)² = 
5xy            ay - 5

(5xy + (ay - 5)).(5xy - (ay - 5) = (5xy + ay - 5).( 5xy - ay + 5)


RESUMEN DE LOS PASOS:

25x²y² - 25 - a²y² + 10ay

25x²y² - (25 + a²y² - 10ay) =

25x²y² - (a²y² - 10ay + 25) =
                  ay                    -5
                        2.(-5).ay
                           -10ay

25x²y² - (ay - 5)² =

5xy            ay - 5

(5xy + (ay - 5)).(5xy - (ay - 5) =

(5xy + ay - 5).( 5xy - ay + 5)