Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: POLINOMIOS - FACTORIZACION SEGUN SUS RAICES - MULTIPLICIDAD

12-05-11 Pregunta de ana

Estuve leyendo las diferentes formas de encontrar raíces de un polinomio pero me surge la duda si el término independiente es un número bastante alto como encontrar las raíces con el método de los divisores. x ej este y=5x^4-125x^2+720. otra cosa q no me quedo claro es como me doy cuenta de la cantidad de raíces que posee un polinomio. ¿tiene q ver el grado del polinomio? muchas gracias!

Cursando:: curso de ingreso a nivel superior
Edad:: 21
Nacionalidad:: argentina 
¿Qué opinas de la web?: bárbara

Hola ana. En ese polinomio en particular se pueden averiguar todas las raíces tomándolo como una "bicuadrada", pero si quieres usar el método de los divisores, te lo muestro para ese ejemplo:

P(x) = 5x4 - 125x2 + 720

Divisores de 720 = 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,6,-6,...

Bueno, tiene un montón (hay más). Pero quizás no es necesario determinarlos a todos por ahora, porque podemos empezar a buscar raíces entre los primeros. De última, si entre ésos no encontramos raíces, seguimos determinando los divisores de 720.

Para saber si un número es raíz de un polinomio, se le puede "aplicar el polinomio al número" ("especializar" o hallar el "valor numérico"), y si el resultado de esa aplicación dá cero, el número es raiz. Probemos con los primeros:

P(x) = 5x4 - 125x2 + 720

P(1) = 5.14 - 125.12 + 720 = 5.1 - 125 + 720 = 600 ≠ 0  (El "1" no es raiz)

P(2) = 5.24 - 125.22 + 720 = 5.16 - 125.4 + 720 = 80 - 420 + 720 = 380 ≠ 0

P(3) = 5.34 - 125.32 + 720 = 5.81 - 125.9 + 720 = 405 - 1125 + 720 = 0

Ahí encontramos una raiz del polinomio: x = 3. Entonces podemos dividir al polinomio por (x - 3):

(5x4 - 125x2 + 720):(x - 3) =

  | 5    0   -125     0    720
  |
  |
3 |     15     45  -240  -720
   --------------------------
    5   15    -80  -240  |  0

Cociente: 5x3 + 15x2 - 80x - 240

Así que:

(5x4 - 125x2 + 720):(x - 3) = 5x3 + 15x2 - 80x - 240

Entonces:

5x4 - 125x2 + 720 = (x - 3).(5x3 + 15x2 - 80x - 240)

Pero en el polinomio de tercer grado se podrían seguir encontrando encontrando raíces.

5x3 + 15x2 - 80x - 240

Divisores de 240: 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5, etc.  (tiene muchos también)

Pruebo con algunos:

5.33 + 15.32 - 80.3 - 240 = 

5.27 + 15.9 - 240 - 240 = -210 ≠ 0    (Entonces el 3 no es raiz)

5.43 + 15.42 - 80.4 - 240 = 

5.64 + 15.16 - 320 - 240 = 0

Ahí encontré que el 4 es raíz, así que el polinomio 5x3 + 15x2 - 80x - 240 se puede dividir por (x - 4). Lo hacemos:

  | 5   15   -80    -240
  |
4|      20   140     240
  ---------------------
    5    35    60   |   0

Cociente: 5x2 + 35x + 60

Así que:

(5x3 + 15x2 - 80x - 240):(x - 4) = 5x2 + 35x + 60

Entonces:

(5x3 + 15x2 - 80x - 240) = (x - 4).(5x2 + 35x + 60)

Entonces:

P(x) = (x - 3).(5x3 + 15x2 - 80x - 240)

P(x) = (x - 3).(x - 4).(5x2 + 35x + 60)

Y el polinomio de segundo grado quizás también tenga raíces. Pero ahora podemos usar la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas para encontrar las raíces de ese polinomio:

x1,2 = formula resolvente

          -35 +- V352 - 4.5.60
x1,2 = ----------------------
                     2.5

          -35 +- V25
x1,2 = ------------
                10

          -35 +- 5
x1,2 = ----------
               10

x1 = (-35 + 5)/10 = -30/10 = -3

x2 = (-35 - 5)/10 = -40/10 = -4


Y con eso encontramos todas las raíces del polinomio:

x1 = 3     (con gauss)

x2 = 4
     (con gauss)

x3 = -3
    (con la fórmula resolvente)

x4 = -4
    (con la fórmula resolvente)

Y no tiene más raíces, porque un polinomio puede tener a lo sumo tantas raíces como sea su grado. Es decir: no puede tener más raíces que el número de su grado. Éste era un polinomio de grado 4, entonces puede tener como máximo 4 raíces. Ya encontramos 4, así que no hay más.

Podemos escribir el polinomio totalmente factorizado según sus raíces. Primero recordemos que la factorización de la cuadrática queda así:

a.(x - x1).(x - x2)

Así que el polinomio era: 5x2 + 35x + 60, queda factorizado así:

5.(x - (-3)).(x - (-4)) = 5.(x + 3).(x + 4)

Y como a P(x) lo llegamos a factorizar hasta:

P(x) = (x - 3).(x - 4).(5x2 + 35x + 60)

Si reemplazamos el polinomio de grado 2, nos queda así:

P(x) = (x - 3).(x - 4).5.(x + 3).(x + 4)

P(x) = 5.(x - 3).(x - 4).(x + 3).(x + 4)

Así quedó totalmente factorizado según sus raíces. 

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11-04-11 Pregunta de LA MOROCHA DE DOCK SUD

1-UN POLINOMIO DE GRADO 3 PUEDE TENER A LO SUMO 3 RACICES REALES 
2-TODO PLINOMIO DE GRADO 2 PUEDE TENER TRES REALES 
3-TODO POLINOMIO TIENE RAICES 
4-TODO POLINOMIO ES FACTORIZABLE POR GAUSS 
5_FACTORIZAR UN POLINOMIO IMPLICA EXPRESARLO COMO PRODUCTO DEL POLINOMIO PRIMOS DE MENOR GRADO 
6- FACTOEIZAR UN POLINOMIO ES REDUCIRLO A OTROS POLINOMIOS 
7- UN POLINOMIO DE GRADO TRES PUEDE TEENR UNA RAIZ DE MULTIPLICIDAD 3 

X FAVOR NECESITO ESTAS REPUESTAS ES PARA EL COLE Y NO ENTIENDOO...
GRACIAS

Cursando:: 5° AÑO
Edad:: 17
Nacionalidad:: ARGENTINA
¿Qué opinas de la web?: MQUE ES UN AYUDA

Hola MOROCHA DE DOCK SUD.

1) "Un polinomio de grado 3 puede tener a lo sumo 3 raíces reales" VERDADERO

Un polinomio de grado "n" se descompone según sus raíces así:

a.(x - x1).(x - x2)......(x - xn)

Donde x1, x2, ..., xn son sus raíces (reales o complejas)

Así que un polinomio de grado 3, será así:

a.(x - x1).(x - x2).(x - x3)

x1, x2 y x3 son las raíces, y pueden ser reales (Números Reales) o no (Números Complejos). Por ejemplo, el polinomio:

3.(x - 1).(x + 2).(x + 4)

Tiene 3 raíces reales:

x1 = 1
x2 = -2
x3 = -4

Un polinomio de grado 3 no puede tener más de 3 raíces, porque si tuviera 4 por ejemplo, podría escribirse así:

a.(x - x1).(x - x2).(x - 3).(x - x4)

Pero si aplicas la Propiedad distributiva de la multiplicación a ese polinomio, verás que queda de grado 4. Según la cantidad de factores que tenga, es el grado del polinomio. Así que si pudiera tener más de 3 raíces, sería un polinomio de grado mayor que 3. Y puede tener menos de 3 raíces reales, porque podría tener alguna raíz repetida, o algunas raíces complejas. Por ejemplo:

-2.(x - 1)2.(x - 3)

Tiene solamente 2 raíces reales: -1 y 3. Porque la raíz -1 está repetida dos veces, ya que ese polinomio es igual a:

-2.(x - 1).(x - 1).(x - 3)

De la misma forma puede tener 1 sola raíz real. Por ejemplo:

5.(x + 2)3

Su única raíz es x = -2, que está repetida 3 veces, ya que ese polinomio es igual a:

5.(x + 2).(x + 2).(x + 2)


2) "Todo polinomio de grado 2 puede tener 3 raíces reales". FALSO

Por lo mismo que te expliqué antes. Un polinomio de grado 2 se puede factorizar según sus raíces así:

a.(x - x1).(x - x2)

Allí hay lugar para 2 raíces solamente. Un polinomio de grado 2 puede:

- No tener raíces reales (sus raíces son Números Complejos)

- Tener una sola raíz real repetida. Por ejemplo:

3.(x - 5)2

- Tener dos raíces reales. Por ejemplo:

-(x - 1).(x + 4)


3) "Todo polinomio tiene raíces". VERDADERO (Teniendo en cuenta que pueden ser también complejas)


4) "Todo polinomio es factorizable por Gauss". FALSO

Si no tiene raíces racionales no se puede factorizar por gauss.


5) "Factorizar un polinomio implica expresarlo como producto de polinomios primos de menor grado". VERDADERO


6) "Factorizar un polinomio es reducirlo a otros polinomios". VERDADERO (?)

El signo de pregunta es porque no estoy segura de lo que quiere decir con "reducirlo". Pero supongo que se refiere a transformarlo en un producto de otro polinomios.

7) "Un polinomio de grado tres puede tener una raiz de multiplicidad 3". VERDADERO 

Lo de la multiplicidad es de lo que te hablaba más arriba: cuando una raíz está repetida dos veces, se dice que tiene multiplicidad 2. Tres veces: multiplicidad 3. Un polinomio de grado 3 puede tener una sola raíz repetida 3 veces, por ejemplo:

5.(x - 2)3

Tiene una sola raiz: x = 2, y su multiplicidad es 3. Porque ese polinomio es igual a:

5.(x - 2).(x - 2).(x - 2)



26-02-11 Pregunta de Giuli

Me podrian ayudar a resolver este ejercicio?
Halla el unico polinomio de grado 5 que tiene a X=0 como raiz simple y dos raices dobles.
y tambien me gustaria que me expliquen a que se refieren coando me dicen raiz simple, raiz doble.
Muchisimas gracias


A. P(x)= x³-x³(x²-1)
B. P(x)=(x³+x²-x-1)(x²-x)
C. P(x)= x5-1
D. P(x)= x(x-1)(x-2)³
E. Ninguno de los anteriores
Esas son las opciones.


Hola Giuli. Te tengo que explicar algún concepto primero, para que se entienda lo que voy a hacer después. Un polinomio de grado "n" se puede factorizar según sus raíces (no siempre reales) de esta forma:

a.(x - x1).(x - x2).........(x - xn)

Donde x1, x2,..., xn, son sus raíces, y "a" el coeficiente principal (el número que quedaría multiplicando a la x de mayor grado si hiciéramos la multiplicación de todos esos factores).

Entonces un polinomio de grado 5, totalmente factorizado según sus raíces, tendría esta forma:

a.(x - x1).(x - x2).(x - x3).(x - x4).(x - x5)

Por ejemplo, un polinomio de grado 5 te puede quedar así:

2.(x - 3).(x + 1).(x - 4).(x - 4).(x + 9)

Allí se pueden ver las raíces:

x1 = 3
x2 = 1
x3 = 4
x4 = 4
x5 = -9

Pero fijate que x3 y x4 son iguales. Entonces no son dos raíces: es una sola que está repetida. Se le llama: raíz doble. Las otras, como están una sola vez, son "raíces simples".

Entonces, lo que tenemos que hacer con los polinomios que nos dieron en las opciones es encontrar sus raíces (y desde ya te digo que eso puede hacerse de varias maneras diferentes). A ver cuál de ellos cumple con lo que pide el enunciado:

- Una de las raíces tiene que ser cero.
- Dos raíces deben estar "repetidas".

Por ejemplo, el siguiente polinomio cumple con eso:

-3.(x - 0).(x + 1).(x + 1).(x - 2).(x - 2)

Ya que sus raíces son:

x1 = 0    (raíz simple)
x2 = -1
x3 = -1
x4 = 2
x5 = -2

El problema es que los polinomios que te dá en las opciones no están totalmente factorizados, así que no podemos "ver" las raíces como en estos ejemplo que te dí yo. Pero podemos hacer alguna de las dos cosas siguientes:

- Factorizarlos totalmente para "ver sus raíces" (El objetivo es factorizar totalmente al polinomio y las raíces se ven después).

- Igualarlos a cero y resolver la ecuación que queda (El objetivo es buscar las raíces, y en todo caso después sirven también para presentar al polinomio totalmente factorizado).

Pero con el segundo procedimiento (que quizás es más práctico o fácil) no siempre se ve la multiplicidad de las raíces (si son simples, dobles, etc.). Así que vamos a hacerlo factorizando totalmente:


A. P(x)= x3 - x3.(x2 - 1)

Hay una forma muy práctica de factorizar ese polinomio, que es sacando factor común x3. Pero no es algo que los alumnos en general quieran o se les ocurra hacer en una situación así. Aunque me tienta mucho hacerlo, me parece que vas a entender mejor si no lo hago (cualquier cosa si te interesa después me preguntas). En su lugar, lo que voy a hacer es aplicar la distributiva para que queden todos los términos sumando y restando, y luego factorizar el polinomio desde el principio:

x3 - x5 + x3 =

2x3 - x5 =

x3.(2 - x2) =            (Factor común - Ejemplo 2)

Bueno, acá pasa algo particular: 2 - x2 tiene raíces Reales aunque no "exactas" (irracionales). Si bien cuando se ven los casos de factoreo en general no se factoriza, pero aquí sí, porque queremos ver todas sus raíces, racionales o irracionales. Para factorizar eso lo podemos hacer con Diferencia de cuadrados, o igualando a cero y despejando. Lo hago de la primera forma:

Con Diferencia de cuadrados (Combinado, porque primero hay que "sacar el menos adelante" para cambiar los signos, lo que equivale a sacar factor común -1. Y luego cambiar el orden de los términos. Cualquier cosa si no entiendes luego me preguntas y te explico únicamente esa parte):

2 - x2 =

-(x2 - 2) = -(x + V2).(x - V2)
   x     V2

Así que la factorización completa es:

x3.[ -(x + V2).(x - V2)] =

-x3.(x + V2).(x - V2)

Pero para ver todas las raíces hay que darse cuenta que x3 = x.x.x, y eso es igual a (x - 0).(x - 0).(x - 0), donde la raíz es 0. Así que, para que veas todas las raíces y su multiplicidad, lo pongo así:

-(x - 0).(x - 0).(x - 0).(x + V2).(x - V2)

Entonces las raíces son:

x = 0         raíz triple
x = V2       raíz simple
x = -V2      raíz simple

Este polinomio no cumple con lo que decía el enunciado.


B. P(x) = (x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)

Se puede aplicar Factor común en grupos en la primera parte, y factor común en la segunda. Es un ejercicio combinado de factoreo.

(x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)

[x2.(x + 1) - 1.(x + 1)].x.(x - 1) =          (CASO PARTICULAR DE SEGUNDO CASO)

(x + 1)(x2 - 1).x.(x - 1) =

Y ahora hay una diferencia de cuadrados en el segundo factor:

(x + 1)(x2 - 1).x.(x - 1) =
  x     1

(x + 1).(x + 1).(x - 1).x.(x - 1) =

x.(x + 1).(x + 1).(x - 1).(x - 1) =             (la x adelante queda mejor)

(x - 0).(x + 1).(x + 1).(x - 1).(x - 1)        (para que veas que el 0 es raíz)

Ahí está completamente factorizado. Y se que las raíces son:

x = 0       raíz simple
x = -1      raíz doble
x = 1       raíz doble

Este polinomio cumple con lo que decía el enunciado respecto a las raíces: una es cero, y las otras dos son dobles. Pero ¿es de grado 5? Sí, porque fijate que tiene 5 factores, y si aplicaras la distributiva para llevarlo a la forma de sumas y restas, te daría un polinomio de grado 5, ya que la x se multiplica 5 veces (te queda x5 como potencia más alta):

La respuesta correcta es la B.

Bueno... el enunciado decía "el único polinomio", y ya lo encontramos. Así que no haría falta hacer los que siguen... Pero los tengo que hacer supongo:


C. P(x) = x5-1

x5 - 1 = (x - 1).(x4 + x3 + x2 + x + 1)             (Con Sexto caso)
x      1

La factorización total del polinomio es ésa:

(x - 1).(x4 + x3 + x2 + x + 1)

ya que (x4 + x3 + x2 + x + 1) no se puede factorizar. Así que la única raíz de este polinomio es:

x = 1

Y obviamente no cumple con lo que pide el enunciado.


D. P(x)= x.(x - 1).(x - 2)3

Y éste por suerte está totalmente factorizado. Lo transformamos un poco para que veas las raíces y su multiplicidad (para reforzar la idea):

(x - 0).(x - 1).(x - 2).(x - 2).(x - 2)

Las raíces son:

x = 0    raíz simple
x = 1    raíz simple
x = 2    raíz triple

Este polinomio no cumple con lo que pide en enunciado.

Con ésto último confirmamos que entre las opciones había un único polinomio que cumplía eso:

P(x) = (x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)       (Respuesta B)


RESUMEN DE LOS PASOS:

A. P(x)= x3 - x3.(x2 - 1)

x3 - x5 + x3 =

2x3 - x5 =

x3.(2 - x2) =

x3.[-(x2 - 2)] =
          x    V2

x3.[ -(x + V2).(x - V2)] =

-x3.(x + V2).(x - V2)

-(x - 0).(x - 0).(x - 0).(x + V2).(x - V2)     (este paso es sólo por si lo necesitas)

x = 0        raíz triple
x = V2      raíz simple
x = -V2     raíz simple

No cumple las condiciones.


B. P(x) = (x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)

(x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)

[x2.(x + 1) - 1.(x + 1)].x.(x - 1) =

(x + 1)(x2 - 1).x.(x - 1) =

(x + 1)(x2 - 1).x.(x - 1) =
  x     1

(x + 1).(x + 1).(x - 1).x.(x - 1) =

x.(x + 1).(x + 1).(x - 1).(x - 1) = 

(x - 0).(x + 1).(x + 1).(x - 1).(x - 1)        (para que veas que el 0 es raíz)

x = 0       raíz simple
x = -1      raíz doble
x = 1       raíz doble

Cumple con lo que decía el enunciado. La respuesta B es correcta.


C. P(x) = x5-1

x5 - 1 = (x - 1).(x4 + x3 + x2 + x + 1)
x      1

(x - 1).(x4 + x3 + x2 + x + 1)

x = 1  raíz simple

No cumple las condiciones.


D. P(x)= x.(x - 1).(x - 2)3

Y éste por suerte está totalmente factorizado. Lo transformamos un poco para que veas las raíces y su multiplicidad (para reforzar la idea):

(x - 0).(x - 1).(x - 2).(x - 2).(x - 2)

x = 0    raíz simple
x = 1    raíz simple
x = 2    raíz triple

No cumple las condiciones.

Respuesta: B. P(x) = (x3 + x2 - x - 1).(x2 - x)

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