TEMA: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

23-04-11 Pregunta de walter   (FACTOREO COMBINADO - HALLAR LAS RAICES)

necesito hallar las raices de los siguientes polinomios y factorearlos: 
Por caso de factoreo: 
Q(x)= x*5-4x*3-8x*2+32 
M(x)= 8x*3-80x*2+200x 
y por Gauss 
P(x)= x*3-6x*2+11x-6 
donde * representa elevado a la potencia.-

Cursando:: Comercio Exterior
Edad:: 27
Nacionalidad:: argentina
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Hola walter.

Q(x) = x⁵ - 4x³ - 8x² + 32

Ahí se puede sacar factor común en grupos (2do caso):

x³.(x² - 4) + 8.(-x² + 4) =

x³.(x² - 4) - 8.(x² - 4) =

(x² - 4).(x³ - 8) =

Y en cada paréntesis se puede aplicar un caso: Diferencia de cuadrados (quinto caso), y Suma o resta de potencias... (sexto caso). Los aplico de a uno para que se entienda mejor:

(x² - 4).(x³ - 8) =
 x      2

(x + 2).(x - 2).(x³ - 8) =
                     x      2

(x³ - 8) es divisible por (x - 2):

   | 1   0   0   -8
   |
   |
2 |      2   4    8
   ---------------
     1   2   4  | 0

x³ - 8 = (x - 2).(x² + 2x + 4)

Así que el polinomio completo factorizado es:

(x + 2).(x - 2).(x - 2).(x² + 2x + 4)

ó también:

(x + 2).(x - 2)².(x² + 2x + 4)

LAS RAÍCES:

(x + 2).(x - 2)².(x² + 2x + 4) = 0     si

x + 2 = 0

x = 0 - 2

x = -2

(x - 2)² = 0

x - 2 = V0

x - 2 = 0

x = 0 + 2

x = 2

x² + 2x + 4 = 0    no tiene solución, así que por aquí no hay ninguna raíz.

Así que todas las raíces de ese polinomio son:

x₁ = -2
x₂ = 0
x₃ = 2


M(x) = 8x³ - 80x² + 200x

Ahí se puede sacar factor común 8x:

8x.(x² - 10x + 25) =

Y aplicar Trinomio cuadrado perfecto (tercer caso) en el paréntesis:

8x.(x² - 10x + 25) =
    x                 -5
          2.x.(-5)
            -10x

M(x) = 8x.(x - 5)²

LAS RAÍCES:

8x.(x - 5)² = 0

8x = 0

x = 0:8

x = 0

(x - 5)² = 0

x - 5 = V0

x - 5 = 0

x = 0 + 5

x = 5

Raíces: x₁ = 0; x₂ = 5


Factoreo por Gauss (Para más detalle consultar la explicación en la página: Gauss)

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Divisores del término independiente (6): 1,-1, 2,-2, 3,-3, 6,-6

P(1) = 1³ - 6.1² + 11.1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

Entonces x = 1 es raíz del polinomio. El polinomio es divisible por (x - 1)

  | 1    -6   11    -6
  |
  |
1|        1    -5    6
  ------------------
     1    -5    6  | 0

Así que P(x) es igual a:

P(x) = (x - 1).(x² - 5x + 6)

Ahora x² - 5x + 6 se puede factorizar por el Séptimo caso, o seguir por Gauss. Como te pedían por Gauss (aunque quizás sólo en el primer paso), sigo con Gauss:

Divisores de 6: los mismos que antes

x² - 5x + 6 =

1² - 5.1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2       El "1" no es raiz

2² - 5.2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0     Entonces el "2" es raíz. 

El polinomio x² - 5x + 6 es divisible por (x - 2)

   | 1    -5    6
   |
   |
2 |        2   -6
   -------------
     1  - 3  |  0

Así que x² - 5x + 6 = (x - 2).(x - 3)

P(x) = (x - 1).(x - 2).(x - 3)

RAICES:

(x - 1).(x - 2).(x - 3) = 0

x - 1 = 0

x = 0 + 1

x = 1


x - 2 = 0

x = 0 + 2

x = 2


x - 3 = 0

x = 0 + 3

x = 3