Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FACTOREO DE POLINOMIOS

21-10-10 Pregunta de mauricio

hola! quisiera saber como se resuelve esta cuatrinomio cubo perfecto.. y3+3y2+3y+1 (la primera y esta elevada al cudo y la segunada y al cuadrado,, gracias

Hola mauricio.

y3    +    3y2    +    3y    +    1 = (y + 1)3

y                                                 1
          3.y2.1       3.y.12
            3y2           3y


En ese polinomio hay dos "cubos" (potencias terceras). Uno es, evidentemente, y3. Y el otro es 1, ya que 13 = 1. Es decir, hay dos términos que son igual a "algo elevado a la tercera". y3 es igual a "y elevado a la tercera"; y 1 es "1 elevado a la tercera". Otro ejemplo en donde quizás se note más: 8 es igual a 23, entonces 8 es un cubo, porque es igual a "algo elevado a la tercera", es igual a "2 elevado a la tercera": 23. A esos "algo" se les llama "bases" (¿qué son las "bases"?). En este ejercicio las bases son: "y" y "1". Luego, hay que verificar que los otros dos términos son igual a: "El triple producto de una de las bases elevada al cuadrado, por la otra base". En general, si llamo a y b a las bases, esos términos tienen que ser igual a:

3.a2.b    y    

3.a.b2

Como las bases son "y" y "1", lo que se tiene que verificar es que esos otros dos términos que tiene el polinomio ("3y2" y "3y") sean iguales a:

3.y2.1    y

3.y.1

Así que veamos:

3.y2.1 = 3.1.y2 = 3y2    Bien

3.y.12 = 3.y.1 = 3.1.y = 3y   Bien

Entonces puedo decir que ese polinomio es un cuatrinomio cubo perfecto, que proviene de elevar a la tercera (cubo) a una suma (binomio, dos términos positivos o negativos), a la suma de las "bases":

(y + 1)3

Ya que para elevar una suma a la potencia tercera, se usa esta fórmula:

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Y si se la aplicamos a (y + 1)3, vemos que efectivamente dá el polinomio que nos dieron para factorizar:

(y + 1)3 = y3 + 3.y2.1 + 3.y.12 + 13 = y3 + 3y2 + 3y + 1

Más explicación y ejemplos en las páginas dedicadas a este Caso de factoreo:

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO




14-09-10 Pregunta de Sofi

Hola, si espero que me puedas ayudar, gracias.
Di que clase de factoreo puedes utilizar:

- 4 a2 + b2 =
4 x2 - 28 x + 49 =
(x +1) 3 x - (x+1) (x + 3)
x2 - 5 x – 6 =
9 +6x2 + 1 =
121 – x4 =


Factoriza:


9/16 x2 – 3/ 2 x + 1=
121 x4 – 9=
x2 - 7 x + 10=
(x+2)(x+1) - ( 2x +3) ( x + 2)=
121 x2 - 88 x + 16 =
 

Hola Sofi:

Te ayudo para que descubras qué Caso puedes usar en cada uno. Y también te conviene consultar en la página donde se explica cómo reconocer qué Caso usar en un polinomio: Ver aquí

Dí que Caso de Factoreo puedes utilizar:

-4b2 + b2 =

Ayuda: Si cambias el orden de los términos, tienes una resta de dos potencias cuadradas.

4x2 - 28x + 49 =

Ayuda: Tiene 3 términos. Hay dos términos que son cuadrados.

(x + 1).3x - (x + 1).(x + 3) =

Ayuda: (x + 1) está multiplicando en todos los términos.

x2 - 5x - 6 =

Ayuda: Tiene 3 términos. Uno es una letra al cuadrado. Pero los otros no son cuadrados.

121x2 - 88x + 16 =

Ayuda: lo mismo que en el segundo ejercicio.

Factorizaciones: 

9/16 x2 – 3/2 x + 1=
121 x4 – 9=
x2 - 7 x + 10=
(x+2)(x+1) - (2x +3)(x + 2)=
121 x2 - 88 x + 16 =  

Son casi todos ejercicios típicos de los Casos de Factoreo (menos el cuarto ejercicio), que si aprendiste los Casos los podrás resolver sin problema. Y sino, en la página están explicados ejercicios como ésos. Te paso los enlaces que te pueden servir:

Trinomio Cuadrado Perfecto - Ejercicios Resueltos
Ejemplo 3 (Con fracciones)
Ejemplo 6 (Con un número multiplicando a la letra)

Diferencia de Cuadrados - Ejercicios Resueltos
Ejemplo 5 (Con potencias distintas de 2)
Ejemplo 6 (Con términos compuestos)

Trinomio de Segundo Grado - Ejercicios Resueltos

Factor Común - Ejercicios Resueltos
Ejemplo 8 (El factor común es una expresión de dos términos)



12-09-10 Pregunta de Ana

5x (a2 – b+c) + 6 (a2– b + c) =
6 x 3– 1 – x 2+ 6 x =
(1+5x) (x + 2) + 2 x ( x+2) + 3 ( x + 2) =

Por favor si puedes ayudarme te lo agradeceria mucho, no entendi estos ejercicios de factor comun

Hola Ana.

Primer ejercicio:

5x.(a2 – b + c) + 6.(a2 – b + c) = (a2 - b - c).(5x + 6)


El factor común aquí es toda la expresión (a2 - b + c), porque está multiplicando en ambos términos. En el EJEMPLO 8 del Primer Caso expliqué una situación así. Piensa así: ¿"qué queda en cada término cuando le quito el factor común (a2 – b + c)?". Ves que en el primer término queda 5x, y en el segundo término queda 6. Por eso, queda (5x + 6).

Segundo ejercicio:

6x3 – 1 – x2 + 6 x =

Éste es un ejercicio combinado, y no de los más fáciles. Primero hay que aplicar el Segundo Caso: Factor común en grupos. Pero además, es una situación particular de ese Caso, lo cual expliqué en la página en el EJEMPLO 10. Espero que conozcas ya bien el Segundo Caso, sino te costará seguir la explicación siguiente.
Primero voy a cambiar el orden de los términos para que veas como agrupo:

6x3 + 6 x – 1 – x2 =

Ahora voy a sacar factor común en el primer grupo (hago las cosas de a una para que se entienda mejor, pero tú puedes hacer todo en el mismo paso):

6x.(x2 + 1) - 1 - x2 =

En el segundo grupo no hay factor común entre los términos, pero los términos son iguales a los que quedaron entre paréntesis en el primer grupo: x2 y 1. En un caso así se saca factor común 1 en el segundo grupo, porque así se podrá seguir con el Caso:

6x.(x2 + 1) + 1.(-1 - x2)=

Luego, como los signos quedaron diferentes y ambos signos son opuestos, hago un "cambio de signos" (también podrías haber sacado factor común -1 en el paso anterior, si es que sabes hacerlo). Me queda:

6x.(x2 + 1) - 1.(1 + x2)=

Pero ahora veo también que están "desordenados", es decir: son los mismos términos, pero en distinto orden. Hago un paso para ordenarlos, pero no es obligatorio.

6x.(x2 + 1) - 1.(x2 + 1)=

Y finalmente concluyo con el Caso, haciendo la segunda sacada de factor común:

(x2 + 1).(6x - 1)


Tercer ejercicio:

(1 + 5x).(x + 2) + 2x.(x + 2) + 3.(x + 2) =

(x + 2).(1 + 5x + 2x + 3) =

(x + 2).(7x + 4)


Éste es como el primero: el factor común es una expresión de varios términos: (x + 2). Luego en el segundo paréntesis quedan términos que se pueden "juntar": "las x con las x y los números con los números". Por eso queda: (7x + 4)


Espero que te sirva, y cualquier duda en algún paso consulta. El segundo es el más complicado pues hay que conocer muy bien el Caso para entenderlo.



12-09-10 Pregunta de Sofía

( 5 + x) 2 - 36 = 
(5x -6) 2 – (x + 3)2=

No se como hacer cuando en estos casos, Muchas gracias


Hola Sofi. Son para factorizar con el Quinto Caso: Diferencia de cuadrados, porque son dos términos cuadrados que están restándose. La dificultad radica en que el primer término "tiene dos términos adentro". Te muestro cómo se hacen, y luego te explico:

(5 + x)2 - 36 = (5 + x + 6).(5 + x - 6) = (x + 11).(x - 1)
 5 + x       6

Las "bases" de los cuadrados son: "(5 + x)" y "6". Y este Quinto Caso se factoriza como "el producto (multiplicación) de la suma por la resta de las bases". Entonces, hay que multiplicar la suma de (5 + x) y 6, por la resta de (5 + x) y 6. Eso sería así:

(5 + x + 6).(5 + x - 6)

Aquí te puse al 5 + x remarcado, para que lo veas mejor separado del 6. Luego, el 5 con el 6 se pueden sumar en el primer factor, y restar en el segundo. Por eso quedó: (x + 11).(x - 1).


(5x -6)2 – (x + 3)2=
 5x - 6       x + 3


(5x - 6 + x + 3).[(5x - 6) - (x + 3)] =

(6x - 3).(5x - 6 - x - 3) =

(6x - 3).(4x - 9)


En éste, las dos bases tienen dos términos. Pero siempre se trata de lo mismo: "La suma de las bases por la resta de las bases. En el segundo factor tuve que poner paréntesis para restar (x + 3), porque así debe ser cuando hay que restar algo que tiene más de un término, ya que el signo menos afecta a todos los términos. Luego quité el paréntesis y cambié los signos de x + 3, por lo que quedó -x - 3. Después junté "las x con las x y los números con los números", como se hace en las operaciones con expresiones algebraicas, polinomios, etc. Por eso quedó:
(6x - 3).(4x - 9)

Bueno Sofi, espero que lo entiendas, y sino vuelve a consultar cualquier duda. Gracias por tu consulta, y me ha dado la idea de agregar un ejemplo como éstos en la página, ya que no puse ninguno así.



24-08-10 Pregunta de PG

b2 + e2 - a2 - d2 + 2ad + 2bc =

Hola PG. Supongo que quieres ver cómo se factoriza ese polinomio. Pero creo que está mal copiado, y que el segundo término debería ser c2 y no e2. Porque no hay otra "e" en el polinomio. Lo hago suponiendo que es así:

b2 + c2 - a2 - d2 + 2ad + 2bc =

Este ejercicio es un poco más complicado que la mayoría de los ejemplos que muestro en la página. Es para agrupar términos, como los últimos ejemplos que puse "para avanzados" (del EJEMPLO 12 en adelante de los ejercicios combinados). Se puede factorizar así:

Primero lo voy a ordenar, para que se vea que términos voy a agrupar:

b2 + 2bc + c2 - a2 + 2ad  - d2 =

En cada uno de esos grupos se puede aplicar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Pero en el segundo grupo tengo que cambiar los signos antes, entonces saco factor común -1. Luego aplico el Tercer Caso a cada grupo:

b2 + 2bc + c2 -1.(a2 - 2ad  + d2 )=
b                  c         a                 -d
       2.b.c                        2.a.(-d)
        2bc                          -2ad


(b + c)2 - 1.(a - d)2 =

(b + c)2 - (a - d)2
 (b + c)        (a - d)

Y eso es una Diferencia de cuadrados, donde las bases son (b + c) y (a - d):

 (b + c + a - d).[b + c - (a - d)] =

 (b + c + a - d).(b + c - a + d)

Resumen de los pasos:

b2 + c2 - a2 - d2 + 2ad + 2bc =

b2 + 2bc + c2 - a2 + 2ad  - d2 =
b                 c         a               -d
       2.b.c                        2.a.(-d)
        2bc                          -2ad


b2 + 2bc + c2 -1.(a2 - 2ad  + d2 )=

(b + c)2 - 1.(a - d)2 =

(b + c)2 - (a - d)2
 (b + c)        (a - d)

 (b + c + a - d).[b + c - (a - d)] =

 (b + c + a - d).(b + c - a + d)

Espero que lo hayas entendido, o sino consulta cualquier duda que te haya quedado en algún paso.



12-08-10 Pregunta de martin hormanstorfer

Les envio este mail para pedirles ayuda en la factorizacion de un polinomio que apartentemente se trata de un cuatrinomio cuadrado perfecto , pero que al aplicar el mecanismo utilizado anteriormente en los otros polinomios , no logro resolverlo. Desde ya muchisimas gracias.

El polinomio es el siguiente: 9m2x3 + 1 – x3 – 9m2 


Hola martin. No es un Cuatrinomio cuadrado perfecto. Ese polinomio se puede factorizar con el Segundo Caso: Factor común en grupos. Y luego con Diferencia de Cuadrados y con Suma o resta de potencias de igual grado. Es un ejercicio combinado, y no es de los más comunes.

9m2x3 + 1 - x3 - 9m2 =

Voy a cambiar el orden de los términos, para que se vea cómo agrupo para aplicar el segundo caso:

9m2x3 - 9m2 - x3 + 1 =

9m2.(x3 - 1) + 1.(-x3 + 1) =

(Es uno el caso particular donde hay que sacar factor común 1, como el EJEMPLO 10 del Segundo Caso)

9m2.(x3 - 1) - 1.(x3 - 1) =

(Hice el cambio de signos, para que quede igual lo que está entre paréntesis. Eso se explica en el EJEMPLO 5 del Segundo Caso)

(x3 - 1).(9m2 - 1) =

Ahora se puede aplicar el Sexto Caso ("Ruffini") en el primer factor. Y Diferencia de Cuadrados en el segundo. Los hago de a uno para que se entienda mejor. 

(x3 - 1).(9m2 - 1) =
 x     1

(x - 1).(x2 + x + 1).(9m2 - 1) =

(Consulta el EJEMPLO 2 del Sexto Caso si quieres ver el procedimiento completo de la factorización)

(x - 1).(x2 + x + 1).(9m2 - 1) =        (Por último aplico Diferencia de Cuadrados)
                            3m     1

(x - 1).(x2 + x + 1).(3m + 1).(3m - 1)

Como vez, no era un Cuatrinomio Cubo Perfecto, porque sino hubiera llegado a un resultado con la siguiente forma: (a + b)3.

Cualquier duda que te haya quedado, vuelve a consultar.



05-06-10 Pregunta de Spawn

como puedo resolver esta operacion,la verdad ya no me acuerdo y no la encuentro por ningun lado 5b a la tercera potencia menos 3b a la tercera potencia mas 2b a la segunda potencia

Hola Spawn. Depende del tema que estés viendo es lo que te pedirán que hagas en ese ejercicio.

1) Si estás viendo el tema "Expresiones Algebraicas" (operaciones con letras), pero no viste el tema "Factor Común", lo que puedes hacer es esto:

5b3 - 3b3 + 2b2 =

2b3 + 2b2

Porque 5b3 - 3b3 es igual a 2b3 . Agrupé los dos primeros términos porque tienen igual la "parte literal", es decir, "b3". En cambio a 2b2 no lo puedo agrupar con ningún otro término, ya que es el único que tiene "parte literal" igual a b2

Pero si el tema que estás viendo es "Factoreo", o te enseñaron a sacar "Factor común", podrías hacer un paso más:

2b2.(b + 1)

(saqué factor común "2b2")

Espero que te sirva y cualquier duda vuelve a preguntar.



25-04-10 Pregunta de Claudia:

espero q me respondas a este correo, estoy en crisis y tengo examen
Como se factoriza X^3y + 5x^2y^3 -20xy


Hola Claudia. En ese polinomio se puede sacar factor común (primer caso de factoreo), y queda así:

xy.(x2 + 5xy2 - 20)           RESULTADO

Explicación:

El factor común es "xy", porque en todos los términos está tanto la letra "x" como la "y", y el menor exponente con el que aparecen en alguno de ellos es 1. Recordemos que cuando sacamos como factor común alguna letra, hay que hacerlo con el menor exponente con que aparece en el polinomio. Y también recordemos que si una letra "no tiene exponente" está en realidad elevada a la potencia "1". Le voy a poner el "1" en el polinomio original así se ve mejor:

x3y1 + 5x2y3 - 20x1y1

La letra "x" está en el primer término elevada a la 3, en el segundo está elevada a la 2 y en el tercero está elevada a la 1. ¿Cuál es el menor exponente con que aparece? El 1, entonces hay que sacar como factor común a x1, que es lo mismo que "x".
La letra "y" está en el primer término elevada a la 1; en el segundo, a la 3 y en el tercero a la 1. ¿Cuál es el menor exponente con que aparece? El 1, entonces hay que sacar como factor común a y1, que es lo mismo que "y".
Entre los números no hay factor común, porque el primer término "no tiene número" (coeficiente). El único número que "divide" a todos los coeficientes (1, 5 y 20) es el número 1, y factor común 1 no tiene sentido sacar (quedaría todo igual). Para un número como factor común, todos los coeficientes deben ser múltiplos de algún mismo número (que no sea 1). Por ejemplo, ahí tienes el 5 y el 20 que ambos son múltiplos de 5 (se pueden dividir por 5). Si el número del primer término fuera también un múltiplo de 5 (5, 10, 15, 20 , 25, etc.), se podría sacar "factor común 5". Pero no es el caso porque el primer término "no tiene número" (el coeficiente es "1").
Entonces, el factor común completo que hay que sacar es "xy" (que es lo mismo que x1.y1)

Luego de "sacar el factor común", hay que dividir a todos los términos por él:

(x3y1) : (x1y1) = x2   Se restan los exponentes de cada letra (División Potencias de Igual Base)

(5x2y3):(x1y1) = 5x1y2  ó lo que es igual 5xy2

(-20x1y1):(x1y1) = -20

Si te quedan dudas en cómo hacer estas divisiones, puedes ver más aquí:

Divisiones de monomios

Y para más explicación y ejemplos de sacar factor común con letras, te recomiendo ver el segundo ejemplo resuelto y su explicación y comentarios:

FACTOR COMÚN - EJEMPLO 2

Gracias por tu consulta. Espero te sirva la respuesta y cualquier duda vuelve a preguntar.



Pregunta de Seba (Argentina - 1ero Polimodal):

¿Cuál es el factor común en 16x3 - 24a + 40z2?

El factor común entre esos números es el número 8. Porque los tres números son divisibles por 8, y es el mayor de los números que dividen a los tres (también son divisibles por 2 y por 4). Es decir, que puedes dividir al 16 por 8, puedes dividir al 24 por 8, y puedes dividir al 40 por 8. Y 8 es el mayor número con el que puedes hacer eso.
Siempre el factor común entre los números es su DCM o MCD (Máximo Común Divisor). En un caso así donde no te das cuenta a simpre vista cuál es el número, puedes calcular el DCM entre ellos.
O también lo puedes pensar así: "El 8 está "incluido" en el 16, en el 24 y en el 40" (lo de "incluido" es puramente para ilustrar, pero no se dice de esa forma). Porque:

16 es igual a 8.2

24 es igual a 8.3

40 es igual a 8.5

Ves como el 8 "está" en todos esos números. Es común a esos números. Es un "factor común" a esos números. Y como es "lo mayor" que hay entre ellos (el MCD), es el "factor común" que me piden que saque en estos ejercicios. Porque, por ejemplo, el número "4" también "está" en todos esos números, ya que: 16 es igual a 4.4, 24 es igual a 4.6 y 40 es igual a 4.10. El 4 también es "un factor que tienen en común" esos números. Pero no es "el factor común" que tenemos que sacar en estos ejercicios, porque hay que sacar al número más grande que cumpla con eso (el MCD).

Más sobre esto en:

EJEMPLO 6 (Factor Común entre números grandes)

MCD (o DCM) (Máximo Común Divisor)

FACTOR COMÚN (Ejemplos Resueltos y Conceptos Generales)

EJEMPLO 1 (Cómo sacar factor Común entre los números)




Pregunta de José (Argentina - 5to año):

¿Hola! como hago para factorizar completamente este polinomio:
a.b6 - a7=?


ab6 - a7 =


Primero tienes que sacar factor común "a", y te queda:

a.(b6 - a6) =

Luego, en lo que quedó puedes aplicar alguno de estos dos Casos: Diferencia de Cuadrados, o el de "Ruffini" (Sexto Caso). Lo hago con Diferencia que es más fácil:

a.(b6 - a6) = a.(b3 + a3).(b3 - a3) =
     b3    a3

Ahora, te quedó para aplicar "Ruffini" en esos dos que quedaron. Para ir de a poco te muestro como queda luego de aplicarlo en (b3 + a3):

a.(b + a).(b2 - ab + a2).(b3 - a3) =

Y por último lo hago con (b3 - a3), y queda:

a.(b + a).(b2 - ab + a2).(b - a).(b2 + ab + a2)

Si no sabes cómo hacer la división de Ruffini con dos letras (b + a) ó (b - a), eso está explicado aquí:

DIVISIÓN DE RUFFINI CON 2 LETRAS

Y sino consultáme de nuevo que te muestro cómo son estas dos.

El ejercicio completo sería entonces así, en RESUMEN:


ab6 - a7 =
a.(b6 - a6) =
a.(b3 + a3).(b3 - a3) =
a.(b + a).(b2 - ab + a2).(b3 - a3) =
a.(b + a).(b2 - ab + a2).(b - a).(b2 + ab + a2)


Lo que usamos se puede consultar en las siguientes páginas:

FACTOR COMÚN CON LETRAS (EJEMPLO 2)

DIFERENCIA DE CUADRADOS (EJEMPLO 2)

SEXTO CASO ("RUFFINI") CON DOS LETRAS (EJEMPLO 6)





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