TEMA: PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

25-04-11 Pregunta de Luis Fernando

Hola estoy muy complicado con estos ejercicios, necesito aclararlos, agradecería pronta respuesta: 

1)El producto del 4º término de una P.G. por el 6º término es 5184. Calcular el 5º término. 

2)El tercer término de una P.G. es 15 y el quinto es 735. ¿Cuál es el cuarto término? 

3)Expresar el valor general del 4º y del 16º término de una P.G. 

4)Calcular el 8º y el 12º término de la progresión 4, 8, 16, ... 

5)Calcular la razón en la progresión: 
a)7, 21, 63, 189,...

Hola Luis Fernando.

1) El producto del 4º término de una P.G. por el 6º término es 5184. Calcular el 5º término.

Para resolver esto se puede usar que la razón de una Progresión Geométrica se puede calcular dividiendo un término por el anterior. Por ejemplo: el 5° dividido el 4°, el 9° dividido el 8°. Es decir:

q = x_n/x_n-1

Entonces:

x₅/x₄ = q

x₆/x₅ = q

Y como q = q, entonces puede igualar:

x₅/x₄ = x₆/x₅

Y aplico la propiedad fundamental de las proporciones:

x₅² = x₄.x₆

Pero como x₄.x₆ = 5184 según el enunciado, entonces:

x₅² = 5184

|x₅| = V5184

x₅ = 72     ó      x₅ = -72

En realidad hay dos resultados posibles, y aunque no pude calcularlo con los datos, pude deducir (a partir de descomponer al número 5184) cómo serían las Progresiones que cumplen con eso:

Primera progresión que cumple con el enunciado:

9/2 ; 9 ; 18 ; 36 ; 72 ; 144 ; etc.

q = 2

x₄ = 36

x₅ = 72

x₆ = 144

x1 = 9/2

x₄.x₆ = 36.144 = 5184

Segunda progresión:

-9/2 ; 9 ; -18 ; 36 ; -72 ; 144 ; etc.

q = -2

x₄ = 36

x₅ = -72

x₆ = 144

x₁ = -9/2

x₄.x₆ = 36.144 = 5184


2) El tercer término de una P.G. es 15 y el quinto es 735. ¿Cuál es el cuarto término? 

Éste es un ejercicio más común. Planteamos la fórmula del término "n" para los dos términos:

x_n = x₁.q^n-1

Para el tercer término:

x₃ = x₁.q^3-1

x₃ = x₁.q²

Es decir que:

x₁.q² = 15

Para el quinto término:

x₅ = x₁.q^5-1

x₅ = x₁.q⁴

Es decir que:

x₁.q⁴ = 735

Entonces tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

x₁.q² = 15
x₁.q⁴ = 735

La mejor forma de resolver un sistema así es "dividiendo miembro a miembro". Es decir, dividir una ecuación por la otra. Arriba es preferible poner a la de exponente más alto, para que después no queden exponentes negativos:

x₁.q⁴      735
------ = -----
x₁.q²      15

Ahí se pueden simplificar los x₁, se pueden restar los exponentes de q, porque es una división de potencias de igual base (o también "simplificar", es lo mismo). Y los números se pueden dividir:

x₁.q⁴       735
------ = -----
x₁.q²       15

q^4-2 = 49

q² = 49

|q| = V49

|q |= 7

q = 7    ó    q = -7

Luego, sabiendo "q" se puede calcular x1 con cualquiera de las dos ecuaciónes:

x₁.q² = 15

x₁.7² = 15

x₁.49 = 15

x₁ = 15/49

Y para q = -7 dá igual (porque al elevar al cuadrado dá 49 positivo también)

Así que tenemos dos Progresiones geométricas que cumplen el enunciado:

Primera progresión:

x₁ = 15/49

q = 7

Segundo progresión:

x₁ = 15/49

q = -7

Con eso puedo encontrar el 4° término, y lo voy a hacer de cada una (por si no dá igual):

x_n = x₁.q^n-1

x₄ = x₁.q^4-1

x₄ = x₁.q³

x₄ = (15/49).7³

x₄ = 105

ó

x₄ = (15/49).(-7)³

x₄ = -105

Hay dos soluciones diferentes.


3) Expresar el valor general del 4º y del 16º término de una P.G. 

Bueno, éste no es para resolver, sino para escribir la fórmula para el término que te dice, cosa que ya te mostré en los otros ejercicios. Te muestro el primero:

x_n = x₁.q^n-1

x₄ = x₁.q^4-1

x₄ = x₁.q³

Ése es el valor general de 4° término. Te dejo para que hagas lo mismo con el 16.


4) Calcular el 8º y el 12º término de la progresión 4, 8, 16, ... 

Con los primeros términos de la progresión:

4, 8, 16, ...

Podemos deducir la razón, ya que es igual al cociente entre un término y el anterior:

q = 16/8 = 2

ó

q = 8/4 = 2

También con sólo mirarla podíamos darnos cuenta de que, para pasar de 4 a 8, hay que multiplicar por 2. Y para pasar de 8 a 16 también. Entonces la razón es 2 (Recordemos que en una progresión geométrica se pasa de un término al siguiente multiplicando por un número al que se le llama "razón").

Y el primer término también lo podemos ver allí mismo:

x₁ = 4

Así que tenemos una progresión geométrica con:

x₁ = 4

q = 2

Con ello podemos calcular cualquier término que nos pidan, usando la fórmula:

x_n = x₁.q^n-1

Te calculo el 8°, y el 12° te lo dejo a tí:

x₈ = x₁.q^8-1

x₈ = x₁.q⁷

x₈ = 4.2⁷

x₈ = 512


5) Calcular la razón en la progresión: a) 7, 21, 63, 189,... 

Como te dije antes, la razón es el número que se multiplica para pasar de un número a otro. Se puede ver a simple vista, o calcularla dividiendo un término por el anterior:

q = x_n/x_n-1

q = 21/7 = 3

q = 63/21 = 3

q = 189/63 = 3

Ves que siempre dá igual.

21-02-11 Pregunta de laly

una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80 grados centigrados se pone en un congelador a 0 grados centigrados. en el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce 5% por cada minutotrancurrido 

cual es la expresion algebraica de esta situacion?

por favor ayudenme a encontrar la respuesta 
gracias!!!!

Hola laly. Bueno, yo no sé nada de congeladores y poco de Física, pero creo que el dato de que el congelador está a 0° no tiene relevancia. 

Acá lo que importa es que la temperatura inicial del agua es de 80°, y luego se reduce en un 5% cada minuto. Veamos lo que pasa en los primeros minutos, y si podemos deducir algna fórmula observando el proceso:

Temperatura inicial del agua (al minuto "0"): 80°

Al pasar 1 minuto dentro del congelador: 80° - 5% de 80°

Bueno, aquí pensemos cómo se calcula el 5% de algo. Una manera práctica de hacerlo es multiplicando la fracción 5/100 por el número. Pero esa fracción se puede simplificar, y dá 1/20. Asi que, para 80, sería:

80 - (1/20).80

Pero (yo sé por qué lo hago), voy a sacar factor común 80, así que queda:

80.(1 - 1/20) = 80.(19/20)

Así me quedó una expresión más simple: la temperatura (80) inicial por un número (19/20). (Eso lo hice porque yo ya sé por donde viene la cosa. Obviamente, es difícil que se le ocurra hacer eso a alguien que no ha visto algo parecido antes. Así que no te aflijas si no se te ocurre a tí hacer algo así).

Al segundo minuto, baja de nuevo el 5%, pero ahora es el 5% de la anterior temperatura. Es decir que, a 80.(19/20) le tengo que restar su 5%, que es:

80.(19/20) - (1/20).80.(19/20)

Pero en los dos términos está 80.(19/20), así que se podría sacar como factor común, y queda:

80.(19/20).(1 - 1/20) = 80.(19/20).(19/20)

Al tercer minuto:

80.(19/20).(19/20) - (1/20).80.(19/20).(19/20)

Y sacando factor común 80.(19/20).(19/20), queda:

80.(19/20).(19/20).(1 - 1/20) = 80.(19/20).(19/20).(19/20)

Yo sé que eso puede ser un razonamiento difícil de seguir, pero es lo que nos hace llegar a la fórmula. Porque puedes observar cómo al final todo se reduce a multiplicar al 80 por (19/20) tantas veces como minutos pasen. Pasemos en limpio lo que pasa minuto a minuto:

minuto 1:

80.(19/20)

minuto 2:

80.(19/20).(19/20)

minuto 3:

80.(19/20).(19/20).(19/20)

minuto 4:

80.(19/20).(19/20).(19/20).(19/20)

etc.

Ya puedes ver como la cantidad de veces que hay que multiplicar al 19/20 es igual al número de minutos que pasaron. Por ejemplo: pasan 3 minutos, se multiplica 3 veces. Como multiplicar por sí mismo algo una cierta cantidad "n" de veces es elevarlo a la potencia de exponte "n", la fórmula para "n" minutos sería:

80.(19/20)ⁿ

Así que ésa es la expresión algebraica que te piden. Volvamos a la expresión para cada minuto, pero ahora con el exponente que le corresponde por la cantidad de veces que se multiplicó a 19/20 (comparar con lo de arriba):

minuto 1:

80.(19/20)¹

minuto 2:

80.(19/20)²

minuto 3:

80.(19/20)³

minuto 4:

80.(19/20)⁴


Pruébalo para esos primeros minutos y verás que dá lo mismo que si lo calculas restándole el 5% a cada temperatura.