Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES - RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS



27-02-11 Pregunta de Eve

¡Hola! Felicitaciones por la página... ¡Muy buena! Tengo una duda sobre como plantear el siguiente ejercicio de Sistema de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas: 

1) En un teatro cobran $9,00 la entrada de los adultos y $7,00 la de los ninños. Un día, pagaron su entrada 455 personas y recaudaron $5515,00. ¿Cuántas entradas vendieron para adultos y para niños? 

Espero que puedan responderme... Desde ya muchas gracias. 
¡Éxitos!

Hola eve. Si pagaron la entrada 455 personas significa que entre los adultos y los niños son en total 455 personas. Si llamamos "x" a la cantidad de adultos, e "y" a la cantidad de niños, ya tenemos una de las ecuaciones:

x + y = 455

("La suma entre la cantidad de adultos y la cantidad de niños es 455")

Luego, si los adultos pagan 9$ por entrada, "x" cantidad de adultos pagarán:

9$.x

Por ejemplo:

1 adulto paga 9$.1 = 9$
2 adultos pagan 9$.2 = 18$
3 adultos pagan 9$.3 = 27$
etc.

Y si los niños pagan 7$ por entrada, "y" cantidad de niños pagarán:

7$.y

Ahora resulta que un día pagaron "x" cantidad de adultos e "y" cantidad de niños (en total 455 personas), y se recaudó 5515$. Entonces:

9x + 7y = 5515

(Lo que pagaron los adultos más lo que pagaron los niños dió 5515$")

Y ahí tienes las dos ecuaciones para el sistema:

x + y = 455
9x + 7y = 5155

Y luego lo resuelves con cualquier método. Lo dejo aquí porque sólo pedías el planteo.
Gracias por los buenos deseos.



10-01-11 Pregunta de Norberto

A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de
la edad de B equivale a 317 años.. Hallar ambas edades.

Hola Norberto. Vamos por el último problema.

"A tiene 3 años más que B", se traduce al lenguaje simbólico como:

A = B + 3

Porque A tiene "la edad de B más 3 años". Por ejemplo, si B tiene 5 años, A tendrá 8. Y ese 8 se puede calcular sumándole 3 al 5, que es la edad de B. Es decir que, para saber la edad de A, hay que sumarle 3 a la edad de B.

"el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317":

Eso se traduce como:

A2 + B2 = 317

Porque a "aumentado" en el lenguaje coloquial le corresponde a "sumar" en el lenguaje simbólico. Cuando se dice: "un número aumentado en 4" por ejemplo, se traduce a "x + 4": Al número hay que sumarle 4. Como dice que "A2 aumentado en B2", hay que sumarle a A2 el cuadrado de B. Y "equivale" obviamente se traduce como "igual".

Luego, otra vez tengo dos ecuaciones con dos incógnitas, con las que puedo armar un sistema y resolverlo para hallar las incógnitas:

A = B + 3
A2 + B2 = 317

Lo hago por el método de Sustitución:

1) En la primera ecuación ya tengo una incógnita despejada: La A. Así que no hace falta que despeje:

A = B + 3

2) En la segunda ecuación reemplazo la A por su equivalente: B + 3

A2 + B2 = 317

(B + 3)2 + B2 = 317

B2 + 6B + 9 + B2 = 317

2B2 + 6B + 9 - 317 = 0

2B2 + 6B - 308 = 0


Me quedó una ecuación cuadrática completa, que resuelvo con la fórmula resolvente:

2B2 + 6B - 308 = 0

a = 2
b = 6
c = -308

B1,2 =



B1 = (-6 + 50)/4 = 44/4 = 11

B2 = (-6 - 50)/4 = -56/4 = -9

Pero como B era la edad de una persona, no puede ser un número negativo, así que la solución B = -9 queda descartada. La única solución es B = 11

3) Sabiendo B puedo calcular A. Uso la primera ecuación:

A = B + 3
A = 11 + 3
A = 14

Solución: A tiene 14 años, y B tiene 11 años.



08-01-11 Pregunta de Norberto

Un numero positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números

Hola Norberto. Seguimos con los problemas que faltaban.

Como antes, llamo "x" e "y" a los números que hay que hallar. Que un número "y" sea 3/5 de otro número "x" significa que:

y = 3/5 x

Y "producto" se la llama en Matemática a la multiplicación. Así que la multiplicación de esos dos números dá 2160:

x.y = 2160

Con esas dos ecuaciones podemos armar un sistema de ecuaciones y resolverlo con alguno de los métodos conocidos:

y = 3/5 x
x.y = 2160

Para este sistema me parece apropiado usar el método de Sustitución:

1) Ya tengo una de las incógnitas despejadas:

y = 3/5 x

2) Reemplazo en la otra ecuación la "y" por su equivalente "3/5 x":

x.y = 2160

x.(3/5 x) = 2160

3/5 x2 = 2160

x2 = 2160 : (3/5)

x2 = 3600

x = √3600       ó       x = -√3600

x = 60              ó         x = -60

3) Encontré dos valores para el número "x", así que busco los dos valores de "y" 
correspondientes a cada uno. Puedo usar la fórmula:

y = 3/5 x
y = (3/5).60
y = 36

ó

y = 3/5 x
y = (3/5).(-60)
y = -36

4) La solución:

Aparentemente habría 2 soluciones, pero el problema empieza diciendo: "Un número positivo es 3/5 del otro", y ése es el número al que le llamamos "y". Así  que "y" debe ser positivo, y los resultados que obtuvimos fueron: y = 36 ó
y = -36. Debido a esa frase en el enunciado, la solución que cuenta es solamente y = 36, y eso correspondía a x = 60. Así que la única solución es:

Los números son 60 y 36.




07-01-11 Pregunta de Norberto

Que tal mi nombre es Norberto

buen dia disculpen tengo un detalle con unos problemas que no he podido resolver y por este medio solicito tu apoyo para ver si me pueden orientar para resolverlos.

de antemano gracias 

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. ¿Cuáles son esos
números

Un numero positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números

A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de
la edad de B equivale a 317 años.. Hallar ambas edades.

Hola Norberto. 

Como son un poco largos, te voy respondiendo de a uno. Vamos por el primero:

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. ¿Cuáles son esos números?

A los números que desconozco los llamo "x" e "y". Entonces el enunciado dice que:

x + y = 9           (La suma de los dos números es 9)

x2 + y2 = 53      (La suma de los cuadrados de los número es 53)

Son dos ecuaciones y dos incógnitas. Se puede formar un sistema de ecuaciones y resolverlo con alguno de los métodos conocidos. Para este sistema me parece apropiado usar el método de Sustitución:

1) Despejo la y en la primera ecuación:

x + y = 9
y = 9 - x

2) Reemplazo en la otra ecuación:

x2 + y2 = 53
x2 + (9 - x)2 = 53

Y opero para poder despejar la x:

x2 + 81 - 2.9.x + x2 = 53

2x2 - 18x + 81 - 53 = 0

2x2 - 18x + 28 = 0

Me quedó una ecuación cuadrática, que resuelvo con la fórmula resolvente:

a = 2
b = -18
c = 28

x =



x1 = (18 + 10)/4 = 28/4 = 7

x2 = (18 - 10)/4 = 8/4 = 2


3) Hallé dos valores para x, entonces voy a encontrar dos valores para y. Puedo usar la ecuación que obtuve en el paso 1:

y = 9 - x
y = 9 - 7
y = 2

y = 9 - x
y = 9 - 2
y = 7


Este problema parece tener dos soluciones, pero en realidad tiene una sola. Porque, según los resultados, los números son:

x = 7   e   y = 2       ó

x = 2   e   y = 7

Como aquí no importa quién es x ó quien es y, sólo importa hallar dos números que cumplan con lo que dice el enunciado, con cualquiera de esas soluciones los números son: 2 y 7. Así que la única solución:

Los números son 2 y 7.


Y podemos verificar que cumplen con lo que dice el enunciado:

2 + 7 = 9

22 + 72 = 4 + 49 = 53

Luego te aviso cuando esté la respuesta del segundo.



06-01-11 Pregunta de Ilayali

buenas noches me podrin explicar el sig problema.

Si a los dos términos de una fracción se resta 3, el valor de la fracción es de 1/3, y si
los dos términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es3/5. Hallar la fracción


Hola ilayali. "Los dos términos de una fracción" son: el numerador y el denominador, es decir, el número de arriba y el número de abajo. Dice que a los dos se les resta 3, entonces la fracción es igual a 1/3. Como no conocemos esos dos términos, tenemos que referirnos a ellos con letras: por ejemplo "a" y "b". Así que la primera frase del enunciado nos dice que:

(a - 3)/(b - 3) = 1/3

Y la segunda frase nos dice que:

(a + 5)/(b + 5) = 3/5

Ésas son dos ecuaciones con dos incógnitas, y los valores de "a" y "b" que las cumplen pueden ser hallados usando distintos procedimientos. Te muestro uno de ellos, pero primero voy a llevar a las ecuaciones a otra forma, aplicando propiedades y operaciones, para que sea más fácil después resolver el sistema:

(a - 3)/(b - 3) = 1/3

(a - 3).3 = 1.(b - 3)        (por la Propiedad fundamental de las proporciones)

3a - 9 = b - 3                (apliqué la propiedad distributiva)


(a + 5)/(b + 5) = 3/5

(a + 5).5 = (b + 5).3

5a + 25 = 3b + 15


Ahora sí voy a resolver ese sistema formado por esas dos ecuaciones:

3a - 9 = b - 3
5a + 25 = 3b + 15

Método de Sustitución:

1) Despejo la "b" en la primera ecuación (se puede empezar con cualquier incógnita, pero esa me parece más fácil de despejar):

3a - 9 = b - 3

3a - 9 + 3 = b

3a - 6 = b

2) Sustituyo (reemplazo) la "b" en la otra ecuación poniendo en su lugar el resultado del paso 1) (lo que me dió cuando despejé la b)

5a + 25 = 3b + 15                (la otra ecuación)

5a + 25 = 3.(3a - 6) + 15      (reemplacé a "b" por "3a - 6")

5a + 25 = 9a - 18 + 15

5a + 25 = 9a - 3

5a - 9a = -3 - 25

-4a = -28

a = -28:(-4)

a = 7

3) Sabiendo "a", puedo hallar "b", porque b = 3a - 6 según establecí en el paso 1):

b = 3a - 6

b = 3.7 - 6

b = 21 - 6

b = 15

Así que a = 7, b = 15. Esos son "los términos" de la fracción que cumplen con lo que dice el enunciado. Como al principio llamamos "a" al numerador de la fracción, y "b" al denominador, entonces la fracción buscada es:

7/15              RESPUESTA


Y podemos comprobar que esa fracción cumple con lo que dice el enunciado del problema:

(7 - 3)/(15 - 3) = 4/12 = 1/3

(7 + 5)/(15 + 5) = 12/20 = 3/5




TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES - MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - MÉTODO DE IGUALACIÓN - MÉTODO DE REDUCCIÓN (O SUMAS Y RESTAS)

22-11-10 Pregunta de pele

disculpen como se hace esto x=y-3/5 y=x+2/4 esto es sistemas de ecuaciones con los tres metodos que son de igualacion sustitucion y suma y resta


Hola pele.

x = (y - 3)/5

y = (x + 2)/4

Es un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas. El objetivo es hallar el valor de las dos letras: "x" e "y".

Por el Método de Sustitución:

1) Hay que despejar cualquiera de las incógnitas, en cualquiera de las dos ecuaciones (a elección). "Elijo despejar la x en la primera" (en realidad ya está despejada):

x = (y - 3)/5

Como ya está despejada, no tuve que hacer nada en el primer paso (ningún pasaje de términos).


2) Sustituir en la otra ecuación la incógnita que despejé en el paso 1 (la "x"), con el resultado que obtuve en el paso 1 (y - 3)/5 . Pero en este ejercicio en particular, me conviene primeo pasar el denominador "4" al otro miembro, para que no me quede tan complicada la expresión. Así que primero hago eso:

y = (x + 2)/4

4y = x + 2

Y ahora sí, sustituyo (reemplazo) la "x" por (y - 3)/5 :

4y = (y - 3)/5 + 2

Ves como ahora me quedó una ecuación con una sola incógnita (la "y"), entonces ya se puede encontrar el valor de esa incógnita, despejándola en esa ecuación. Me conviene pasar el "2" restando, y luego el denominador "5" multiplicando al otro miembro:

4y = (y - 3)/5 + 2

4y - 2 = (y - 3)/5

(4y - 2).5 = y - 3

20y - 10 = y - 3

20y - y = -3 + 10

19y = 7

y = 7/19


3) Sabiendo ya el valor de una de las incógnitas (y = 7/19) se puede calcular el valor de la otra, utilizando cualquiera de las ecuaciones del sistema. Pero conviene elegir la que despejé en el paso 1, pues ahí ya está la "x" despejada (aunque en este sistema en particular ya estaba despejada desde el principio, pero te lo digo para otro sistema que tengas que resolver):

x = (y - 3)/5

x = (7/19 - 3)/5

x = (-50/19):5

x = -10/19


Solución:  x = -10/19  e  y = 7/19  ó   Conjunto solución: {(-10/19 , 7/19)}



Por el Método de Igualación:

x = (y - 3)/5

y = (x + 2)/4


1) Hay que despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita. Elijo despejar la "x":

x = (y - 3)/5         (ya estaba despejada)


y = (x + 2)/4

4y = x + 2

4y - 2 = x

x = 4y - 2


2) Igualo los dos resultados de los despejes, ya que "x es igual a x":

(y - 3)/5 = 4y - 2

Ves cómo así también quedó una sola ecuación con una sola incógnita. Despejo la "y" para encontrar ya su valor. Me conviene para el "5" multiplicando al otro miembro:

y - 3 = (4y - 2).5

y - 3 = 20y - 10

-3 + 10 = 20y - y

7 = 19y

7/19 = y


3) Y para hallar el valor de la otra incógnita, hago lo mismo que con el otro método: uso alguna de las ecuaciones. Siempre conviene tomar las del paso 1, pues allí la incógnita que quiero averiguar ya está despejada. Elijo:

x = (y - 3)/5

x = (7/19 - 3)/5

x = (-50/19)/5

x = -10/19


Solución: x = -10/19   e   y = 7/19  ó Conjunto solución: {(-10/19 , 7/19)}



Por el Método de Sumas y Restas (o "Reducción"):

x = (y - 3)/5

y = (x + 2)/4


Así como están las ecuaciones no se puede usar el método. Primero vamos a "soltar" las "x" y las "y", y ordenar la ecuación (lo mejor es poner los términos con x e y de un lado, y el número solo del otro):

x = (y - 3)/5

5x = y - 3

5x - y = -3      (Así)

Y la otra:

y = (x + 2)/4

4y = x + 2

-x + 4y = 2

El sistema, ahora "ordenado", me quedó así:

5x - y = -3

-x + 4y = 2


Ahora empiezo con el Método de Reducción. Multiplico la segunda ecuación por 5, para que queden las dos ecuaciones con 5x. Luego puedo sumarlas "miembro a miembro", y me desaparece la "x". Observa:

(-x + 4y = 2 ). 5 ----------- > -5x + 20y = 10 (hice como una "distributiva" por 5)


Y ahora tengo un nuevo sistema. Los "sumo" término con término:

    5x   -   y = -3
+
   -5x + 20y = 10
----------------
           19y = 7


Porque 5x + (-5x) = 0. La x desapareció. Por eso se le llama "reducción". Se reduce a una sola incógnita. O "sumas y restas", porque se suman o restan las ecuaciones según conveniencia (para que desaparezca una de las incógnitas). Está permitido hacer eso de "multiplicar las ecuaciones por cualquier número", pues si a una ecuación la multiplico por un número, su solución es la misma que si no la multiplicara.

Entonces quedó una ecuación muy sencilla, con una sola incógnita, que ya puedo despejar:

19y = 7

y = 7/19


Y sabiendo el valor de una de las incógnitas, puedo encontrar el valor de la otra utilizando cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. En este caso elijo la que ya tiene la "x" despejada, pues es la incógnita que quiero encontrar:

x = (y - 3)/5

x = (7/19 - 3)/5

x = (-50/19)/5

x = -10/19


Solución: x = -10/19  e  y = 7/19,  ó  Conjunto solución: {(-10/19 , 7/19)}


Por supuesto, con los 3 métodos tiene que dar la misma solución. 




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