TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

28-02-11 Pregunta de Giuli

Necesito que me ayudes con otro ejercicio de sistemas no lineales que es:

x²y - y²x = 0
x² - 2y =3

Hola Giuli:

x²y - y²x = 0
x² - 2y = 3


Se puede hacer así:

x²y - y²x = 0

xy.(x - y) = 0       (Saqué factor común)

Es decir que:

x = 0      ó       y = 0       ó         x - y = 0

x - y = 0

x = y

Entonces, la primera ecuación si cumple si:

x = 0       ó       y = 0       ó       x = y

Pero también se debe cumplir la segunda ecuación:

x² - 2y = 3

Así que veamos qué pasa con la segunda ecuación en c/u de las alternativas que tiene la primera:

1) Si x = 0, entonces puedo calcular "y" reemplando en la segunda ecuación:

x² - 2y = 3

0² - 2y = 3

-2y = 3

y = 3/-2

y = -3/2

Así que una de las soluciones del sistema es: 

x = 0
y = -3/2

(0,-3/2)


2) Si y = 0, entonces puedo calcular "x" reemplazando en la segunda ecuación:

x² - 2y = 3

x² - 2.0 = 3

x² - 0 = 3

x² = 3

|x| = V3

x = V3    ó    x = -V3

Acá tenemos dos soluciones más para el sistema:

x = v3       e       y = 0
x = -V3      e       y = 0

(V3,0) y (-V3,0)


3) Si x = y, entonces puedo calcular cualquiera de las dos, sustituyendo la otra en la segunda ecuación:

x² - 2y = 3
x² - 2x = 3
x² - 2x - 3 = 0

Y quedó una ecuación cuadrática. La puedes resolver con la fórmula resolvente y encontrarás que:

x₁ = 3
x₂ = -1

Y como y = x, entonces:

y₁ = 3
y₂ = -1

Así que hay dos soluciones más para el sistema:

x = y = 3
x = y = -1

(3,3) y (-1,-1)


Entonces, todas las soluciones del sistema son:

S = {(0,-3/2) ; (V3,0) ; (-V3,0) ; (3,3) ; (-1,-1)}