TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES - RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

21-04-11 Pregunta de Claudia

descompone el numero 56 en dos partes tales que dividiendo una por la otra, se obtenga4 por cociente y 1 de resto.

Hola Claudia.

"Descompone al 56 en dos partes" está queriendo decir que lo "repartas" en dos números que sumados dan 56. Como no conocemos los números, los llamamos "x" e "y", y entre los dos suman 56. Así que la primera ecuación es:

x + y = 56

Luego dice lo de la división. Para encontrar la ecuación que corresponde hay que saber que, cuando se divide a un número por otro, se puede plantear lo siguiente:

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO

Siendo el "dividendo" el número que se divide por el otro, y el "divisor" el número por el cual divides. Por ejemplo, si dijera que al dividir a 14 por 4 dá como cociente 3 y como resto 2, podríamos escribir:

14 = 4.3 + 2

Basándote en ese concepto, con los datos que te dá, y siendo los números "x" e "y" (puedes elegir cualquiera para que sea el dividendo y el divisor), se puede plantear la otra ecuación:

y = 4.x + 1

Donde "y" es el dividendo, "x" el divisor, 4 el cociente y 1 el resto.

Bueno, y ahí tienes las dos ecuaciones para el sistema. Resolver sistemas me imagino que te acuerdas: Sustitución, Igualación... Encuentras por alguno de esos métodos los valores de x e y. Lo más difícil de estos problemas es plantear las ecuaciones en base al enunciado. Después la resolución del sistema es siempre igual.

x + y = 56

y = 4x + 1

16-04-11 Pregunta de lorena

ayuda con el planteo de un problema de ecuaciones dice asi, dice tengo un monton de manzanas y cajas si coloco 7 manzanas en cada caja me sobran 10 manzanas pero si coloco 9 manzanas en cada caja me sobran 2 cajas ¿cuantas cajas tengo?

Cursando:: 1 año de magisterio
Edad:: 22
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: ok tb

Hola lorena. No sabemos cuántas manzanas son en total, así que podemos llamar "X" a la cantidad total de manzanas. Y tampoco se sabe el número de cajas, así que lo podemos llamar "Y". Al colocar 7 manzanas por caja, está repartiendo al total de las manzanas ("X") en grupos de 7, y le sobran 10. ¿Cuántos son los grupos de 7 que se forman?: tantos como cajas haya, porque para cada caja va un grupo de 7. 

Grafiquemos con un ejemplo la situación. Supongamos que son 5 cajas:

OOOOOOO
OOOOOOO
OOOOOOO
OOOOOOO
OOOOOOO

OOOOOOOOOO

Ahí tenemos 5 cajas con 7 manzanas cada una, y sobran 10 como dice el problema. Veamos cuántas manzanas son: 5.7 + 10 = 45 manzanas. Las puedes contar una por una, o darte cuenta que si tienes 5 grupos de 7 hay que multiplicar 5 por 7. Y si sobran 10 hay que sumarle 10. Entonces ésa es la relación entre las cajas y las manzanas:

número de cajas x n^o de manzanas por caja + 10 = total de manzanas

Así que, si en vez de 5 cajas tenemos "Y" cajas, y llamamos "X" al número total de manzanas, la relación es:

Y.7 + 10 = X

O mejor:

7Y + 10 = X

Y eso es una ecuación con dos incógnitas: X e Y. 
Por suerte el problema sigue y hay otra relación, y a partir de ella podemos, de la misma manera, deducir la otra ecuación:

9Y + 2 = X

Entonces es un sistema de ecuaciones con 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Podemos usar el método de Igualación para resolverlo, ya que en este caso es el más apropiado: como tenemos la misma incógnita ya despejada en las dos ecuaciones, sólo basta igualar:

7Y + 10 = 9Y + 2

10 - 2 = 9Y - 7Y

8 = 2Y

8/2 = Y

4 = Y

Como "Y" era el número de cajas que tengo, la respuesta es:

Tengo 4 cajas.

01-03-11 Pregunta de Fernando

hola otra vez soy Fernando y por lo que veo mi fuerte no son los problemas de planteamiento de ecuaciones e inecuaciones asi que les pido nuevamente ayuda.

Problema: Un padre, para estimular a su hijo a que estudie matemática, promete darle $3 por cada ejercicio bien resuelto, pero para cada uno que este mal, su hijo le dará $2. ya van por el ejercicio 26 y el muchacho recibe de su padre $38. ¿Cuantos ejercicios ha resuelto bien y cuantos mal?

DEsde ya neuvamente les agradezco un abrazo atte.. FERNANDO

Hola Fernando. Si estás viendo sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, tienes que pensar que va a haber 2 cosas que desconozcas, a las que llamas con dos letras: "x" e "y" por ejemplo. Y luego, buscar relaciones entre esas dos cosas, según lo que te diga el enunciado. Por ejemplo, las relaciones podrían ser: una es el doble de la otra, la suma de las dos cosas es tanto, la resta entre las dos cosas es tanto, etc, etc. Igual sé que a veces cuesta interpretar lo que dice el problema. Bueno, veamos éste:

Llamémos "x" a la cantidad de ejercicios bien resueltos, e "y" a la cantidad de ejercicios mal resueltos. Cuando dice que "ya van por el ejercicio 26", quiere decir que el chico va a recibir dinero por lo que haga en esos 26 ejercicios en total. Entre los cuales puede haber ejercicios que están bien y otros que están mal. No sabemos cuántos hay de cada uno, pero sabemos que el total son 26: la suma de la cantidad de los ejercicios correctos más la de los incorrectos es 26. Y como llamamos "x" e "y" a esas cantidades:

x + y = 26

Ahí ya tenemos una de las ecuaciones del sistema.

Luego, veamos lo que tiene que pagar el padre:

Por cada ejercicio bien resuelto, paga 3$, es decir que si tiene "x" ejercicios bien resueltos, el padre paga:

3$.x

Para asegurarte que es así, piensa:

Si hay un solo ejercicio bien, el padre paga:

3$.1 = 3$

Si hay sólo dos:

3$.2 = 6$

Si hay sólo tres:

3$.3 = 9$

Para calcular el valor monetario de una cantidad de algo, se multiplica su precio unitario (por unidad, por un sólo artículo), por la cantidad de artículos. Imagina que vas a comprar varias cosas de la misma especie ¿cómo calculas cuánto te sale?: multiplicas su precio por la cantidad que vas a comprar.

Luego, por cada ejercicio mal resuelto, el que tiene que pagar es el hijo. Ah, esto no me lo esperaba. Bueno, lo que va a pagar el hijo por sus "y" ejercicios mal resueltos es, a 2$ por unidad, se calcula con :

2$.y

Y lo que sigue puede llevar a confusión. Porque dice: "El muchacho recibe de su padre 38$". Y eso podría interpretarse, como que el padre pagó 38$, independientemente de lo que el hijo haya tenido que pagar. Es decir:

3.x = 38

¿Pero qué pasa? Eso llevaría a que el número de ejercicios bien resueltos no es un número entero. Porque:

3x = 38

x = 38/3

x = 12,6666...

En realidad no está muy claro el enunciado, pero lo que quiere decir es que el muchacho recibe 38$ luego de que se le descontase el dinero de los ejercicios que hizo mal (ésa es la forma en que él "paga": se le descuentan). Es decir, como saldo entre lo que le debería pagar el padre y lo que él le debería devolver, se queda con 38$. Y que la otra interpretación haya dado un número equivocado, nos convence de que no había que interpretarlo así (qué hubiera sido si no daba un número con coma, no sabríamos a ciencia cierta lo que quería decir el ejercicio... Pero estoy acostumbrada a ver enunciado así)

Así que lo que termina cobrando el chico, entre los ejercicios bien hechos y los mal hechos que se le descuentan (se resta su valor), es 38. Entonces:

3x - 2y = 38

Y ahí tenemos las dos ecuaciones para plantear el sistema:

x + y = 26

3x - 2y = 38

Luego lo resuelves con alguno de los métodos. Lo dejo ahí porque sólo pedías el planteo.