TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES - PARÁBOLA Y RECTA

13-03-11 Pregunta de thanatos36

Hola!Me ayudarias por favor con este ejercicio: 
y=x2+4 
y=-4x+0 
Es una interseccion de parabola y recta, el tema es que cuando quiero sacar las raices de la parabola me queda la raiz cuadrada de 16 negativo y no puedo graficar,ya que todavia no vi los numeros complejos. Pero se que hay una forma. Gracias

Hola thanatos36. Lo voy a hacer completo para aclarar conceptos. Porque en ningún lado queda raíz de -16:

y = x² + 4
y = -4x + 0

Es un sistema de ecuaciones con una ecuación cuadrática (de grado 2) y una lineal (de grado 1). Como en ambas está despejada la "y", podemos usar el método de Igualación para resolver el sistema:

y = y           entonces

x² + 4 = -4x

x² + 4 + 4x = 0

x² + 4x + 4 = 0

Ésa es una ecuación cuadrática, y para hallar los valores de x que cumplen eso hay que resolverla. Eso se puede hacer de varias maneras. Pero, aunque no es la más rápida para este ejemplo, sé en general los alumnos prefieren usar siempre el mismo método para resolver una ecuación cuadrática: la fórmula resolvente. Así que me imagino que prefieres verlo así:

a = 1
b = 4
c = 4

x_1,2 =

          -4 +-V(-4)² - 4.1.4
x_1,2 = --------------------
                     2.1

          -4 +-V16 - 16
x_1,2 = ---------------
                   2

           -4 +- V0
x_1,2 = -----------
                 2

           -4 +- 0
x_1,2 = ---------
               2

x₁ = (-4 + 0)/2 = -4/2 = -2

x₂ = (-4 - 0)/2 = -4/2 = -2

Como las dos soluciones son iguales, en realidad es una sola:

x = -2

Luego, hay que calcular la "y". Puedo usar cualquiera de las dos ecuaciones, pero prefiero la segunda (porque no tiene la x²):

y = -4x + 0

y = -4.(-2) + 0

y = 8

Así que la solución del sistema es:

x = -2
y = 8

Eso también significa que las gráficas de las funciones: y = x² + 4 (una curva llamada "parábola") e y = -4x + 0 (una recta) se cortan en el punto del plano:

(-2, 8)


Ésa es la solución analítica del sistema. En ese procedimiento no apareció ninguna raíz cuadrada de un número negativo. Cuando pasa eso, el sistema no tiene solución. Eso significaría que las dos funciones no se cortan en ningún punto. Cuando llegas a eso le pones: no tiene solución, o Solución = ø (conjunto vacío). Es algo que puede pasar, no es esté mal el ejercicio. Un sistema como ése puede tener dos soluciones, una sola o ninguna. 

Después tienes que encontrar la solución gráfica. Eso se hace graficando ambas funciones. Las funciones se pueden graficar buscando algunos puntos o parámetros importantes (como el vértice, la ordenada al origen y las raíces, en la parábola; y la pendiente y la ordenada al origen, en la recta), o mediante una tabla de valores:

LA PARÁBOLA:

y = x² + 4

Ordenada al origen o intersección con el eje y:

Es y = 4   (la gráfica corta al eje "y" en el 4)    ó

(0,4)       (es el punto del plano (0,4))

Como ya debés saber, eso se ve en el término independiente (el número "que está solo" en la fórmula), o también se puede averiguar reemplazando la x por cero en la fórmula:

y = x² + 4
y = 0² + 4
y = 4


Raíces, o ceros, o intersecciones con el eje x:

Hay que igualar a cero la fórmula, y resolver la ecuación que queda:

x² + 4 = 0

Ésa es una ecuación cuadrática incompleta, y se puede despejar la x o usar la fórmula resolvente. Para mí es más práctico despejar. Tu si quieres usa la resolvente, de todos modos quedaremos en la misma situación, que es según creo la que te trajo dudas:

x² + 4 = 0

x² = -4

|x| = V-4

Y la raíz cuadrada de -4 no es un número real. Entonces no puedes encontrar las raíces de la parábola (como me dices en tu consulta).

Pero ese resultado  significa que la parábola no tiene raíces, no corta al eje "x" en ningún punto. La parábola está toda por encima del eje x, o toda por debajo. Y para dibujarla no podemos marcar las raíces en el eje x, porque no las tiene. Pero podemos marcar los otros puntos: la ordenada al origen que ya encontramos, el vértice, y algún punto más. Y si no nos alcanza, podemos hacer una pequeña tabla de valores para encontrar algunos números más.

Vértice:

x_v = -b/2a

Y la función es:

y = x² + 4

Su fórmula es un polinomio de segundo grado está incompleto. Lo voy a completar para que se vean los coeficiente a, b y c:

y = 1x² + 0x + 4

a = 1
b = 0
c = 4

Así que la coordenada x del vértice es:

x_v = -b/2a = -0/(2.1) = 0

Y la y_v es:

y = x² + 4

y_v = x_v + 4

y_v = 0 + 4

y_v = 4

Así que el vértice es el punto del plano:

(0,4)             (coincide con la ordenada al origen)


Eje de simetría:

Es una recta vertical que pasa por la x del vértice, así que la fórmula del recta que es eje de simetría es:

x = 0           (coindice con el eje y)

Se entiende entonces tu dificultad para graficar si nunca antes habías hecho un ejemplo así. Al fin de cuentas sólo tienes un punto para graficar: (0,4).

Pero también sabes que la parábola no corta al eje x, así que tendrás que dibujarla desde ese punto "hacia arriba". La podrías hacer "así nomás", pero si quieres más precisión en el dibujo debes buscar algunos puntos más, haciendo una tabla de valores (que me decías no recordabas cómo se hace).
 
Una tabla de valores se hace "poniéndole" valores a la "x" de la fórmula (los que uno considere), para obtener las "y" que les corresponden:

y = x² + 4

 x | y
 -----
 1 | 5       (porque y = 1² + 4 = 5)
 2 | 8       (porque y = 2² + 4 = 8)
-1 | 5       (porque y = (-1)² + 4 = 5)
-2 | 8       (porque y = (-2)² + 4 = 8)

Y así puedes poner cuantas "x" quieras, y obtener sus valores de "y" correspondientes. Luego, esos "pares" de "x" e "y" son puntos del plano por donde pasa el gráfico:

(1,5)
(2,8)
(-1,5)
(-2,8)

Graficas esos puntos, y ahí tienes más puntos para dibujar la parábola. Te muestro cómo queda:




Luego, para graficar la recta:

y = -4x

puedes también hacer una tabla de valores o usar la pendiente y la ordenada al origen (sobre eso no me preguntas así que supongo que sabes graficar una recta). Verás que la parábola y la recta se cortan en el punto (-2,8), que es la solución del sistema que hallamos analíticamente.