TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES - PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS FUNCIONES O ENTRE DOS GRÁFICAS

30-04-11 Pregunta de andrea

tengo q determinar los puntos de interseccion de ambas graficas 
- y= x a la 3 ^ y= x 
-x a la 2+ y = 6 ^ x+y = 4 
-x a la 2 + y a la 2 = 5 ^ x-y= 1 
porfa ayudenme las respuestas al correo porfa 

Hola andrea. Los puntos de intersección de dos gráficas son los puntos en donde las gráficas se cortan. Como son los puntos que verifican la fórmula de las dos funciones, se los puede hallar igualando las fórmulas de las dos funciones y resolviendo la ecuación que queda planteada:

Las fórmulas de las dos funciones:

y = x³

y = x

Igualación de sus fórmulas:

x³ = x

Resolución de la ecuación:

x³ - x = 0

x.(x² - 1) = 0

x = 0      ó     x² - 1 = 0

                        x² = 0 + 1

                        x² = 1

                       |x| = V1

                       |x| = 1

                       x = 1    ó    x = -1

Las soluciones de esa ecuación son:

x₁ = 0

x₂ = 1

x₃ = -1

Entonces los puntos de intersección son tres, y sus coordenadas "x" (abscisas) son ésas. Para encontrar las coordenadas "y" (ordenadas) que les corresponden a c/u, hay que tomar la fórmula de alguna de las funciones y reemplazar con las x. Por ejemplo, tomo la función más sencilla:

y = x        entonces

- Para x₁ = 0

y₁ = x₁

y₁ = 0

Así que tenemos el primer punto de intersección:

(0,0)

- Para x₂ = 1

y = x        entonces

y₂ = 1

El segundo punto es:

(1,1)

Y el tercero es, de la misma manera.

(-1,-1)

Los puntos de intersección son:

(0,0) ; (1,1) y (-1,-1)


El procedimiento general es ése. Puede aumentar la dificultad dependiendo de cómo sea la ecuación planteada. Por ejemplo, te ayudo un poco con el segundo, que es más difícil:

x² + y = 6

y = 6 - x²            (Fórmula de la primera función)


x + y = 4

y = 4 - x             (Fórmula de la segunda función)


6 - x² = 4 - x       (Igualación de las fórmulas)

-x² + x + 6 - 4 = 0

-x² + x + 2 = 0

(Como es una ecuación cuadrática completa, pasé todos los términos al mismo miembro)

Ahora quedó una ecuación cuadrática completa, donde puede usar la fórmula resolvente:

x_1,2 =

          1 +- V1² - 4.(-1).2
x_1,2 = --------------------
                2.(-1)

          1 +- V9
x1,2 = ---------
              -2

          1 +- 3
x_1,2 = --------
             -2

x₁ = (1 + 3)/-2 = 4/-2 = -2

x₂ = (1 - 3)/-2 = -2/-2 = 1

Y ahora tomo una de las funciones para calcular las ordenadas correspondientes:

y = 4 - x

y₁ = 4 - x₁

y₁ = 4 - (-2)

y₁ = 4 + 2

y₁ = 6

Así que uno de los puntos es:

(-2,6)


y = 4 - x

y₂ = 4 - x₂

y₂ = 4 - 1

y₂ = 3

El otro punto es:

(1,3)

Los puntos de intersección son:

(-2,6)  y  (1,3)


Y el tercero es con una circunferencia y una recta. También es diferente la ecuación que queda, así que mejor te lo muestro:

x² + y² = 5           (Esto es la ecuación de una circunferencia)


x - y = 1

-y = 1 - x

y = -1 + x             (Fórmula de una función lineal)


La circunferencia no es una función. No vamos a despejar la "y" en esa ecuación (porque dá dos fórmulas), sino que vamos reemplazar la "y" de la ecuación de la circunferencia, sustituyendo (Es un sistema de ecuaciones, y estamos aplicando el método de Sustitución. En los puntos anteriores, al igualar las fórmulas estábamos aplicando el método de igualación):

Como y = -1 + x, podemos reemplazar a la "y" de la ecuación de la circunferencia, con "-1 + x":

x² + y² = 5              (Ecuación de la circunferencia)

x² + (-1 + x)² = 5

x² + (-1)² + 2.(-1).x + x² = 5

x² + 1 - 2x + x² = 5

2x² - 2x + 1 - 5 = 0

2x² - 2x - 4 = 0

Y llegamos a una ecuación cuadrática completa. A partir de acá es como el ejercicio anterior, entonces te lo dejo para que lo termines.