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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y RECTÁNGULOS

22-02-11 Pregunta de Alberto  (PROBLEMA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS)

Quisiera su ayuda con este problema.

Un observador se encuentra sobre una escalera y contempla un edificio que se encuentra a 200 mts de distancia, descubre que el angulo de elevación de la parte superior del edificio es de 22º y que el ángulo de depresión de la base del edificio es de 11.1 º ¿Cual es la altura del edificio? 

Hola Alberto. El siguiente es un dibujo que representa la situación:

problema con triangulos rectangulos


Allí se pueden ver dos triángulos rectángulos. Como en cada uno de esos triángulos se conoce un ángulo agudo, y un lado (el de 200m), se pueden usar las funciones trigonométricas para calcular cualquier otro lado de esos triángulos. Y como queremos averiguar la altura del edificio, nos convendría mucho averiguar la medida de los lados que llamé X e Y en el dibujo, ya que la suma de esos dos lados es igual a la altura del edificio.

Cálculo de X:

X es el cateto opuesto al ángulo de 22°, en el triángulo rectángulo de arriba. Y el lado que mide 200 es el cateto adyacente a ese ángulo. Entonces la función trigonométrica que me sirve usar es tangente, porque:

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

En su fórmula están la incógnita (X, cateto opuesto), y el dato (el cateto adyacente, de 200m). Entonces planteo:

tangente 22° = X/200m

0,3746 = X/200m

0,3746.200m = X

74,92m = X


Cálculo de Y:

"Y" es el cateto opuesto al ángulo de 11,1°, en el triángulo rectángulo de abajo. Y el lado que mide 200m es el cateto adyacente a ese ángulo. Entonces otra vez la función que sirve es tangente:

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

tangente 11,1° = Y/200m

0,196 = Y/200m

0,196.200m = Y

39,2m = Y


Como se puede observar en el dibujo, la altura del edificio es igual a X + Y, así que:

Altura = X + Y

Altura = 74,92m + 39,2m

Altura = 114,12m

En el siguiente enlace se explica muy claro qué son los ángulo de elevación y ángulo de depresión:

ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y ÁNGULO DE DEPRESIÓN



15-12-10 Pregunta de lau    (TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS)

Hola necesitaría ayuda con este problema que no puedo resolverlo. 

*El piloto de un avión observa que el ángulo de depresión â con respecto al borde de la pista de aterrizaje en de 10°, dos minutos mas tarde en ángulo de depresión con respecto al mismo lugar es de 40°. Si el avión esta volando horizontalmente y en linea recta a una velocidad constante a 120 km por hora,hallen la altura en la que esta volando. 

gracias. 


Hola lau. En este momento se me ocurre resolverlo esta manera, quizás pueda haber otras. El siguiente es un dibujo que representa la situación:



Allí queda formado un triángulo en el cual tenemos:

- Un ángulo de 10°, que era dato. Era el ángulo de depresión, que es ese ángulo que se forma entre la horizontal del observador (donde está el avión) y la "línea de visión" (la línea que sigue la vista del observador). Puedes ver un dibujo que explica eso en este enlace: http://mathypatia.wordpress.com

- Un ángulo de 140°, que calculé porque es adyacente al otro ángulo de depresión que era de 40°. Dos ángulos adyacentes suman entre sí 180°, así que 180° - 40° = 140°.

- Un ángulo de 30° (Como la suma de los 3 ángulos de un triángulo es 180°, lo calculé conociendo los otros dos: 180° - 10° - 140° = 30°)

- Un lado que mide 4km. Eso lo calculé de la siguiente manera:

El problema dice que pasan 2 minutos entre los puntos donde el piloto observa los distintos ángulos de depresión. Como el avión va a 120 km/h, calculé cuántos km recorrió en 2 minutos:

60 minutos (1 hora) ----- 120 km
2 minutos --------------- x = (2.120)/60 = 4 km

Así que la distancia entre los dos puntos es 4 km.

Con esos datos, puedo "resolver el triángulo oblicuángulo", es decir, puedo averiguar cualquier lado o ángulo de triángulo. Voy a calcular el lado al que llamo X (ver en el dibujo), pues es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene como cateto a H (la altura a la que está el avión), y me va a servir después para calcularla.

Para calcular X voy a usar el Teorema del seno, que debés conocer:

A/sena = B/senb = C/senc

En palabras, se podría decir que ese teorema dice que se puede formar una proporción con las relaciones entre cada lado y el seno del ángulo que tienen enfrente (opuesto). Mirando el dibujo, vemos que se podría formar esta proporción:

X/sen140° = 4/sen30°

Y de esa ecuación puedo despejar la X para hallar su valor:

X/0,643 = 4/0,5

X = 8:0,643

X = 12,44


Luego, conociendo X y un ángulo, se puede resolver el triángulo rectángulo que tiene a H como cateto. Aquí hice un dibujo separado:



El ángulo ése que marqué mide 80°, porque es complementario con el de 10°, ya que entre los dos forman un ángulo recto. Así que lo calculé restando:
90° - 10° = 80°

En un triángulo rectángulo, conociendo un ángulo y un lado se puede calcular otro lado. Como X es la hipotenusa y H el cateto adyacente a 80°, uso la función trigonométrica coseno:

coseno = cateto adyacente/hipotenusa

coseno 80° = H/12,44

0,174 = H/12,44

0,174.12,44 = H

2,16 = H

Es decir que la altura a la que vuela el avión es de 2,16 km, ó 2160 m.






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