TEMA: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

05-03-11 Pregunta de Caritoo

Holaa!!! me puedes ayudar con estoo??? 

En un triangulo ABC rectangulo en C, el cateto a mide 6 cm mas que su proyeccion sobre la hipotenusa que mide 25 cm. Calcula la medida del cateto a

Hola Caritoo. Es para usar una propiedad que cumplen los catetos con sus proyecciones y la hipotenusa. Primero te muestro un dibujo:



Aunque el enunciado puede interpretarse de forma ambigua, supongo que la hipotenusa mide 25 cm (y no la proyección del cateto sobre la hipotenusa, porque sino el ejercicio sería demasiado fácil y no tendría sentido). Puse la C en el ángulo recto, porque el enunciado dice que el triángulo es rectángulo en C. Tracé la altura correspondiente a la hipotenusa (recordemos que un triángulo tiene tres alturas, cada una correspondiente a cada lado), y así quedaron determinados sobre la hipotenusa dos segmentos que son proyecciones ortogonales de los catetos. Llamé a' a la proyección del cateto "a" sobre la hipotenusa, y b' a la proyección del cateto "b" sobre la hipotenusa. Y la propiedad que te contaba dice:

"Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta"

Eso quiere decir que:

c/a = a/a'

Es decir:

hipotenusa/cateto a = cateto a/proyección del cateto a

Ésa es una proporción (igualdad de dos "razones" o fracciones), y viste que a los cuatro elementos de las razones se les llama "medios" y "extremos". Como en esa proporción el cateto "a" está en los dos "medios", la propiedad dice "el cateto es "medio proporcional"). Los medios son el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda. Y los extremos son el numerador de la primera y el denominador de la segunda.

Bueno, conociendo esa propiedad, en esa proporción se puede reemplazar con los datos del enunciado. Recordemos los datos:

- La hipotenusa mide 25

- El cateto "a" mide 6cm más que su proyección a'. Es decir que:

a = a' + 6

O lo que es equivalente:

a' = a - 6

Por comodidad voy a usar la segunda expresión. Entonces reemplazo en la propiedad:

c/a = a/a'

25/a = a/(a - 6)

Y resuelvo la proporción, usando la propiedad fundamental de las proporciones:

25.(a - 6) = a.a

25a - 150 = a²

Y ésa es una ecuación cuadrática completa, así que paso todo a un miembro y dejo cero en el otro, para resolverla con la fórmula resolvente:

0 = a² - 25a + 150

Voy a cambiar la variable "a" (que representa al cateto "a") en esa ecuación, por la letra "x". Para que no se confunda con la "a" de la fórmula resolvente, que representa al coeficiente principal de la ecuación)

x² - 25x + 150 = 0

a = 1 
b = -25
c = 150

x_1,2 = imagen

         -(-25) +-V(-25)² - 4.1.150
x_1,2 = ----------------------------
                    2.1

           25 +-V625 - 600
x_1,2 = -----------------------
                      2

           25 +- V25
x_1,2 = ------------
                 2

             25 +- 5
x_1,2 = ------------
                 2

x₁ = (25 + 5)/2 = 30/2 = 15

x₂ = (25 - 5)/2 = 20/2 = 10

Recordemos que "x" era el cateto "a". Así que tenemos dos soluciones:

a = 15     ó     a = 10

El cateto "a" puede medir 15cm ó 10cm. 

Y su proyección va a medir:

a' = 15cm - 6cm = 9cm ó a' = 10cm - 6cm = 4cm

Y puedes reemplazar en la proporción para verificar que es correcto.

Esta propiedad está dentro de un tema que se llama: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. Y hay más propiedades que involucran a los catetos, sus proyecciones, la hipotenusa y la altura de la hipotenusa.