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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y/O OBLICUÁNGULOS

14-04-11 Pregunta de maria ana  (PROBLEMA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS)

como resuelvo una estatua de 3m de alto esta colocadaobre base marmol.desde cierto punto en plano se ven los pies y la parte mas alta de estatua angulos 60 y 75 grados, a que distancia de la base del pedestal se encuentra punto de observacion gracias urgente

Cursando:: 4 año
Edad:: 15 
Nacionalidad:: venezolana
¿Qué opinas de la web?: buenisima

Hola maria ana. En el siguiente dibujo se ve representada la situación:

triangulos rectangulos

Allí se pueden ver dos triángulos rectángulos uno dentro de otro. A un costado los puse separados porque quizás así se entienda mejor cuáles son los elementos de cada triángulo (lados y ángulos). Si llamamos "p" a la altura del pedestal de mármol, podemos decir que la parte más alta de la estatua está a "p + 3" metros del suelo. Y lo que se quiere averiguar es la distancia desde el punto de observación a la base del pedestal, distancia a la que llamo "X" en el dibujo.

En el triángulo más grande tenemos: 

- Un ángulo de 75° 
- Un lado que mide "p + 3" (la altura desde el piso hasta la parte más alta de la estatua). Es el "cateto opuesto" al ángulo de 75° (es el lado que está enfrente)
- Otro lado mide "X", es la distancia que queremos averiguar, y es el cateto adyacente al ángulo de 75°.

En el triángulo menor:

- Un ángulo de 60°
- Un lado que mide "p" (la altura del pedestal)
- Otro lado mide "X", es la distancia que queremos averiguar, y es el cateto adyacente al ángulo de 60°

Y aunque desconozcamos los lados, conociendo un ángulo podemos plantear las relaciones trigonométricas con las expresiones "p + 3" y "p". Porque así van a quedar 2 ecuaciones con 2 incógnitas, y con eso se forma un sistema donde se puede hallar el valor de las dos incógnigas (la "p" y la "X").

En el triángulo grande:

Tangente(75°) = (p + 3)/X             (Tangente = cateto opuesto/cateto adyacente)

3,732 = (p + 3)/X

En el triángulo chico:

Tangente(60°) = p/X

1,732 = p/X


Entonces tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, con las que podemos armar el sistema:

3,732 = (p + 3)/X

1,732 = p/X

Eso lo puedes resolver con el método de quieras (Sustitución, Igualación, etc.). Yo prefiero usar el método de Igualación, despejando la X en las 2 ecuaciones:

3,732 = (p + 3)/X

3,732.X = p + 3

X = (p + 3)/3,732


1,732 = p/X

1,732.X = p

X = p/1,732

Y ahora igualo los resultados:

(p + 3)/3,732 = p/1,732

Como eso es una proporción, aplico la Propiedad fundamental de las proporciones ("el producto de los medios es igual al producto de los extremos"):

(p + 3).1,732 = 3,732.p

1,732.p + 5,196 = 3,732.p

5,196 = 3,732p - 1,732p

5,196 = 2p

5,196:2 = p

2,598 = p

Y como ya conocemos el valor de "p", podemos hallar el de "X" reemplazando en alguna de las dos ecuaciones (mejor en las que tienen la "X" despejada). Por ejemplo:

X = p/1,732

X = 2,598/1,732

X = 1,5

Y "X" era justamente el segmento entre el punto de observación y la base del pedestal, cuya medida pedía el problema. Así que la distancia que pedían es:

Respuesta: la distancia es de 1,5 m



15-12-10 Pregunta de lu:         (PROBLEMA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS)

hola necesito urgente ayuda!!! este ejercicio no lo puedo resolver. 
dos palmeras de igual altura distan 90m.Desde un punto situado sobre la recta horizontal que une sus bases,sxe miden dos angulos que son de 38º y 28º.Calculen la altura de las palmeras. 
Ayuda. Gracias

Hola lu. Es un problema de triángulos rectángulos. Te muestro un dibujo que representa la situación:



Allí desconocemos la altura de las palmeras, que es igual para las dos, y que llamo "h". Y también desconocemos los segmentos "x" e "y", que quedaron determinados al marcar un punto sobre la recta horizontal que une las bases de las palmeras. 

Viendo el dibujo, y si conocemos sobre trigonometría y triángulos rectángulos, nos podemos dar cuenta de que:

x + y = 90

h/x = tg 38° 

(porque "h" es cateto opuesto, y "x" es cateto adyacente al ángulo de 38° en el triángulo rectángulo de la izquierda)

h/y = tg 28°

(porque "h" es cateto opuesto, e "y" es cateto adyacente al ángulo de 28° en el triángulo rectángulo de la derecha)

Con esas 3 cosas, podemos calcular el valor de h. De la siguiente manera por ejemplo:

h/x = tg 38°
h/x = 0,781
h = 0,781.x

h/y = tg 28°
h/y = 0,531
h = 0,531.y

Como h = h obviamente, igualo los resultados:

0,781.x = 0,531.y

Ésa es una ecuación con dos incógnitas: x e y. Pero también tenía otra ecuación con esas dos incógnitas:

x + y = 90

Entonces, junto esas dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones:

x + y = 90
0,781.x = 0,531.y

Y lo resuelvo por algún método que conozca. Por ejemplo: Sustitución.

x + y = 90
y = 90 - x

0,781.x = 0,531.y
0,781.x = 0,531.(90 - x)
0,781.x = 47,79 - 0,531.x
0,781x + 0,531x = 47,79
1,312x = 47,79
x = 47,79 / 1,312
x = 36,42

Y con sólo conocer la "x" (o la "y") ya me alcanza. Pues ahí arriba ya tengo expresiones con las cuales se puede calcular "h" conociendo la "x" (o la "y"):

h = 0,781.x
h = 0,781.36,42
h = 28,44

La altura de la palmera es aproximadamente 28,44 m.


06-11-10 Pregunta de Manuel:       (TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y RECTÁNGULOS)

Hola Marce disculpe que una vez mas la moleste pero me gustaria saber si me puede ayuar con estos dos ejercicios por favor se lo agaraadecere muchisimo...

1. Calcular la medida de los ángulos de un triángulo Oblicuángulo cuyos lados miden:
Longitud a = 236.81m; longitud b = 320.54m; longitud c = 406.93m.


2. Un hombre observa que el ángulo de elevación a la parte alta de una torre es de 30º. Camina hacia la torre 300 pies y encuentra que el ángulo es ahora de 60º ¿qué altura tiene la torre?

Bendiciones...


Hola Manuel. 

1) Te dan como datos los 3 lados, entonces para calcular los ángulos tienes que usar el Teorema del coseno, porque para usar el Teorema del seno no alcanzan los datos. El Teorema del coseno dice que:

a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos(A)

b2 = a2 + c2 - 2.a.c.cos(B)

c2 = a2 + b2 - 2.a.b.cos(C)

Siendo a, b y c los lados del triángulo oblicuángulo, y A, B y C sus ángulos. 

Triangulo oblicuangulo
Para calcular uno de los ángulos, reemplazo los 3 lados por los datos que me dieron. Por ejemplo en la primera fórmula:

a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos(A)

236,812 = 320,542 + 406,932 - 2.320,54.406,93.cos(A)

Ves que al reemplazar, la única letra que quedó es A, que era un ángulo. Entonces, es una ecuación con una sola incógnita: el ángulo A. Despejamos la A y así encontramos la medida del ángulo:

56078,9761 = 102745,8916 + 165592,0249 - 260874,6844.cos(A)

56078,9761 - 102745,8916 - 165592,0249 = -260874,6844.cos(A)

-212258,9404 = -260874,6844.cos(A)

(-212258,9404) : (-260874,6844) = cos(A)

0,813643305... = cos(A)

arcos (0,813643305...) = A

"arcos" es arcocoseno, la inversa de la función trigonométrica coseno. Y sirve para hallar el ángulo. En nuestro ejemplo, para hallar el ángulo cuyo coseno es -1.398149867.... Es decir, conociendo el resultado del coseno de un ángulo, se puede hallar el ángulo utilizando la función arcocoseno. En la calculadora está como cos-1, en la misma tecla que el cos, pero arriba, por eso hay que usar SHIFT + cos (la tecla "Shift" y luego la tecla "cos"):

35,546565... = A     (pero está en decimal: hay que pasarlo a grados, minutos y segundos)

35° 32´ 48´´ = A

Ahí tienes uno de los ángulos. Y para los otros dos tienes puedes hacer lo mismo con las otras dos fórmulas.


2) Un hombre observa que el ángulo de elevación a la parte alta de una torre es de 30º. Camina hacia la torre 300 pies y encuentra que el ángulo es ahora de 60º ¿qué altura tiene la torre?

El dibujo que representa esa situación es así:

Triangulos
Llamo x a la altura de la torre, que es lo que hay que calcular.

Este problema te combina triángulos oblicuángulos con triángulos rectángulos. Porque no tienes los datos suficientes para resolver alguno de los 2 triángulos rectángulo que se ven en el dibujo, ya que 300 no es lado de ninguno de los dos triángulos rectángulos. Así que hay que empezar resolviendo el triángulo oblicuángulo que tiene a 30° como ángulo y a 300 como lado. Te lo separo del dibujo para que se vea mejor:

Triangulo obtusangulo
Le puse "y" a ese lado que voy a calcular, porque la letra "x" ya se la asigné a otra incógnita. Voy a calcular ese lado, porque también es lado del otro triángulo, que es rectángulo y tiene como ángulo 60° y la torre "x" como lado. Si logro calcular "y", voy a tener el dato que me falta para encontrar la "x".

Pero para resolver ese triángulo oblicuángulo falta un dato (siempre son tres). Sin embargo se pueden calcular los otros dos ángulos con los datos del problema. Voy a calcular el de arriba, porque me conviene para lo que tengo que hacer después (usar el Teorema del seno).


Llego a la conclusión de que el ángulo de arriba del triángulo oblicuángulo mide 30° por lo siguiente. En el triángulo rectángulo más grande (todo el dibujo), el ángulo de arriba mide:

180° - 90° - 30° = 60°

Ya que tenemos un ángulo de 30° y otro de 90° (es rectángulo, tiene un ángulo recto).

Luego, en el triángulo rectángulo más chico, el ángulo de arriba mide 30°, porque:

180° - 90° - 60° = 30°

Ya que tenemos un ángulo de 60° y el otro de 90°.

Como el ángulo de arriba de 60° está dividido en dos partes, y una mide 30°, la otra parte mide:

60° - 30° = 30°

Listo, volvamos al triángulo oblicuángulo para encontrar "y":


Según el Teorema del seno, se cumple la siguiente proporción:

300 / sen(30°) = y / sen(30°)

Ya que el Teorema del
seno dice:

a/sen(A) = b/sen(b) = c/sen(c)

En cada fracción va arriba un lado, y abajo va el seno del ángulo que está "enfrente" del lado. En el dibujo fijate que 300 está enfrente del ángulo de 30° que está arriba, y el lado "y" está enfrente del ángulo de 30° que está abajo. En este caso particular, que los dos ángulos son iguales, podríamos calcular directamente "y". Como es un triángulo isósceles, y va a valer 300, igual que el otro lado. Pero por si no te dabas cuenta de eso, o si los ángulos no eran iguales, te muestro cómo se hace con el Teorema del seno:

300 / sen(30°) = y / sen(30°)

300 / 0,5 = y / 0,5

Y esa ecuación la resuelves como sepas hacerlo. Se pueden cancelar los 0,5, pero sino puedes aplicar la propiedad de las proporciones:

300.0,5 = 0,5.y

150:0,5 = y

300 = y

Y ahora, conociendo el lado y, tenemos los datos necesarios para resolver el triángulo rectángulo más chico (para resolver un triángulo rectángulo hacen falta dos datos):

Triangulo rectangulo
En ese triángulo rectángulo, "x" es el cateto opuesto (está enfrente del ángulo dato), y la hipotenusa mide 300 (es el lado que está enfrente del ángulo recto). Así que se puede encontrar el valor usando esta función trigonométrica:

seno A = cateto opuesto / hipotenusa

seno 60° = x / 300

0,866... = x / 300

0,866.300 = x

259,8 = x

La altura de la torre es de 259,8 m.




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