TEMA: RELACIONES ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS - IDENTIDADES

13-11-10 Pregunta de Manuel:

Hola Marce una vez mas estoy perdido en la geometria jajaj

y hoy quiero saber como se saca o como se alla el seno coseno y tangente sin alculadora sera me echa una manito...

al menos con uno por ejemplo el de 30 y 45º son 10 pero con esos dos ya agarro el ejemplo o sino aunque sea uno y se lo agradecere...

se lo agradecere mucho...

Bueno en especifico estamos hablando de LOS ANGULOS NOTABLES donde la primer pregunta es que son los angulos notables y no escuentro un definicion clara...

y luego nos piden explicar en letras como hallar el seno, coseno, y tangente de un angulo Notable de 30º, de 45º, y de 60 y 90º sin usar la calculadora, es decir no me dan valores para los angulos asi que por eso estoy algo perdido con esto....

si me puede dar una idea se lo agradecere sino pues yo se que su deceo era ayudarme y eso vale Marce Bendiciones....


Hola Manuel. Los Ángulos notables son los de 0°, 30°, 60°, 45°, 90°. Yo los conozco como "Ángulos Particulares". Son ángulos en los que se pueden deducir sus funciones trigométricas por ciertas relaciones geométricas. Porque ¿qué es lo calcula una función trigonométrica? Calcula una relación entre los lados de un triángulo rectángulo ("relación se le llama a la fracción entre dos números"). Y si el triángulo con determinado ángulo cumple con ciertas propiedades (como por ejemplo, tener dos lados iguales, que un lado sea la mitad del otro, etc.), esa relación entre lados se puede calcular deduciéndola de esas propiedades, sin usar la calculadora (que es lo que te voy a mostrar para cada ángulo, pues eso es lo que te pide el ejercicio).
Ésto era muy importante cuando no había calculadoras científicas que dieran el valor del seno, coseno y tangente. Porque uno se estudiaba el valor de esos ángulos notables (que si no se los acordaba, también los podía deducir pensando un poco), y luego podía deducir el valor de las funciones de otros ángulos relacionados con ellos: por ejemplo 150°, 120°, -60°, etc. etc. Como hay muchos ángulos que tienen los mismos valores para las funciones trigonométricas, recordando el valor de unos pocos ángulos se podían saber muchos otros. Eso es porque las funciones trigonométricas son funciones "periódicas", eso quiere decir que sus valores se vuelven a repetir una y otra vez. Por ejemplo, el seno de 30° es igual al de 120°, al de 390°, e infinitos más; y además son iguales pero con el signo contrario los senos de 210°, 330°, -30°, -120°, etc. etc. etc. Ves como conociendo el seno de un sólo ángulo se puede saber el de muchísimos otros.
Porque la otra opción para calcular funciones trigonométricas era buscar los valores en unas extensas Tablas, lo cual no era muy cómodo. Así que lo mejor era evitar en lo posible el uso de la Tabla, y por eso para cualquier ángulo relacionado con un ángulo notable se trataba de deducir sus funciones conociendo las de éste. Por eso se enseñaban las funciones de ángulos notables.

Bueno, eso es para contestar qué son los Ángulos Notables. No sé si es una definición, pero creo que ayudará a entender qué son y su motivo. De lo que te dije arriba tú puedes sacar una definición, o modificar la que hayas encontrado y no te parece del todo clara. O la definición la pones tal cuál es, y lo que te dije te sirva para entender qué quiere decir la definición (no te preocupes por eso, pues así son las definiciones: no están hechas para que las entienda alguien que está aprendiendo, sino para describir algo de la forma más precisa posible, con las palabras más correctas).

Y ahora vamos a deducir las funciones de los ángulos notables. Primero recordemos (saber lo que sigue es fundamental para entender luego las deducciones que siguen para cada ángulo notable):

seno = cateto opuesto/hipotenusa

coseno = cateto adyacente/hipotenusa

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

Hipotenusa: El lado del triángulo rectángulo que está "enfrente" (opuesto) del ángulo recto (de 90°). También es siempre el lado más largo de los tres.

Catetos: Lados del triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. Son los otros dos lados: los que no son la hipotenusa. Con respecto a un ángulo agudo, el cateto opuesto es el que está enfrente de ese ángulo, y el cateto adyacente el otro: el que no está enfrente, el que forma parte del ángulo, el que es uno de los lados del ángulo. Primero que nada tienes que entender bien qué lado es cuál. La Hipotenusa es siempre la misma. Los catetos son adyacente u opuesto en relación a un ángulo del que estamos hablando. 



Por ejemplo, en el dibujo: 

La Hipotenusa es A

Para el ángulo c, el cateto opuesto es C y el cateto adyacente es B.

Para el ángulo b, el cateto opuesto es B, y el cateto adyacente es C.

Bueno, sabiendo todo lo anterior, vamos a las deducciones:

Se trata de ver qué relaciones hay entre los lados de un triángulo rectángulo que tenga el ángulo notable. A la Hipotenusa de los triángulos que vamos a analizar le ponemos el valor 1. Eso llevaría a otra larga explicación, que en todo caso te daré si me lo requieres en otra consulta.


Ángulo de 0°:

Con un ángulo de 0° no se puede dibujar ningún triángulo. Mirando el triángulo de arriba, imagínate al ángulo C "cerrado" (0°): A se junta con B en una sola línea horizontal. El lado C desaparece:

              A = 1
_________________        C = 0      
          
              B = 1


Podemos pensar que es un triángulo rectángulo "cerrado". Que la Hipotenusa y el cateto adyacentes son iguales, y miden 1. Y que el cateto opuesto mide 0 (Si te cuesta la comprensión de este caso particular, quizás debas mirar primero la explicación para el ángulo de 45°, 60° y/o 30°). Entonces:

Hipotenusa: 1
Cateto opuesto: 0
Cateto adyacente: 1

seno = cateto opuesto/hipotenusa
seno 0° = 0/1
seno 0° = 0

cos 0° = cateto adyacente/hipotenusa
cos 0° = 1/1
cos 0° = 1

tan 0° = cateto opuesto/cateto adyacente
tan 0° = 0/1
tan 0° = 0


Ángulo de 90°:

Tampoco hay un triángulo rectángulo que tenga, además del ángulo recto, otro ángulo de 90°. Podríamos pensarlo también como una línea, vertical ahora, en la que coincidirían el cateto opuesto con la hipotenusa, y la medida de ambos sería 1. Eso es más difícil de imaginar, pero no queda otra. Mirando el dibujo del triángulo rectángulo (arriba) imagina que agrandas el ángulo c hasta que quede recto: la hipotenusa queda vertical, y se juntan A con C. Sería como un triángulo cerrado arriba. El cateto adyacente (B) inexistente mediría 0.

     

Entonces:

Hipotenusa: 1
Cateto opuesto: 1
Cateto adyacente: 0

seno = cateto opuesto/hipotenusa
seno 90° = 1/1
seno 90° = 1

coseno 90° = cateto adyacente/hipotenusa
coseno 90° = 0/1
coseno 90° = 0

tangente 90° = cateto opuesto/cateto adyacente
tangente 90° = 1/0    No tiene   (no se puede dividir por cero)


Ángulo de 45°:

En un triángulo rectángulo, si uno de los ángulos agudos mide 45°, el otro ángulo agudo también mide 45°. Porque 90° + 45° + 45° = 180° (suma de ángulos interiores de un triángulo). Y si el triángulo tiene 2 ángulos iguales, tiene también 2 lados iguales. Entonces es un triángulo isósceles:



Los dos catetos son iguales. Podemos llamar "x" a su medida. Y la Hipotenusa la tomamos como que vale 1 siempre, como te dije en un principio. Pero por el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa² = cateto² + cateto²

1 = x² + x²

1 = 2x²

1/2 = x²

= x

Y esto se puede racionalizar:

 

x =

Así que tenemos:

Hipotenusa: 1
Cateto opuesto:
Cateto adyacente:

seno = cateto opuesto/hipotenusa

seno 45° = ( ) / 1 =

coseno = cateto adyacente/hipotenusa

coseno 45° =  ( ) / 1 =

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

tangente 45° = 


Ángulo de 30°:



En un triángulo rectángulo, si uno de los ángulos agudos mide 30°, el cateto opuesto es igual a la mitad de la Hipotenusa. Eso tiene una demostración geométrica que ya es mucho más complicada, pues ya no es sólo con el triángulo rectángulo, sino con dos, así que no creo que te lo pidan. Simplemente recordar esa relación: el cateto opuesto a un ángulo de 30° es igual a la mitad de a Hipotenusa. Como la Hipotenusa mide 1, el cateto opuesto mide 1/2. Y para calcular el lado que falta, el cateto adyacente, usamos Pitágoras:

Hipotenusa² = cateto² + cateto²

1² = (1/2)² + x²

1 = 1/4 + x²

1 - 1/4 = x²

3/4 = x²

= x

= x

= x

Hipotenusa: 1

Cateto opuesto: 1/2

Cateto adyacente:

seno = cateto opuesto/hipotenusa

seno 30° = (1/2) / 1

seno 30° = 1/2

coseno = cateto adyacente/hipotenusa

coseno 30° = / 1

coseno 30 ° =

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

tangente 30° =


Ángulo de 60°:


                     

En un triángulo rectángulo, si uno de los ángulos agudos mide 60°, el otro mide 30°. Ya que 90° + 60° + 30° = 180°. Como vimos en el punto anterior, el lado opuesto al ángulo de 30° mide 1/2, y el otro mide √3 / 2. El decir que el cateto opuesto a 60° mide √3 / 2, y el adyacente mide 1/2. Así que:

Hipotenusa: 1
Cateto opuesto:
Cateto adyacente: 1/2


seno = cateto opuesto/hipotenusa

seno 60° = ( ) / 1

seno 60° =

coseno = cateto adyacente/hipotenusa

coseno 60° = (1/2) / 1

coseno 60° = 1/2

tangente = cateto opuesto/cateto adyacente

tangente 60° =



Por último quiero aclararte que estas deducciones también se pueden hacer con la llamada "Circunferencia trigonométrica". Allí se grafica el ángulo y quedan determinadas las coordenadas "x" e "y" de cada ángulo. A mí me pareció que se entendería mejor con los triángulos. Pero si lo necesitas de la otra manera después te lo paso. Creo que al verlo primero con los triángulos luego te va a ayudar a que puedas entenderlo con las coordenadas.

Espero que te sirva, y hasta luego Manuel.

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