EXPLICACIÓN:
1) Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros:
(Ver otro método para resolverla)
Factorizo el único denominador que se puede:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 por el Tercer Caso (Trinomio
Cuadrado Perfecto)
x
3
2.x.3
6x
Los otros dos no se pueden factorizar.
Reemplazo el denominador que factoricé, por su equivalente factorizado:
Entonces tengo que buscar denominador común (el m.c.m) entre:
(x + 3)
(x + 3)2
(¿Y el 1 no hay que tenerlo en cuenta?)
m.c.m.: (x + 3)2
(m.c.m. entre polinomios)
2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:
(1 es igual a 1/1)
Primer Miembro:
Primera fracción:
Divido el denominador común por el denominador de
la primera fracción:
(x + 3)2 dividido (x + 3), es igual a
(x + 3) (divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(x + 2).(x + 3)
Me va quedando:
Segunda fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:
(x + 3)2 dividido (x + 3)2, es igual 1 (como
cualquier cosa divida por sí misma)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
3.1 = 3
Me queda:
Segundo miembro:
Divido el denominador común por el denominador del único término que hay en
el segundo miembro:
(x + 3)2 dividido 1, es igual a (x + 3)2 (cualquier
cosa dividido 1 dá la misma cosa)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
1.(x + 3)2
Me queda:
3) Cancelar el denominador común en ambos miembros:
(¿por qué se puede hacer esto?)
Es decir que queda sólo lo que hay en los numeradores, y es una ecuación donde
ya no hay x en el denominador, porque ya no hay denominadores.
4) Resolver la ecuación:
(x + 2).(x + 3) + 3 = (x + 3)2
x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 9
x2 - x2 +
5x - 6x = 9 - 6 - 3
-x = 0
x = 0 (¿y
qué pasó con el menos?)
5) Condición de existencia y Conjunto solución:
Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de
la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores
dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se
hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y
resolviendo la ecuación que queda:
Denominadores:
(x + 3)2
x + 3
Para qué valores de x dan cero:
Como ya expliqué en el EJEMPLO 1, no hace falta igualar todos los denominadores
a cero, sino que basta hacerlo con los factores que aparecen en esos
denominadores cuando ya están factorizados, o los factores que aparecen en el
denominador común o m.c.m. (Ver
esa explicación). Y aquí el único factor es (x +
3). Así que:
x + 3 = 0
x = -3
Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 3, porque ese
valor hacen que dé cero algún denominador.
Condición de existencia: x ≠ -3
Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 0, cumple la Condición de
existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo
encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única
solución:
Conjunto solución: {0}
(más sobre la Condición
de existencia y el Conjunto solución)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES
RACIONALES
El mejor método para resolver la ecuación de este EJEMPLO 2:
En una ecuación como ésta, en que uno de los miembros es solamente un número:
es más apropiado o "práctico"
usar otro método para resolverla. Es el que antes llamé Método 3: "Pasar multiplicando lo que está dividiendo".
Se trata de buscar denominador común
solamente en el miembro donde están las fracciones,
y luego que todo está sobre un único denominador, se lo puede pasar al otro
miembro multiplicando. Ya que en una ecuación, para poder pasar algo que está
dividiendo, tiene que estar "dividiendo a todo".
Recordemos como quedaban los denominadores factorizados:
(Ver la factorización)
También ya calculé el m.c.m. entre ellos, es (x + 3)2.
(Ver el
cálculo del m.c.m). Y también ya
calculé durante la explicación del otro método, cómo quedan los
denominadores del primer miembro (ver
explicación de eso). Pero en este
método, no pongo el denominador común en el segundo miembro, y por lo tanto
tampoco cambio el segundo miembro: dejo el 1. Queda así:
Ahora, como (x + 3)2 está dividiendo a
todo el miembro, se lo puede pasar multiplicando al otro miembro. Así:
(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2
Y así se logra que el denominador desaparezca, lo
cual en el otro método teníamos que hacer cancelando. Aclaremos que todas esto
de cancelar o pasar al otro miembro multiplicando sólo se puede hacer si
consideramos que el denominador es desigual a cero; pero al determinar la
Condición de existencia, estamos dejando en claro eso.
Y ahora me quedó la misma ecuación que ya
resolví con el otro método, así que eso lo pueden ver allí: ver
la resolución.
Divisiones que se hicieron en este EJEMPLO 2:
La única que puede presentar alguna duda es: (x + 3)2 dividido (x +
3). Recordemos que esas divisiones equivalían a simplificar fracciones, como
expliqué en su momento en los ejemplos de suma y resta. En este caso, resolver
la división que nombré equivaldría a simplificar esta fracción:
(explicación
de la simplificación)
¿Y el denominador 1 no hay que tenerlo en cuenta para buscar denominador
común?
El método principal con el que estoy resolviendo todos los EJEMPLOS consiste en
buscar denominador común entre todos los denominadores de ambos miembros de la
ecuación. Y en el segundo miembro de esta ecuación hay un número entero, que
es lo mismo que una fracción con denominador igual a 1.
Sin embargo, cuando busqué el m.c.m entre todos los denominadores, ese
denominador 1 del segundo miembro no lo tuve en cuenta. Y eso es porque para
calcular el m.c.m. no se tiene nunca en cuenta al 1 como factor, ya que por más
que lo pusiera en el m.c.m. no cambiaría el resultado, porque cualquier cosa
multiplicada por 1 dá la misma cosa (el 1 es "neutro" en la
multiplicación). (cálculo
de m.c.m.)
¿Qué hago en una ecuación cuando me queda la x negativa?
Algunos no saben qué hacer ante esta situación en una ecuación:
-x = 4
Muchos alumnos piensan así (por eso lo pongo primero, porque parece que es lo
que más fácil les resulta):
"-x es lo mismo que -1.x." Es decir que: "Delante de la x hay un
-1 multiplicando, entonces lo paso dividiendo":
-1.x = 4
x = 4:(-1)
x = -4
Pero si luego de hacer esto se detuvieran a mirar los dos pasos que remarqué,
se darían cuenta de que, al final, dió el mismo número con el signo cambiado.
De 4, el resultado pasó a ser -4. Eso va a pasar siempre con cualquier número
que lo hagan (después lo explico con el cero). Entonces, directamente se
podría recordar que, al quedar la x negativa, el resultado de la ecuación es
el número que dió, pero cambiado de signo (el "opuesto"):
-x = 4
x = -4
-x = -7
x = 7
etc.
Y eso justamente tiene que ver con el tema de los opuestos. -x es el opuesto de
x, y los opuestos son números de igual valor pero con el signo contrario. Por
ejemplo:
4 es el opuesto de -4
-4 es el opuesto de 4
Entonces, cuando la ecuación dice:
-x = 4
está diciendo: "El opuesto del número que quiero encontrar es 4". Y
¿cuál es el opuesto de 4? Pues, -4. Entonces, puedo decir que "El número
que quiero encontrar es -4", lo que en la ecuación se escribiría así:
x = -4
Ahora, el número 0 es un caso particular, porque 0 y -0 son iguales, o lo que
es lo mismo: -0 es igual a 0. Así que, si una ecuación dice:
-x = 0
puedo decir
