EXPLICACIÓN:
1) Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros:
(Ver otro método mejor
para resolverla)
En este ejemplo los denominadores no se pueden factorizar. El m.c.m. es:
m.c.m.: (x + 5).(x + 2) (cálculo
del m.c.m. entre polinomios)
2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:
Primer Miembro:
Divido el denominador común por el denominador de
la primera fracción:
(x + 5).(x + 2) dividido (x + 5), es igual a
(x + 2) (divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(7 + x).(x + 2)
Me va quedando:
Segundo miembro:
Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:
(x + 5).(x + 2) dividido (x + 2), es igual (x + 5)
(divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
(x + 3).(x + 5)
Me queda:
3) Cancelar el denominador común en ambos miembros:
(¿por qué se puede hacer esto?)
Es decir que queda sólo lo que hay en los numeradores, y es una ecuación donde
ya no hay x en el denominador, porque ya no hay denominadores.
4) Resolver la ecuación:
(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)
7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15
9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14
x + x2 - x2 = 1
x = 1
5) Condición de existencia y Conjunto solución:
Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de
la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores
dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se
hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y
resolviendo la ecuación que queda:
Denominadores:
x + 5
x + 2
Para qué valores de x dan cero:
x + 5 = 0
x = -5
x + 2 = 0
x = -2
Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser ni -5 ni -2, porque
esos
valores hacen que dé cero algún denominador.
Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2
Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 1, cumple la Condición de
existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo
encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única
solución:
Conjunto solución: {1}
(más sobre la Condición
de existencia y el Conjunto solución)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES
RACIONALES
El mejor método para resolver la ecuación de este EJEMPLO 3:
Esta ecuación es una proporción, es decir: la igualdad de dos
fracciones:
a/b = c/d
Y además, sus numeradores son muy sencillos: solamente tienen c/u un binomio
que no se puede factorizar. Entonces, la forma más fácil de resolverla es
utilizando la Propiedad fundamental de las proporciones:
a.d = b.c
Es decir "el producto cruzado es igual", o "el producto de los
medios es igual al producto de los extremos". Aquí su aplicación a este
EJEMPLO 3:
(7 + x).(x + 2) = (x + 5).(x + 3)
Así, llegamos a la misma ecuación que con el otro método, y en un solo paso:
sin buscar denominador común, etc., etc. Luego, hay que resolver esa ecuación
y todo lo demás como en el otro método (ver aquí).
Divisiones que se hicieron en este EJEMPLO 3:
Recordemos que esas divisiones equivalían a simplificar fracciones, como
expliqué en su momento en los ejemplos de suma y resta. En este caso, resolver
la divisiones que hice equivaldrían a simplificar las siguientes fracciones:
(explicación
de la simplificación)
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (En el segundo miembro hay un número solo)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)
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