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ECUACIONES RACIONALES / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3


 

EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)







(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15

9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2 - x2 = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5  y  x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}

Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dos fracciones. La forma más práctica de resolverla sería usar la Propiedad fundamental de las proporciones, pero aquí usé en mismo método que vengo usando en todos los ejemplos. En la EXPLICACIÓN también lo muestro resuelto usando la mencionada propiedad.



EXPLICACIÓN:


1) Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros:     (Ver otro método mejor para resolverla)



En este ejemplo los denominadores no se pueden factorizar. El m.c.m. es:

m.c.m.: (x + 5).(x + 2)           (cálculo del m.c.m. entre polinomios)


2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:





Primer Miembro:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 5).(x + 2)   dividido (x + 5),   es igual a (x + 2)       (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

(7 + x).(x + 2)

Me va quedando:



Segundo miembro:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 5).(x + 2) dividido (x + 2), es igual (x + 5)        (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

(x + 3).(x + 5)

Me queda:




3) Cancelar el denominador común en ambos miembros:

        (¿por qué se puede hacer esto?)

Es decir que queda sólo lo que hay en los numeradores, y es una ecuación donde ya no hay x en el denominador, porque ya no hay denominadores.


4) Resolver la ecuación:

(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15

9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2 - x2 = 1

x = 1



5) Condición de existencia y Conjunto solución:

Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y resolviendo la ecuación que queda:

Denominadores:

x + 5

x + 2

Para qué valores de x dan cero:

x + 5 = 0

x = -5


x + 2 = 0

x = -2

Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser ni -5 ni -2, porque esos valores hacen que dé cero algún denominador.

Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2

Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 1, cumple la Condición de existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única solución:

Conjunto solución: {1}

(más sobre la Condición de existencia y el Conjunto solución)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES RACIONALES


El mejor método para resolver la ecuación de este EJEMPLO 3:

Esta ecuación es una proporción, es decir: la igualdad de dos fracciones:

a/b = c/d

Y además, sus numeradores son muy sencillos: solamente tienen c/u un binomio que no se puede factorizar. Entonces, la forma más fácil de resolverla es utilizando la Propiedad fundamental de las proporciones:

a.d = b.c

Es decir "el producto cruzado es igual", o "el producto de los medios es igual al producto de los extremos". Aquí su aplicación a este EJEMPLO 3:



(7 + x).(x + 2) = (x + 5).(x + 3)

Así, llegamos a la misma ecuación que con el otro método, y en un solo paso: sin buscar denominador común, etc., etc. Luego, hay que resolver esa ecuación y todo lo demás como en el otro método (ver aquí).


Divisiones que se hicieron en este EJEMPLO 3:

Recordemos que esas divisiones equivalían a simplificar fracciones, como expliqué en su momento en los ejemplos de suma y resta. En este caso, resolver la divisiones que hice equivaldrían a simplificar las siguientes fracciones:





(explicación de la simplificación)



Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (En el segundo miembro hay un número solo)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)



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