EXPLICACIÓN:
1) Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro:
Factorizo los denominadores:
x2 - 4 = (x + 2).(x - 2) por el Quinto Caso (Diferencia
de Cuadrados)
x 2
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 por el Tercer Caso (Trinomio
Cuadrado Perfecto)
2.x.2
4x
Reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados:
Entonces tengo que buscar denominador común (el m.c.m) entre:
(x + 2).(x - 2)
(x + 2)2
m.c.m.: (x + 2)2.(x-2)
(m.c.m. entre polinomios)
2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:
Primer Miembro:
Primera fracción:
Divido el denominador común por el denominador de
la primera fracción:
(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), es igual a
(x + 2) (divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(x + 5).(x + 2)
Me va quedando:
Segunda fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:
(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, es igual (x - 2)
(divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
(x - 4).(x - 2)
Me queda:
En este caso particular en que el segundo miembro es igual a 0, no pongo
denominador común ni transformo el numerador del segundo miembro, porque de
todos modos va a dar cero (¿a ver cómo
sería eso?).
Ya no hace falta cancelar los dos denominadores de ambos miembros, sino que se
puede cancelar el denominador del primero utilizando otro concepto, lo cual se
verá en el siguiente paso.
3) Cancelar el denominador común o pasar el denominador común al otro
miembro:
Cuando tenemos que una fracción es igual a cero, podemos cancelar su
denominador, y nos queda que su numerador es igual a cero. Ahí estamos usando
el siguiente concepto: "Si una fracción es igual a cero, es porque su
numerador es igual a cero" (más sobre esto).
Y si no les gusta usar este concepto, o temen no recordarlo, pueden pensarlo
así de otra forma: "El denominador está dividiendo. Lo puedo pasar al
otro miembro multiplicando (como en cualquier ecuación). Y como me queda cero
multiplicado por el denominador, entonces me dá cero. Y así desaparece el
denominador" (ver ese paso resuelto).
Todo eso es válido siempre y cuando el denominador sea desigual a cero, pero
eso se aclara cuando se determina la Condición de existencia.
4) Resolver la ecuación:
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0
x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0
x2 + 2x + 5x + 10 - x2 + 2x +
4x - 8 = 0
13x + 2 = 0
13x = -2
x = -2/13
5) Condición de existencia y Conjunto solución:
Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de
la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores
dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se
hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y
resolviendo la ecuación que queda:
Denominadores:
(x + 2)2
(x + 2).(x - 2)
Para qué valores de x dan cero:
Como ya expliqué en el EJEMPLO 1, no hace falta igualar todos los denominadores
a cero, sino que basta hacerlo con los factores que aparecen en esos
denominadores cuando ya están factorizados, o los factores que aparecen en el
denominador común o m.c.m. (Ver
esa explicación). Y aquí los factores son (x + 2) y (x - 2). Así
que:
x + 2 = 0
x = -2
x - 2 = 0
x = 2
Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 2 ni -2, porque esos
valores hacen que dé cero algún denominador.
Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2
Como la solución que encontré en el paso 4 era x = -2/13, cumple la Condición de
existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo
encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única
solución:
Conjunto solución: {-2/13}
(más sobre la Condición
de existencia y el Conjunto solución)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES
RACIONALES
Divisiones que se hicieron en este EJEMPLO 4:
Resolver (x + 2)2.(x - 2)
dividido (x + 2).(x - 2), equivale a simplificar la
siguiente fracción:
Resolver
(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, equivale a
simplificar la siguiente fracción:
(explicación
de la simplificación)
¿Qué pasa si en este EJEMPLO 4 busco denominador común en ambos
miembros?:
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0
Como cero multiplicado por cualquier cosa, dá como resultado cero, el segundo miembro sigue siendo igual a cero. Entonces, para qué voy
a hacer todo ese procedimiento de ponerle el denominador común a ambos
miembros y cancelar los dos, si de todos modos voy a llegar a lo mismo que
si simplemente cancelara el denominador del primer miembro, como lo hice
en la explicación (ver
pasos 3 y 4).
Si una fracción es
igual a cero, su numerador es igual a cero:
0/3 = 0 porque 0:3 = 0
0/8 = 0 porque 0:8 = 0
0/0 no representa a ningún número, porque 0:0 no se puede hacer: no se
puede dividir por cero. Entonces, nunca el denominador de una fracción
puede ser igual a cero.
4/0 no es igual a cero. La fracción 4/0 no representa a ningún número,
porque 4:0 no se puede hacer: no se puede dividir por cero. Entonces,
nunca el denominador de una fracción puede ser igual a cero.
Para que una fracción sea igual a cero, tiene que representar a una
división que dé como resultado el número cero. Y las divisiones que dan
cero son aquellas en la que se divide al cero: "Cero dividido por
cualquier número (distinto de cero), es igual a cero". Solamente
dividiendo al cero es que se obtiene cero.
0:5 = 0
0:(-2) = 0
etc.
Así que:
"Si a/b es igual a 0, entonces a = 0 (para b ≠ 0)"
Ésa es la propiedad que podemos usar para resolver una ecuación racional
en la cual uno de sus miembros es igual a cero, como este EJEMPLO 4.
Pasando el denominador común al otro miembro:
Decía en la explicación que, el paso para hacer "desaparecer"
el denominador, también se podría pensar así:
En una ecuación, "lo que está dividiendo pasa multiplicando".
El denominador común está dividiendo, así que lo paso multiplicando al
otro miembro:
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0.(x + 2)2.(x - 2)
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0
Y así hice desaparecer el denominador sin cancelarlo, y llegué a la
misma ecuación que con los otros métodos.
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)
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