ECUACIONES RACIONALES / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EXPLICACIÓN:


1) Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro:  (ver otro método mejor para resolverla)



Los denominadores son monomios. La letra es la misma: x. El denominador común es x², la letra con la mayor potencia que aparece. Porque es también el m.c.m., como ya expliqué en un ejemplo de suma: SUMA - EJEMPLO 13


2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:





Primer Miembro:

Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

x² : x = x          (cómo se hace esa división)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

3.x

Me va quedando:



Segunda fracción:

x² : x² = 1           (como cualguier cosa dividida por sí misma dá 1)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

2.1 que es igual a 2

Me queda:



Tercera fracción:

x² : x = x

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fracción:

(5 - 2x).x

Segundo miembro:

5 es igual a 5/1. El denominador del segundo miembro es, entonces: 1. Divido:

x² : 1 = x²      (como cualquier cosa dividido 1 dá la misma cosa)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador del segundo miembro:

5.x²

Me quedó:




3) Cancelar el denominador común:

             (¿por qué se puede hacer esto?)


4) Resolver la ecuación:

3x - 2 + (5x - 2).x = 5x²

3x - 2 + 5x² - 2x = 5x²

3x + 5x² - 2x - 5x²= 2

x = 2


5) Condición de existencia y Conjunto solución:

Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y resolviendo la ecuación que queda:

Denominadores:

x²

x

Para qué valores de x dan cero:

x² = 0
x = 0           (¿cómo se resuelve esta ecuación?)

x = 0

Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 0, porque ese valor hace que dé cero algún denominador.


Condición de existencia: x ≠ 0

Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 2, cumple la Condición de existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única solución:

Conjunto solución: {2}

(más sobre la Condición de existencia y el Conjunto solución)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES RACIONALES


¿Por qué x² : x = x?

Ésa una división de potencias de la misma base (misma letra), y se puede resolver usando la Propiedad de la división de potencias de igual base, que dice que "se restan los exponentes". Ahí no se ven muchos exponentes, pero hay que recordar que x es lo mismo que x¹. Entonces, el exponente de x es 1. Se lo voy a poner para que se vea como aplico la propiedad:

x² : x¹ = x^2-1 = x¹ = x              (División de potencias de igual base)


¿Cómo se resuelve la ecuación x² = 0?

Lo más rápido sería pensar: "¿Qué número, cuando lo elevo a la potencia 2, me dá 0?". Si se pueden dar cuenta de eso, ahí tienen la respuesta: el único número que, cuando lo elevo a la 2 (o cualquier otra potencia), dá como resultado 0, es el mismo número 0. Y no hay otro que cumpla con eso:

0² = 0

Así que x = 0 es la única solución de esa ecuación, el cero es el único número que verifica esa ecuación. Dándose cuenta de eso, no hace falta seguir ningún procedimiento, ni despejar la x para encontrar la solución. Pero si eso no se les hace evidente, pueden intentar despejarla así de alguna de las siguientes maneras:

Usando módulo:

x² = 0
|x| = √0
|x| = 0
x = 0

Recordando que al pasar el cuadrado como raíz, se obtienen 2 resultados: uno positivo y uno negativo:

x² = 0
x = + √0
x = + 0
x = 0         (ya que +0 y -0 son los dos iguales)

Lo mismo que antes, pero sin usar el símbolo +, sino separando en dos soluciones, una con cada signo:

x² = 0
x = √0   ó   x = - √0
x = 0     ó   x = -0
x = 0

Aunque como expliqué antes, ninguno de estos procedimientos es necesario para una ecuación tan sencilla en la que se puede deducir la solución sin hacer nada. Pero los pasos para resolverla sería esos, dependiendo de cómo esté cada uno acostumbrado a despejar la x².


El mejor método para resolver esta ecuación:

Este ejemplo es similar al EJEMPLO 2, en el sentido de que el segundo miembro es un solo número:



La manera más práctica de resolverla es buscando denominador común en el miembro en que están las fracciones, y luego pasarlo multiplicando al otro miembro:

       

(los pasos para llegar es esto se pueden ver en el procedimiento que expliqué arriba, ya que es casi idéntico, con excepción de que el segundo miembro no hay que modificarlo:
ver aquí)

Ahora que está todo el primer miembro dividido por x², se puede pasar la x² multiplicando:

3x - 2 + (5x - 2).x = 5.x²

Y así se llega a la misma ecuación que con el otro método, así que los siguientes pasos pueden verse en la explicación de arriba: ver aquí.




Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)

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