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ECUACIONES RACIONALES / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6


 

EJEMPLO 6:







x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: Ø  (vacío)

Éste es un ejemplo donde la ecuación no tiene solución. Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta no verifica la ecuación, ya que hace que los denominadores sean cero. Es decir: no cumple la Condición de existencia.



EXPLICACIÓN:


1) Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro:  (ver otro método para resolverla)



Los denominadores son monomios. La letra es la misma: x. El denominador común es x2, la letra con la mayor potencia que aparece. Porque es también el m.c.m., como ya expliqué en un ejemplo de suma: SUMA - EJEMPLO 13


2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:



Primer Miembro:

Primera fracción:

x2 : x2 = 1          (como cualquier cosa que se divide por sí misma, dá 1)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

(x2 - 1).1 = x2 - 1

Me va quedando:



Segunda fracción:

x2 : x = x           (cómo se hace esa división)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

(x + 2).x

Me queda:



Segundo miembro:

Primera fracción
:

x2 : x = x

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción del segundo miembro:

3.x

Me quedó:



Segunda fracción:

x2 : x2 = 1 

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción del segundo miembro:

1.1 = 1

Me quedó:




3) Cancelar el denominador común:

              (¿por qué se puede hacer esto?)


4) Resolver la ecuación:

x2 - 1 - x.(x + 2) = 3x - 1

x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1

x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0


5) Condición de existencia y Conjunto solución:

Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y resolviendo la ecuación que queda:

Denominadores:

x2

x

Para qué valores de x dan cero:

x2 = 0
x = 0           (¿cómo se resuelve esta ecuación?)

x = 0

Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 0, porque ese valor hace que dé cero algún denominador.


Condición de existencia: x ≠ 0

Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 0, no cumple con la Condición de existencia. Así que x = 0 no es una solución válida, porque hace que los denominadores valgan cero. Y es la única que se pudo encontrar. Así que la ecuación racional no tiene solución. El conjunto solución es entonces el llamado "conjunto vacío", un conjunto sin elementos:

Conjunto solución: ø   (Conjunto vacío. También se simboliza así: {})

(más sobre la Condición de existencia y el Conjunto solución)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES RACIONALES


Otro método para resolver la ecuación de este EJEMPLO 6:

En esta ecuación también es apropiado aplicar el que llamé "método 2": "Pasar todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar a cero"). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común". Sería así:





Tercera fracción (las transformación de las dos primeras ya la hice en el otro método):

x2 dividido x dá x. Así que multiplico x por el numerador (x + 2), y queda x.(x + 2)


Cuarta fracción:

x2 dividido x2 dá 1. Y 1.1 = 1. Así que en el numerador queda 1.

Luego, como ya expliqué antes (ver aquí), si una fracción es igual a 0, su numerador es igual a cero, así que:

x2 - 1 - x.(x + 2) - 3x + 1 = 0

x2 - 1 - x2 + 2x - 3x + 1 = 0

-1 - x + 1 = 0

-x = 0

x = 0

Por supuesto, se llega al mismo resultado. Y como x debía ser desigual a cero por la condición de existencia (ver aquí por qué), esta ecuación no tiene solución:

Conjunto solución = Ø  (vacío)


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
(Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 5



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