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EJEMPLO 1:
1
Primero hay que factorizar totalmente a todos los
polinomios que se puedan en ambas fracciones. Luego, se simplifican los
polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de
arriba con uno de abajo".
Finalmente hay que multiplicar las fracciones que quedaron, del mismo modo que
se multiplican las fracciones numéricas: numerador con numerador, y denominador
con denominador.
Como la simplificación no vale para cualquier valor de x
(ver aquí), si lo piden hay que
aclarar que ese resultado vale para: x ≠ -3.
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EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción que corresponda:
x2 - 9 = con el Quinto Caso de
Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x
3
(x + 3).(x - 3)
Entonces, reemplazo en la primera fracción a (x2 - 9) por su equivalente:
(x + 3).(x - 3). El ejercicio ahora me queda así:
No hay ningún otro polinomio que se pueda simplificar, así que paso a lo
siguiente:
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x + 3) está "repetido":
aparece en el denominador ("abajo") de la primera fracción, y en el numerador
("arriba") de la segunda fracción. Entonces puedo simplificarlos, ya
que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno
de arriba con uno de abajo".
(en el apartado dedicado a la SIMPLIFICACIÓN
ya expliqué cómo se simplifican los polinomios)
1
En la segunda fracción se me hace necesario poner el "1" que queda
cuando se simplifica, porque no quedó nada más en el numerador de esa
fracción, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos
multiplicando. En cambio en la primera fracción no necesito poner el
"1" (aunque podría ponerse), ya que en ese denominador también queda
otro polinomio. (más sobre esto)
Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:
x + 3 ≠ 0
x ≠
-3 (¿por
qué?)
3) Multiplicar:
Luego de simpilficar, las dos fracciones ("pasadas en limpio")
quedaron así:
(Este paso no es necesario, se puede obviar)
Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de
abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos
resultados:
(Este paso tampoco es imprescindible)
Las multiplicaciones que hice para llegar a ese resultado, son:
Multipliqué los numeradores que quedaron: (x + 1) por 1 dá (x + 1)
(Recordemos que multiplicar por "1" es lo mismo que no multiplicar por
nada)
Multipliqué los denominadores que quedaron: (x + 3).(x - 2) dá (x + 3).(x -
2). En este tema no se suele aplicar la propiedad distributiva, sino que se deja
expresada la multiplicación. De esa manera el resultado queda
"factorizado".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: MULTIPLICACIÓN
¿Por qué cuando simplifico a veces pongo el "1" y otras no
lo pongo?
Quizás habrán observado que cuando simplifico todo el numerador, o todo el
denominador en una fracción, pongo el "1" para ocupar ese lugar en la
fracción (¿por qué un
"1"?
¿cómo se simplifica?). En cambio, cuando luego de
simplificar aún queda algo en esa posición de la fracción, el
"1" no lo pongo, porque no hace falta "rellenar" ese lugar
en la fracción, ya que está ocupado con otro u otros polinomios que quedaron
allí. También el "1" sirve para indicar que en el próximo paso la
multiplicación será entre ese "1" y lo que haya en la otra
fracción. En cambio, si quedó algo en esa posición, la multiplicación será
entre ese "algo" y lo que hay en la otra fracción. Esto no es algo
que tenga demasiada importancia, ya que se llega de todos modos al mismo
resultado. Pero lo estoy aclarando por si a alguien le interesa saber por qué
lo hago así. Veamos como simplifiqué:
1
En la segunda fracción taché todo lo que había en el numerador, y arriba le
puse el "1". Esto lo hago porque así estoy indicando que la segunda
fracción queda así:
En cambio, en el denominador de la primera fracción taché el (x + 3), pero no
puse el "1" en su lugar. Y la razón por la cual no lo hice es porque
allí quedó también otro polinomio:
(x - 3), entonces poner el "1" no hace falta. ¿Por qué no hace
falta? Porque poner un "1" multiplicando no cambia nada, ya que
multiplicar por 1 es lo mismo que no multiplicar por nada: no cambia las cosas,
porque el 1 es neutro de la multiplicación. Si yo ponía 1.(x - 3), era la
mismo que poner (x - 3), ya que eso es lo que dá esa operación. De todos
modos, si se quiere se lo puede poner. En cambio en la segunda fracción, hizo
falta poner el "1" para rellenar la fracción, para que ese lugar de
la fracción que quedaba vacío sea ocupado por algo.
Y luego, el "1" que puse en la segunda fracción también sirve para
indicar en el siguiente paso cuáles son los numeradores que se multiplican, y
los denominadores que se multiplican. Recordemos que la regla para multiplicar
es:
Luego de simplificar, esto es lo que me quedó para multiplicar:
Como voy a usar la regla de la multiplicación, allí arriba puedo ver lo que
tengo que multiplicar en el siguiente paso. Es:
Si no hubiera puesto el 1, la segunda fracción quedaba vacía en su numerador.
Eso no es tan grave, porque uno se puede saltear esos dos pasos que puse allí
arriba, y poner directamente el resultado final. Pero si uno quiere presentar
esos pasos, hay que poner el "1".
Por otro lado, si hubiera puesto el "1" en el denominador de la
primera fracción, me hubiera quedado así:
1
1
Como voy a usar la regla de la multiplicación, allí arriba puedo ver lo que
tengo que multiplicar en el siguiente paso:
Pero es lo mismo multiplicar 1.(x - 3).(x - 2), que multiplicar solamente a (x -
3).(x - 2). Entonces, el "1" no hace falta ponerlo para indicar lo que
hay que multiplicar, porque ya estoy indicando una multiplicación: (x - 3).(x -
2) es una multiplicación. En cambio arriba, si no ponía el "1", me
quedaba solamente (x + 1), lo cual no es una multiplicación, y no se vería
cómo estoy usando la regla de la multiplicación. Ya sé que al final se llega
al mismo resultado. Pero para presentar el paso de usar la regla de la
multiplicación (lo cual no es obligatorio), el "1" de arriba lo tengo
que poner, pero el "1" de abajo no hace falta.
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
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