EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción que corresponda:
Factorizo:
x3 + 8 = con el
Sexto Caso (Suma o Resta de Potencias
de Igual Grado)
x 2
(x + 2).(x2 - 2x + 4)
Factorizo:
x2 + 4x + 4 = con el
Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
x
2
2.2x
4x
(x + 2)2
Factorizo:
x2 + 1/2 x =
con el Primer Caso (Factor
Común)
x.(x + 1/2)
No factorizo:
El polinomio x2 - 2x + 4, que está en el denominador de la
segunda fracción, no se puede factorizar por ningún Caso. Como es un trinomio
de segundo grado, se puede probar con el Tercer
Caso o con el Séptimo, pero
se comprobará que no tiene factorización posible. Ese mismo polinomio
apareció cuando factoricé otro polinomio: x3 + 8 = (x + 2).(x2
- 2x + 4). Y luego los podré simplificar entre ambos.
Ésta situación es bastante común cada vez que hay un polinomio que se puede
factorizar con el Sexto Caso. Entonces, conociendo esto de antemano, podemos evitar el
perder tiempo tratando de factorizar un polinomio que no se podrá de ninguna
forma (primo), y que ha sido puesto en el ejercicio justamente para que lo
podamos simplificar con el que quedó luego de aplicar el Sexto Caso. La manera
de evitarlo es factorizando primero que nada al polinomio que se puede con el
Sexto Caso, así se verá el resultado que dá y se podrá observar si en el
ejercicio aparece otro polinomio repetido para simplificarlos. (más
sobre esto)
Luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin
factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x + 2) está "repetido":
aparece en el numerador y en el denominador de la primera fracción. También está repetido
(x2 - 2x + 4): aparece en el numerador de la primera fracción, y en el
denominador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya
que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno
de arriba con uno de abajo". (En el apartado dedicado a la SIMPLIFICACIÓN
ya expliqué cómo se simplifican los polinomios)
1
1
1
En el numerador de la primera fracción se me hace necesario poner el "1"
en lugar de cada polinomio que simplifiqué, porque no quedaba nada en el
numerador de esa
fracción. Lo mismo, en el denominador de la segunda fracción. (más sobre esto)
Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:
x + 2 ≠ 0
x ≠ -2
(¿por
qué?)
x2 - 2x + 4 ≠ 0 para todo valor de x (porque no se puede
factorizar, no tiene raíces) (más
sobre esto)
3) Multiplicar:
Luego de simpilficar, las dos fracciones ("pasadas en limpio")
quedaron así:
(Este paso no es imprescindible, se puede obviar)
Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de
abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos
resultados:
(Otro paso
que no es imprescindible)
El resultado de la multiplicación es:
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: MULTIPLICACIÓN
Para no perder tiempo tratando de factorizar un polinomio que no tiene
factorización:
Hay ejercicios donde nos ponen un polinomio que se puede factorizar con el Sexto
Caso (Suma o
Resta de Potencias de Igual Grado
o "Ruffini"), y otro
polinomio que no se podrá factorizar porque es primo. Como a priori no sabemos
si un polinomio puede o no factorizarse, quizás perdamos tiempo intentándolo.
Pero ese polinomio lo pusieron para que lo simplifiquemos. Si estamos alertados
de esta situación, podemos evitar perder tiempo en tratar de factorizar un
polinomio que no se puede. Por ejemplo:
En este ejercicio, si empezamos tratando de factorizar a x2 + 4x +
16, perderemos el tiempo. Trataremos de hacerlo por dos o tres Casos
(Tercero, Séptimo y quizás Gauss), pero no se podrá factorizar por ninguno. Y
la verdad que a simple vista parece que se pudiera por alguno de esos Casos, por
eso es probable que caigamos en la tentación de hacerlo. Pero veremos que por
ningún caso se puede.
Y en este mismo ejercicio, también podemos ver que está el polinomio x3
- 64, donde se puede aplicar el Sexto
Caso, y queda así:
x3 - 64 =
x 4
(x - 4).(x2 + 4x + 16)
Se puede ver que, en esa factorización, apareció el mismo polinomio ése que
no podíamos factorizar: x2 + 4x + 16. Y como tendremos que ponerlo
en un denominador, mientras que el otro estaba en un numerador, estos dos
polinomios iguales se van a poder simpliflicar. Entonces, si hubiéramos
factorizado a x3 - 64 antes de tratar de factorizar a x2 +
4x + 16, y hubiéramos observado la coincidencia, podríamos habernos dado
cuenta de que se podrían simplificar los x2 + 4x + 16, por lo cual
no hacía ya falta tratar de factorizar al primer x2 + 4x + 16.
1
Por eso podría ser recomendable que, si un ejercicio tiene algún polinomio en
donde se pueda aplicar el Sexto Caso, se factorice antes que nada ese polinomio.
Así se puede ver si en esa factorización aparece un polinomio que también
esté en el ejercicio y que pueda simplicarse con éste (como en este ejemplo x2
+ 4x + 16), y entonces ya no sea necesario ponerse a tratar de factorizar ese
otro polinomio.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:
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Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 7
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
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