EXPLICACIÓN:



1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción que corresponda:

Factorizo:

x⁴  + x³   + x² + x =           con el Primer Caso (Factor Común)

x.(x³  + x²   + x + 1) =        y luego con el 2do Caso (Factor Común en Grupos)

x.[(x².(x + 1) + 1.(x + 1)] =

x.(x + 1).(x² + 1)

Factorizo:

2x⁴ - 32 =           con el Primer Caso (Factor Común)

2.(x⁴ - 16) =       y luego con el Quinto Caso (Diferencia de Cuadrados)
    x²      4

2.(x² + 4).(x² - 4) =   y de nuevo con el Quinto Caso
               x      2

2.(x² + 4).(x + 2).(x - 2)


Factorizo:

3x² + 12x + 12 =       con el Primer Caso (Factor Común)

3.(x² + 4x + 4) =       y luego con el Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
    x               2
          2.x.2
            4x

3.(x + 2)²

Factorizo:

6x - 12 =                con el Primer Caso (Factor Común)

6.(x - 2)

Factorizo:

5x² + 10x + 5 =         con el Primer Caso (Factor Común)

5.(x² + 2x + 1) =       y luego con el Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
    x               1
           2.x.1
            2x

5.(x + 1)²

Factorizo:

3x⁵ + 3x³ =                con el Primer Caso (Factor Común)

3x³.(x² + 1)


Y luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:




2) Simplificar:

En este ejercicio son 3 las fracciones que se están multiplicando. Se puede simplificar de la misma manera que en las fracciones numéricas, "un polinomio que esté en el numerador de cualquiera de las 3 fracciones con otro que esté repetido en el denominador de cualquiera de las 3 fracciones". (ver ejemplos)
Así, me encuentro con que el polinomio (x² + 1) está "repetido": aparece en el numerador de la primera fracción y en el denominador de la tercera fracción. También está repetido (x + 1): aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Y también está el (x - 2): en el denominador de la primera y en el numerador de la segunda. Además está la x: en el numerador de la primera fracción y en el denominador de la tercera fracción, donde está elevada a la potencia tercera (x³). Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo".
Pero además también hay números, los cuales se simplifican como en una multiplicación de fracciones numéricas: en este caso simplifiqué el 6 con el 2, y luego el 3 que quedó del 6 lo simplifiqué con el 3 del denominador de la tercera fracción. Y después simplifiqué el 20 con el 5. (más sobre esto)
(En el apartado dedicado a la SIMPLIFICACIÓN ya expliqué cómo se simplifican los polinomios)

                                         1
              1         1               3     1                4


Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 1 ≠ 0
x ≠ -1            (¿por qué?)

x² + 1 ≠ 0  para todo valor de x, porque no se puede factorizar (más sobre esto)


3) Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones ("pasadas en limpio") quedaron así:

   (Este paso no es imprescindible, se puede obviar)

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados: