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Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION 


¿Por qué "desaparecen" los polinomios que "taché"?

En la parte de Conceptos Generales expliqué cómo se simplica una fracción con polinomios, comparándolo con la simplificación en fracciones numéricas (Ver aquí). En un ejemplo numérico, al simplificar "tachando" un par de números iguales (uno de arriba con uno de abajo), en realidad lo que estamos haciendo es "dividir cada número por sí mismo". Por ejemplo, en:



Al tachar el 2 de arriba y el 2 de abajo, en realidad estoy dividiendo a cada 2 por 2. Porque así se simplifica cualquier fracción numérica: se divide al numerador y al denominador por el mismo número (¿y por qué se simplifican así? ¿pero es eso realmente lo que estoy haciendo acá?). Pero cuando se divide a un número por sí mismo, el resultado es 1. Dos dividido dos es igual uno. Es decir que en realidad, cuando "tacho", podría poner un 1 en el lugar del 2, porque es el resultado de la división que estoy haciendo para simplificarlo. Quedaría así:

1
=   = 
   1

Seguramente lo habrán hecho o visto así alguna vez. Al quedar un 1, lo que no se tachó queda multiplicado por 1. Pero multiplicar por 1 es lo mismo que no multiplicar por nada, porque el resultado no cambia (el 1 es el "neutro" de la multiplicación). Por eso, es lo mismo poner el 1 que no ponerlo. Y si no pongo el 1, están "desapareciendo" los números que taché, y quedando sólo los que no taché. Es decir: Desaparecen los dos números iguales que tacho, porque en lugar de esos números quedaría un 1 multiplicando. Y lo que sea, multiplicado por 1, sigue siendo "lo mismo". Entonces puedo no poner los 1, y donde estaban los números que taché no queda nada (NOTA: si no luego de tachar no queda nada en el numerador, el 1 hay que ponerlo. Ver EJEMPLO 3).

Lo mismo pasa con los polinomios. En la fracción:



El tachar al (x - 2) de arriba con el (x - 2) de abajo, lo que estoy haciendo en realidad es dividir por (x - 2) en el numerador y en el denominador. Como dividir un polinomio por sí mismo dá como resultado el número 1 (tal como en la división de números enteros), al tachar a los (x - 2) en realidad me estaría quedando un 1 en sus lugares. Así:

                   1

           1

Y como (x + 2).1 es igual a (x + 2), y 3.1 = 3 (porque el 1 es el neutro de la multiplicación), entonces, es lo mismo no poner los 1, y quedan solamente los polinomios que no taché, "desapareciendo" los que taché.


¿Por qué se simplifican las fracciones numéricas diviendo al numerador y al denominador por el mismo número?

Porque si hago eso, obtengo una fracción equivalente a la que tenía, y por lo tanto el resultado no cambia. Veamos que es eso de "fracción equivalente": 

Una fracción representa a una "división sin hacer". Por ejemplo: 3/2 representa a la división "3 dividido 2". En este caso es una división entera no exacta ("no dá justo cuando divido 3 por 2, sobra algo"), y es resultado es el número decimal 1,5 (como pueden comprobar con la calculadora):

3/2 = 3:2 = 1,5

6/2 representa a la división 6:2 = 3, cuyo resultado es el número entero 3 (es una división entera exacta, no sobra nada, el resto de la división es cero)

5/3 representa a la división 5:3 = 1,6666..., cuyo resultado es un número decimal periódico.

Podemos decir entonces que una fracción representa a una división o al número que es resultado de esa división. Así justamente, dividiendo, se puede convertir a una fracción en número decimal (o entero si dá justo):

3/2 = 1,5
6/2 = 3
5/3 = 1,6666...

Se dice que dos fracciones son equivalentes, cuando representan a la misma división, o también se podría decir "son iguales al mismo número". Y resulta que si se multiplica por un mismo número al numerador y al denominador de una fracción, se obtiene una fracción equivalente. Veamos:



Allí multipliqué al numerador y al denominador de 3/2 por el número 5, y obtuve la fracción 15/10. Esa fracción, 15/10, es equivalente a 3/2, porque representan al mismo número decimal:

3/2 = 3:2 = 1,5

15/10 = 15:10 = 1,5

Como yo podría multiplicar por cualquier número, hay infinitas fracciones equivalentes que pueden hallarse para cualquier fracción:

3/2 = 15/10 = 6/4 = 9/6 = 12/8 .... etc.

(para llegar a 6/4 multipliqué por 2, para llegar a 9/6 lo hice por 3, para llegar a 12/8 lo hice por 4)

Y así como, multiplicando por 5 "arriba y abajo" a 3/2, pude obtener a 15/10 ; puedo hacer lo contrario: dividiendo por 5 "arriba y abajo" a 15/10 puedo obtener a 3/2:



Y lo mismo con los otros ejemplos:





Es decir, dividiendo al numerador y al denominador por el mismo número entero, estoy obteniendo también fracciones equivalentes. Y por eso podemos "simplificar" una fracción cuando se puede dividir "arriba y abajo" por el mismo número. Porque haciendo eso obtenemos una fracción equivalente, una fracción que equivale al mismo número y por eso no cambia el resultado.
"Simplificar" significaría "convertir en algo más simple". Y acá lo más simple sería una fracción con números más pequeños. De 12 y 8 pasamos a 3 y 2. Podremos simplificar así cuando en una fracción tenemos, en el numerador y el denominador, números que puedan ambos dividirse exactamente (división exacta) por algún número. En el ejemplo anterior teníamos al 12 y al 8, ambos números divisibles por 4. Por eso pudimos simplificar por 4.


Pero en este tema no estoy simplificando todo el numerador con todo el denominador

Quizás se hayan preguntado esto. Parece no ser lo mismo simplificar algo así:

            (que es lo que hacemos en este tema, aunque con polinomios)

que simplificar una fracción:

 3

 2

porque en lo primero hay multiplicaciones, no hay un solo número en el numerador y el denominador. Pero sí es lo mismo. Lo que pasa en es que donde vemos "multiplicaciones" podemos decir que hay en realidad "números descompuestos" (o "factorizados"). Porque:

2.7 = 14    Es el número 14, descompuesto.

5.2 = 10    Es el número 10, descompuesto.

Entonces, tener:

  

es lo mismo que tener la fracción:



Así, ambas cosas se pueden simplificar dividiendo por 2 al numerador y al denominador. Es lo mismo hacer:

1
=
  1

que hacer:

 7

 5

En ambos casos estamos "dividiendo por 2 al numerador y al denominador". Ya que:

(2.7):2 = (2:2).7 = 1.7 = 7

y

14:2 = 7

Y lo mismo en el denominador.


¿Por qué digo que (x - 2) toma el valor cero cuando x = 2?

Un polinomio "toma valores" cuando sus letras son reemplazadas por números. El polinomio (x - 2) tiene una sola letra: la "x". Si a esa "x" la reemplazo por un número, obtendré un valor (a lo que se le llama Valor Numérico del polinomio).
Por ejemplo, si reemplazo la x del polinomio por el número "7", el polinomio (x - 2) "toma el valor" "5", porque:

(x - 2)    Este es el polinomio, con su letra "x"

(7 - 2) = 5   Reemplacé la "x" del polinomio por el número "7", y ahora el polinomio tiene un "Valor Númerico": es "5".

Lo que decía entonces es que, si reemplazo la "x" con el número "2", el polinomio "toma el valor" "0", porque:

(x - 2)

(2 - 2) = 0   Cuando reemplazo la "x" por el número "2", el polinomio "toma el valor" "0".


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 1:















Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2  (Cuando se cancela todo el denominador)
EJEMPLO 3  (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 4  (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)
EJEMPLO 5  (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6  (Cuando quedan números para simplificar)
EJEMPLO 7  (Cuando los números que quedan son fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12

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