EXPLICACIÓN:



1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción:

Factorizo:

x³ + 6x² + 12x + 8 =  (x + 2)³       con el 4^to Caso (Cuatrinomio Cubo Perfecto)
x                            2
     3.x².2    3.x.2²
       6x²       12x

Luego, reemplazo en la fracción a (x³ + 6x² + 12x + 8) por su equivalente:
(x + 2)³. La fracción va quedando así:




Factorizo:

x³ + 4x² + 4x =         con el Primer Caso de Factoreo (Factor Común)

x.(x² + 4x + 4) =      y lo que queda con el 3er Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
     x               2
           2.x.2
             4x

x.(x + 2)²

Entonces, reemplazo en la fracción a (x³ + 4x² + 4x) por su equivalente:
x.(x + 2)². La fracción va quedando así:




2) Simplificar:

Me quedaron dos polinomios iguales (x + 2), que puedo simplificar como ya expliqué en los ejemplos anteriores. Además, arriba lo tengo elevado a la potencia tercera, y abajo lo tengo elevado a la potencia segunda. En el EJEMPLO 4 expliqué cómo simplificar los polinomios que quedan elevados a potencias (ver aquí):

             (cómo simplificarlo de otra manera)

El resultado de la simplificación es:




3) Condición para simplificar:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero (Ver aquí) (recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos dividiendo). Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. 
En este ejemplo simplifiqué el polinomio (x + 2). Entonces, (x + 2) debe ser desigual a cero. Veamos para qué valores de x es (x + 2) igual a cero:

x + 2 = 0

x = 0 - 2

x = -2

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x + 2), toma el valor cero cuando x = -2. Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a -2.

x -2