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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11



 



EJEMPLO 11: (La x como factor, a distintas potencias)










Luego de factorizar los denominadores, aparece la "x" como factor. Pero en el denominador de la primera fracción está al cuadrado (x2), mientras que en el de la segunda está a la primera potencia (x1 = x). En el denominador común hay que poner la "x" con la mayor potencia con la que aparece, o sea, a la segunda potencia (x2), siguiendo la regla del m.c.m.



EXPLICACIÓN:


1) Factorizo los denominadores:



Primera fracción:

x3 - 3x2 = x2.(x - 3)           con el Primer Caso: Factor Común

Segunda fracción:

x2 - 3x = x.(x - 3)              con el Primer Caso: Factor Común


Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados. Va quedando así:




2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

x2.(x - 3)
x.(x - 3)

Los factores son:

x
(x - 3)

Con el mayor exponente con que aparecen:

(x - 3) no tienen exponente (quiere decir que está elevados a la potencia 1, así que ése es su mayor exponente. Y la x está elevada a la 2 (x2) en el primer denominador, y a la 1 (x) en el segundo denominador. Así que el mayor exponenente para el factor x es 2.

m.c.m: x2.(x - 3)


(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen") M.C.M.


Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el numerador:




3) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que teníamos y el denominador común:






Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), es igual a 1        (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

1.(x + 1) que es igual a x + 1

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), es igual a x          (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

2.x

Me queda:




4) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:

Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

x + 1 + 2x = 3x + 1

Me quedó:



Y como 3x + 1 no puede factorizarse por ningún Caso de Factoreo, ése es el resultado final del ejercicio.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqué con más detalles en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:

                     1       1
          (¿por qué si simplifica así?)
                     1      1

Y resolver x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:



Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), se me va a cancelar todo, entonces el resultado es 1."

"Si divido a x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), se me van a cancelar el (x - 3) y una de las dos x del x2. Entonces me queda solamente una x."


Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 11:

Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común, lo marcaré en rojo:

Denominador 1: x2.(x - 3)

Denominador común: x2.(x - 3)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en azul:

Denominador 2: x.(x - 3) = x.(x - 3)

Denominador común: x2.(x - 3) = x.x.(x - 3)

En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con distintos denominadores)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Hay varios números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)



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