FACTOREO COMBINADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)

2x² - 18 =

2.(x² - 9) =
     x     3

2.(x + 3).(x - 3)

Primero se puede sacar factor común "2". Luego, en x² - 9 se puede aplicar el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados).
 En cualquier ejercicio combinado, se aconseja empezar por aplicar Factor Común si se puede.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para seguir la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
FACTOR COMÚN y DIFERENCIA DE CUADRADOS.


1) Primero saco factor común "2":

2x² - 18 =

2.(x² - 9) =
    x      3

2) Luego, dentro del paréntesis quedó una Diferencia de Cuadrados, ya que tanto x² como 9 son "cuadrados" de algo (¿qué es un "cuadrado"?).
Las bases son x y 3. La factorización de esa Diferencia de Cuadrados es entonces: (x + 3).(x - 3). Reemplazo a (x² - 9) por su equivalente factorizado (x + 3).(x - 3), así:

2.(x + 3).(x - 3)       (no entiendo lo del reemplazo)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales están en CONCEPTOS - EJERCICIOS COMBINADOS


El problema del "reemplazo":

El error más frecuente que muchos alumnos cometen en estos ejercicios combinados es que, concentrados en la última factorización, se olvidan de las anteriores. Por tal razón, terminan la última factorización, se olvidan o no saben reemplazar, y les queda como resultado final la factorización del último polinomio que tomaron, y esa no es la factorización completa del polinomio original. Por ejemplo, en el ejercicio explicado en esta página, hacen lo siguiente:

2.(x² - 9) = (x + 3).(x - 3)      ERROR
     x     3

¡¿Y el 2?! O se olvidan el 2, o no comprenden que el 2 es parte del resultado final, que era parte del polinomio original, que lo sacaron como factor común, y que esa igualdad que pusieron así es falsa (lo cual podrían verificar aplicando la Propiedad Distributiva).
Porque (x + 3).(x - 3) es igual solamente a x² - 9. No a 2.(x² - 9), ni a 2x² - 18.
(x + 3).(x - 3) es lo que nos dió cuando factorizamos a x² - 9. Es equivalente a x² - 9, y no a 2x² - 18, que es el polinomio que originalmente empezamos a factorizar. Entonces, no podemos decir que 2x² - 18 es igual a (x + 3).(x - 3).

Por eso, es necesario aprender a reemplazar una expresión por otra. Si una cosa es igual a otra, en el lugar de la cosa puedo poner a la otra. Eso es "reemplazar". Si:

x² - 9 es igual a (x + 3).(x - 3)

Entonces, en el lugar donde está x² - 9 puedo poner a (x + 3).(x - 3). Porque son iguales, porque si cambio por una cosa igual, puedo decir que "todo sigue igual" o "la igualdad se mantiene". Luego de sacar factor común en el primer paso, llegamos a que:

2x² - 18 es igual 2.(x² - 9)

Como después factoricé a x² - 9, y me dió (x + 3).(x - 3), en el lugar de uno pongo lo otro, y así, todo sigue siendo igual a 2x² - 18:

2.(x² - 9) es igual a 2.(x + 3).(x - 3)

Podríamos pensar que estamos haciendo esto: Si A = B, entonces 2.A = 2.B. El hilo del ejercicio sería entonces:

2x² - 18 = 2.(x² - 9) = 2.(x + 3).(x - 3)

Cuando este error persiste (por olvido o por malentendido), se puede aconsejar hacer las factorizaciones en un lugar aparte, como un "cálculo auxiliar". Para que quede más claro que, los que se están encontrando son resultados parciales, que luego hay que reemplazar en el ejercicio principal donde debe "mantenerse la igualdad".


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva primero entre 2 y (x + 3), y luego entre lo que queda:

2.(x + 3).(x - 3) = (2x + 6).(x - 3) = 2x² - 6x + 6x - 18 = 2x² - 18


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:


3ax² - 12a = 

3a.(x² - 4) =
       x     2

3a.(x + 2).(x - 2)


y³a⁵ - 100ay³ =

y³a.(a⁴ - 100) =
       a²     10

y³a.(a² + 10).(a² -10)


5x⁷a³ - 45ax³ = 

5x³a.(x⁴a² - 9) =
         x²a     3

5x³a.(x²a + 3).(x²a - 3)


100/3 z⁷b² - 64/27 z=

4/3 z.(25z⁶b² - 16/9) =
          5z³b         4/3

4/3 z.(5z³b + 4/3).(5z³b - 4/3)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)
EJEMPLO 3 (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 4 (Factor Común y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 5 (Factor Común y Séptimo Caso)
EJEMPLO 6 (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 7 (Resta de Potencias Pares de Igual Grado y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 8 (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 9 (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 10 (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 11 (Con 3 Casos: Factor Común, F. Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

AVANZADOS (Agrupando y aplicando distintos Casos en cada grupo):
EJEMPLO 12
EJEMPLO 13
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
EJEMPLO 19

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