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FACTOREO COMBINADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13

EJEMPLO 13:

x3 + 2x2 + 2xy + 2y2 - y3 =

x3 - y32x2 + 2xy + 2y2 =

(x - y).(x2 + xy + y2) + 2.(x2 + xy + y2)=

(x2 + xy + y2).(x - y + 2)

Primero cambié el orden de los términos para que se entienda cómo agrupé. En el primer grupo apliqué el Sexto Caso (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado), y en el segundo grupo saqué factor común "2". Luego saqué como factor común a la expresión (x2 + xy + y2), a semejanza de lo que se hace en el último paso del 2do Caso.



EXPLICACIÓN:

NOTA: Para seguir la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO y FACTOR COMÚN



1) Si agrupo el primer término con el último, tengo una resta de potencias terceras y puedo aplicar el Sexto Caso. Y en los otros 3 términos hay factor común "2". Previo a factorizar cambio el orden de los términos, para que se vea mejor cómo agrupo:

x3 - y3 + 2x2 + 2xy + 2y2=
x      y

Voy a aplicar los Casos de a uno, para que se entienda mejor. Así que empiezo por el Sexto Caso:

  | 1   0   0    y3
  |
  |
 y|    -y   y2  -y3
                    
    1  -y   y2 | 0


Me va quedando entonces:

(x - y).(x2 - xy + y2) + 2x2 + 2xy + 2y2 =

(Ruffini con dos letras)


2) Ahora saco factor común "2" en los tres últimos términos:

(x - y).(x2 + xy + y2) + 2x2 + 2xy + 2y2 =

(x - y).(x2 - xy + y2) + 2.(x2 - xy + y2) =


3) Pero ahora tengo dos términos en los cuales está (x2 - xy + y2) multiplicando. Eso significa que hay factor común (x2 - xy + y2). Entonces lo saco como factor común: (El factor común es una expresión de varios términos)

(x - y).(x2 - xy + y2) + 2.(x2 - xy + y2) =

(x2 - xy + y2).(x - y + 2)         (no entiendo este paso)

Y ya no se puede hacer más nada, porque x2 - xy + y2 no se puede factorizar porque no tiene raíces reales (más sobre esto).



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales están en CONCEPTOS - EJERCICIOS COMBINADOS


Explicación del último paso:

(x - y).(x2 - xy + y2) + 2.(x2 - xy + y2) =

En ambos términos está (x2 - xy + y2) multiplicando. Y si algo está multiplicando en dos términos es un factor común en esos términos. Entonces, puedo sacar como factor común a
(x2 - xy + y2).

Si al primer término "le saco" (lo divido) por (x2 - xy + y2), me queda (x - y), por eso puse:

(x2 - xy + y2).(x - y...

Pero luego está sumando el otro término: 2.(x2 - xy + y2). Si a ese término "le saco" (lo divido) por (x2 - xy + y2), sólo queda el 2, y sumando. Por eso, me quedó:

(x2 - xy + y2).(x - y + 2)

(Ver también: Cuando el factor común es una expresión de dos términos)


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)
EJEMPLO 2 (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 3 (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 4 (Factor Común y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 5 (Factor Común y Séptimo Caso)
EJEMPLO 6 (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 7 (Resta de Potencias Pares y Factor común en Grupos)
EJEMPLO 8 (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 9 (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 10 (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 11 (Con 3 Casos: Factor Común, F. Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)


AVANZADOS (Agrupando y aplicando distintos Casos en cada grupo):
EJEMPLO 12
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
EJEMPLO 19



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