FACTOREO COMBINADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 3: (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)

5x³ + 40 =

5.(x³ + 8) =
     x      2

5.(x + 2).(x² - 2x + 4)

Primero se puede sacar factor común "5", y luego aplicar el Sexto Caso. El trinomio que queda luego de aplicar el Sexto Caso no se puede factorizar por ningún Caso.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para seguir la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
FACTOR COMÚN y SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO.


1) Primero saco factor común "5":

5x³ + 40 =

5.(x³ + 8) =
     x      2

2) Luego, dentro del paréntesis quedó una suma de potencias de igual grado, ya que 8 es igual a 2³. Entonces se puede aplicar el Sexto Caso, y las bases son x y 2. Como es una suma de potencias impares, debo dividir por (x + 2):
(Consultar en SEXTO CASO)

   | 1   0   0   8
   |
   |
 -2|    -2   4  -8  
     1  -2   4 | 0

Cociente: (x² - 2x + 4)

Entonces, la factorización queda así:


5.(x + 2).(x² - 2x + 4)       (no entiendo lo del reemplazo)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS - EJERCICIOS COMBINADOS


¿Por qué asevero que x² - 2x + 4 se puede factorizar por ningún Caso?

Si trato de aplicar el Séptimo Caso no encuentro raíces reales. Y si no tiene raíces reales, un trinomio de segundo grado con una sola letra no puede ser trinomio cuadrado perfecto ni factorizarse tampoco por Gauss (más sobre esto)
Y podemos estar seguros de que, en una Suma o Resta de potencias impares (el polinomio cociente que queda luego de aplicar el Sexto Caso no puede factorizarse nunca. Recordando esto, no se perderá tiempo en tratar de factorizarlo. Cuidado que estoy hablando de polinomios con cierta forma, la que es más común para el Sexto Caso:

xⁿ + aⁿ =

xⁿ - aⁿ =

Siendo "a" una letra o número, y "n" impar como ya había aclarado. Si las potencias son pares, sí que puede factorizarse el polinomio "cociente". Con el Segundo Caso: Factor Común en Grupos, como se verá en otro ejemplo (EJEMPLO 7)


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva primero entre 5 y (x + 2), y luego entre lo que queda:

5.(x + 2).(x² - 2x + 4)  = (5x + 10).(x² - 2x + 4) = 5x³ - 10x² + 20x + 10x² - 20x + 40 = 

5x³ - 40


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 3:


a²x⁵ - 32a² = 

a².(x⁵ - 32) = 
      x      2

a².(x - 2).(x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16)


3a³ + 3b³ =

3.(a³ + b³) =
    a     b

3.(a + b).(a² + ab + b²)


4b³x⁷ - b³ = 

4b³.(x⁷ - 1) =
       x      1

4b³.(x - 1).(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)
EJEMPLO 2 (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 4 (Factor Común y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 5 (Factor Común y Séptimo Caso)
EJEMPLO 6 (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 7 (Resta de Potencias Pares de Igual Grado y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 8 (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 9 (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 10 (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 11 (Con 3 Casos: Factor Común, Factor C. en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

AVANZADOS (Agrupando y aplicando distintos Casos en cada grupo):
EJEMPLO 12
EJEMPLO 13
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
EJEMPLO 19

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