Las bases son x
y 2. Los dos "triple-productos" dan
bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada
al cubo".
EXPLICACIÓN:
1) Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias
terceras" (¿qué
es un "cubo"?): Son x3
y 8. Porque, es evidente que x3 es "x
elevado a la tercera". Y 8 es igual a "2
elevado a a la tercera", ya que 23 = 8.
Bajo entonces las "bases" (¿a
qué llamo las "bases"?),
que son x y 2.
Nota: El término "6x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos
razones: El número 6 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué
es "raíz cúbica", y "exacta"?),
y x2 no es una potencia tercera (¿por
qué?). Y el término "12x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 12 no tiene
raíz cúbica exacta, y "x" no es una potencia tercera.
(Los
que no pueden ser "cubos")
2) Determinadas ya las dos bases (x y 2), efectúo los dos "triple-productos"
(¿qué
es un triple-producto?):
3.x2.2
(Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base: 3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 6x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 6x2 + 12x + 8).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x.22
(Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado: 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 12x (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en
consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos". (conceptos)
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(x + 2)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Por qué busco "cubos", "bases", y verifico
"triple-productos"?
Es por la fórmula del cubo de un binomio, que es así: (a + b)3
= a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3.
Es una fórmula que me permite elevar a la tercera a una suma o
resta de dos términos (binomio). Y en el resultado aparecen: "dos
cubos" (a3 y b3) y "dos triple-productos" (3.a2.b y 3.a.b2)
.
El Caso se basa en esta fórmula. (más
sobre esta fórmula)
Cuando tenemos que factorizar un polinomio de 4 términos (cuatrinomio),
podemos sospechar que es el resultado de aplicar esa fórmula (a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3).
Entonces, buscamos que nuestro polinomio concuerde con la forma que tiene
ese resultado. Y esa forma consiste en: dos cubos, y dos triple-productos.
Por eso buscamos los 2 cubos; y si los hay, probamos los triple-productos
con las bases de esos cubos (los dos "triple-productos"). Si los
triple-productos dan correctamente,
estamos ante un polinomio que es resultado de usar esa fórmula. Y
entonces podemos decir que es igual a la suma de dos términos, elevada al
cubo: (a + b)3.
¿Qué es raíz cúbica? ¿Por qué digo raíz cúbica "exacta"?
Así como a la potencia tercera se le llama "cubo", a la
raíz de índice 3 se le llama "raíz cúbica". También se le
dice "raíz tercera", o "raíz tres". Ejemplo:
= 2.
Y cuando digo que 6 no tiene "raíz cúbica exacta", me refiero
a que la raíz cúbica de 6 no dá un número entero ni racional, sino un
número con infinitas cifras decimales (irracional). Basta usar la
calculadora para ver el resultado: 1,81712059... Digo que no es
"exacta", porque no hay ningún número (entero
o racional) que elevado a la potencia
3 dé como resultado 6.
¿A qué números puede estar elevada una letra para que pueda ser una potencia tercera (o "cubo")
que nos sirva en este tema?
Tiene que estar elevada a la 3, 6, 9, 12, etc. Es decir, a múltiplos
de 3. Por ejemplo:
x3 es obviamente la potencia tercera o
cubo de x
x6 es potencia tercera de x2.
Porque (x2)3 es igual a x6 (potencia de
potencia)
x9 es potencia tercera de x3.
Porque (x3)3 es igual a x9
x12 es potencia tercera de x4. Porque (x4)3
es igual a x12
etc.
En cambio:
x2 no puede es una potencia tercera. Porque
no puedo escribir a "2" como multiplicación del número 3 por
otro número natural, que es lo que requiere la propiedad Potencia
de Potencia. Es porque 2 no es múltiplo de 3.
x5 no es una potencia tercera, por la misma razón
que la anterior.
Aclaración: Nos referimos solamente a las potencias que tienen como
exponente un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.), porque es lo que
nos sirve para este tema que estamos viendo. Pero en realidad, fuera del
conjunto de los número naturales, x2 y las otras sí podrían ser potencias terceras. Por ejemplo: x2 es igual a (x2/3)3. Pero ya estaríamos trabajando con exponentes fraccionarios,
y no es lo que se suele ver en este tema. Aunque podría encontrarse en
algún ejercicio
más avanzado de este Caso de Factoreo.
Los que no pueden ser "cubos" (¿cómo los reconozco?)
6x2 no puede ser un cubo, porque 6 no tiene raíz cúbica
exacta, y la x está elevada a la 2, que no es múltiplo de 3 (¿a
qué números puede estar elevada la x para ser un cubo?)
12x no puede ser un cubo, porque 12 no tiene raíz cúbica exacta, y la x
está elevada a la 1, que no es múltiplo de 3.
8x5 no puede ser cubo, porque si bien el 8 tiene raíz cúbica
exacta, la x está elevada a la 5, que no es múltiplo de 3.
7x6 no puede ser cubo, porque 7 no tiene raíz cúbica exacta,
aunque la x esté elevada a la 6 que sí es múltiplo de 3.
En los dos últimos ejemplos anteriores podemos observar que, para que una
multiplicación sea "cubo", ambos factores (¿qué
es un factor?) deben ser cubos (como
pasaba con los cuadrados en el caso anterior). Y eso es por la misma Propiedad
Distributiva entre la potencia y la multiplicación, según la
cual:
(a.b)3 es igual a a3.b3
Por ejemplo:
(2.x)3 es igual a 23.x3, lo que es igual
a 8x3. (más
sobre esto)
8x3 es un "cubo" entonces, porque viene de elevar a
2x al cubo. Y a su vez, también el 8 y la x3 son cubos cada
uno por separado. Es decir que ambos
factores de la multiplicación "8x3" son cubos. Ejemplos de multiplicaciones que son cubos:
27a3 (27 es cubo de 3, y a3 es cubo de
a)
-64x6 (-64 es cubo de -4, y x6 es cubo de x2)
125b9 (125 es cubo de 5, y b9 es cubo de b3)
Multiplicaciones:
En nuestro ejemplo hicimos:
3.x2.2
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.2.x2
Lo que es igual a 6x2
Y el segundo triple-producto era:
3.x.22 ; que es igual a 3.x.4. Pero por la misma razón que en
el otro, es igual a 3.4.x, lo que dá 12x.
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (x + 2)3 es igual a
x3 + 6x2 + 12x + 8
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(x + 2)3 =
x3 + 3.x2.2
+ 3.x.22 + 23 =
x3 + 6x2
+ 12x + 8
- O usando el concepto de potencia:
(x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2) = (x2 + 2x + 2x +
4).(x + 2) = (x2 + 4x + 4).(x + 2) =
(x3 + 2x2 + 4x2 + 8x + 4x + 8) = x3
+ 6x2 + 12x + 8
En la verificación precedente apliqué la Propiedad Distributiva: entre
los dos primeros factores en un principio, y luego entre el resultado y el
tercer factor.
¿Puede estar "desordenado" el cuatrinomio?
Por supuesto que los cubos y los triple-productos pueden estar en
cualquier orden. Incluso el resultado lo podemos poner desordenado,
dependiendo en qué orden encontremos las bases. Por ejemplo:
En vez de dar como solución de nuestro EJEMPLO 1 a (x + 2)3,
podría haber dado como solución: (2 + x)3. Y eso es porque (x
+ 2) es igual a (2 + x).
Veamos qué pasa si aplico la fórmula del cubo de un binomio a (2 + x):
(2 + x)3 = 23 + 3.22.x + 3.2.x2 + x3 =
8 + 12x + 6x2 + x3
Se puede ver que este resultado es igual al cuatrinomio de nuestro EJEMPLO
1, nada más que los términos están en distinto orden.
No caigamos por esto en la confusión de pensar que el caso dá dos
resultados posibles (como sí pasaba en el Trinomio Cuadrado Perfecto). El
resultado aquí es uno sólo, porque (x + 2) y (2 + x) son lo mismo. En
los ejemplos que doy a continuación, hay algunos cuatrinomios
"desordenados".
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:
a3 + 12a2 + 48a
+ 64 = (a + 4)3
a
4
3.a2.4
3.a.42
12a2
48a
x3 + 27 + 9x2 +
27x = (x + 3)3
x 3
3.x2.3 3.x.32
9x2 27x
1 + y3 + 3y2 +
3y = (1 + y)3
1 y
3.y.12 3.y2.1
3y 3y2
15x2 + 125 + 75x + x3
= (5 + x)3
5
x
3.x2.5
3.x.52
15x2
75x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 2 (Con algunos términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos
negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a
la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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