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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
EJEMPLO 2: (Con términos negativos)
x3 - 9x2
+ 27x - 27 =
(x - 3)3
x
-3
3.x2.(-3)
3.x.(-3)2
-9x2
27x
Las bases son x y
-3, ya que (-3)3 es igual a
-27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es
(x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3
EXPLICACIÓN:
1) Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias
terceras" (¿qué
es un "cubo"?): Son x3
y -27. Porque, es evidente que x3 es "x
elevado a la tercera". Y -27 es igual a "-3
elevado a a la tercera", ya que (-3)3 = -27. Bajo entonces las "bases" (¿"bases"?),
que son x y -3.
El término "-9x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razónes: El número
-9 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué
es "raíz cúbica", y "exacta"?),
y x2 no es una potencia tercera (¿por
qué?). Y el término "27x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número
27 no tiene
raíz cúbica exacta, y x no es una potencia tercera.
(Los
que no pueden ser "cubos")
2) Determinadas ya las dos bases (x y -3), efectúo los dos "triple-productos":
(¿qué
es un triple-producto?)
3.x2.(-3)
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: -9x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 - 9x2 + 27x + 27).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x.(-3)2 ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 27x (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer término (x3 - 9x2 + 27x + 27). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en
consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos". (conceptos)
3) El resultado de la factorización es, entonces, (x + (-3))3
, que es igual a:
(x - 3)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1
¿Qué tiene de diferente este Ejemplo, respecto al Ejemplo 1?
Que algunos términos son negativos (x3 - 9x2 + 27x -
27). Esto pasa porque alguna de las bases
(como en este ejemplo), o ambas, son negativas. Recordemos que al elevar
un número negativo a la potencia tercera, el resultado es negativo. Por
ejemplo:
(-3)3 es igual a -27
Nuestro cubo era "-27", entonces nuestra base es
"-3". Luego, cuando verifiquemos los triple-productos, tenemos
que respetar a esa base como negativa al reemplazar:
En 3.a2.b tuvimos que reemplazar a "b" por
(-3), así: 3.x2.(-3). Y por eso nos dió -9x2, el otro
término negativo de nuestro polinomio. Sino, no nos hubiera dado el resultado
con el signo correcto. Es lo mismo que hacíamos en
Trinomio Cuadrado Perfecto cuando había un término negativo. Pero con la
diferencia que ahora, ya desde el "cubo", podemos ver que la
base es negativa. Porque a -27 le corresponde -3, y ningún otro.
Multiplicaciones:
En nuestro ejemplo hicimos:
3.x2.(-3)
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.(-3).x2
Lo que es igual a -9x2
Y el segundo triple-producto era:
3.x.(-3)2 ; que es igual a 3.x.9. Pero por la misma razón que en
el otro, es igual a 3.9.x, lo que dá 27x.
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (x - 3)3 es igual a
x3 - 9x2 + 27x - 27:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(x - 3)3 =
x3 + 3.x2.(-3)
+ 3.x.(-3)2 + (-3)3 =
x3 - 9x2
+ 27x - 27
- O usando el concepto de potencia:
(x - 3)3 = (x - 3).(x - 3).(x - 3) = (x2 - 3x - 3x +
9).(x - 3) = (x2 - 6x + 9).(x - 3) =
(x3 - 3x2 -6x2 + 18x + 9x -27) = (x3
- 9x2 + 27x - 27)
En la verificación precedente apliqué la Propiedad Distributiva: entre
los dos primeros factores en un principio, y luego entre el resultado y el
tercer factor.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 2:
a3 - 12a2
+ 48a - 64 = (a -
4)3
a
-4
3.a2.(-4) 3.a.(-4)2
-12a2
48a
x3 - 8 - 6x2
+ 12x = (x - 2)3
x -2
3.x2.(-2) 3.x.(-2)2
-6x2 12x
-1 + y3 - 3y2
+
3y = (-1 + y)3
-1 y
3.(-1).y2 3.(-1)2.y
-3y2 3y
15x2 + 125 +
75x - x3 = (5 - x)3
5
-x
3.5.(-x)2
3.52.(-x)
15x2
-75x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos
negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a
la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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