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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4
EJEMPLO 4: (Con
fracciones)
x3 +
3/2 x2 + 3/4 x + 1/8 = (x + 1/2)3
x
1/2
3.x2.
1/2 3.x.(1/2)2
3/2 x2
3/4 x
Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)3
es igual a 1/8.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle sobre lo que se hace en cada paso, consultar en las
explicaciones de los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2.
1) Los cubos aquí son x3
y 1/8. Porque, x3 es
evidentemente cubo de x. Y 1/8 es
cubo de 1/2, ya que (1/2)3 = 1/8 (¿por
qué?). Las "bases"
son entonces x y 1/2.
2) Determinadas ya las dos bases (x y 1/2), efectúo los dos "triple-productos":
3.x2.(1/2)
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 3/2 x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x.(1/2)2
("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 3/4 x (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer término (x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir,
en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(x + 1/2)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
¿Qué tiene de particular este ejemplo? ¿Cómo reconozco si una
fracción es "cubo"?
Algunos de los términos son fracciones. Y eso es porque alguna de las
bases es una fracción. Para que una fracción sea "cubo",
tienen que ser cubos tanto su numerador (el número de arriba) como su
denominador (el número de abajo). Por ejemplo:
27/8 es cubo, porque 27 es cubo (de 3), y 8 es cubo (de 2)
1/125 es cubo, porque 1 es cubo (de 1), y 125 es cubo (de 5)
-64/27 es cubo, porque -64 es cubo (de -4), y 27 es cubo (de 3)
etc.
Podemos asociar esto con el procedimiento que seguimos para elevar una
fracción al cubo (o a cualquier potencia). Solemos decir "elevo el
de arriba y elevo el de abajo". Así:
(2/5)3 = 23 / 53 =
8/125
Ahí se puede ver claramente, que si elevé al cubo "al de arriba" y
"al de abajo", los dos son ahora necesariamente cubos. Justamente
porque los elevé al cubo.
Lo que estamos haciendo en realidad, al elevar de esa manera, es usar la
Propiedad Distributiva entre la potencia y la división (o cociente).
Porque la fracción es una división. Y si le aplicamos una potencia,
podemos "distribuir" esa potencia.
En una potencia "chica", como la potencia tercera, podemos ver
la validez de esa propiedad, aplicando el concepto de potencia a un
ejemplo:
(2/5)3 = 2/5 . 2/5 . 2/5 = 2.2.2 / 5.5.5 = 23 / 53
Ya que en la multiplicación de fracciones, hay que multiplicar: "el
de arriba con el de arriba, y el de abajo con el de abajo". Y si
multiplico tres veces, estoy elevando a la tercera (concepto
de potencia).
Multiplicaciones en los "triple-productos":
En nuestro ejemplo hicimos:
3.x2.(1/2)
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.(1/2).x2
Lo que es igual a 3/2 x2
Y el segundo triple-producto era:
3.x.(1/2)2 ; que es igual a 3.x.(1/4) (¿por
qué?). Pero por la misma razón que en
el otro, es igual a 3.(1/4).x, lo que dá 3/4 x.
¿Cómo se "elevan" las fracciones?
"Elevo el de arriba y elevo el de abajo". Por ejemplo:
(5/2)3 es igual a 125/8. Porque "5 elevado a la tercera es
125, y 2 elevado a la tercera es 8"
(1/2)3 es igual a 1/8. Porque "1 elevado a la tercera dá
1, y 2 elevado a la tercera dá 8".
Lo que estamos haciendo es usar la Propiedad Distributiva entre la
potencia y la división, ya que una fracción es una división. En una
potencia "chica", como la potencia tercera, también podemos
hacerlo usando el concepto de potencia:
(5/2)3 es igual a 5/2 . 5/2 . 5/2, lo que es igual a 125/8
(1/3)3 es igual a 1/3 . 1/3 . 1/3, lo que es igual a 1/27
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (x + 1/2)3 es igual a
x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8
:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(x + 1/2)3 =
x3 + 3.x2.(1/2)
+ 3.x.(1/2)2 + (1/2)3 =
x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8
- O usando el concepto de potencia:
(x + 1/2)3 = (x + 1/2).(x + 1/2).(x + 1/2) =
(x2 +
1/2 x + 1/2 x + 1/4).(x + 1/2) =
(x2 + x + 1/4).(x + 1/2) =
(x3
+ 1/2 x2 + x2 + 1/2x + 1/4x + 1/8) =
x3
+ 3/2 x2 + 3/4x + 1/8
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:
a3
+ 4a2 +
48/9 a + 64/27 = (a
+ 4/3)3
a
4/3
3.a2.(4/3)
3.a.(4/3)2
4a2
48/9 a
x3 +
8/125 + 6x2
+ 12x = (x + 2/5)3
x
2/5
3.x2.(2/5)
3.x.(2/5)2
6/5 x2 12/25 x
1/343 + y3
+
3y2 +
3y = (1/7 + y)3
1/7
y
3.(1/7).y2 3.(1/7)2.y
3/7 y2 3/49 y
15x2
+ 125/8 +
75x + x3 = (5/2
+ x)3
5/2
x
3.(5/2).x2
3.(5/2)2.x
15/2 x2
75/4 x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a
la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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