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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7
EJEMPLO 7: (Con potencias distintas de 3)
x6
+
6x4 +
12x2
+
8 = (x3 +
2)3
x2 2
3.(x2)2.2 3.x2.22
6x4
12x2
Las bases son x2 y 2,
ya que (x2)3 es igual a x6.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle en la explicación y vocabulario, consultar en los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2.
1) Los cubos aquí son x6 y 8. Porque,
x6 es cubo de x2, ya que (x2)3 es igual a
x6
(potencia de potencia). Y
8 es el cubo de 2, ya que 23 es igual a 8. Las "bases"
son entonces x2
y 2.
2) Determinadas ya las dos bases (x2 y
2), efectúo los dos "triple-productos":
3.(x2)2.2
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 6x4 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x6 +
6x4 + 12x2 + 8).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.x2.22 ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 12x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer término (x6 + 6x4 +
12x2 + 8). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir,
en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(x2 + 2)3
O sea:
"La suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
Potencias distintas de 3:
No sólo son cubos las letras elevadas a la potencia 3 (a3, x3,
y3, etc.). También lo pueden
ser otras potencias, como 6, 9, 12,
15, y otros múltiplos de 3. Y eso es porque cualquiera de estas potencias
puede escribirse como potencia tercera, de la siguiente manera:
x6 es igual a (x2)3. Por eso, x6 es cubo de x2
x9 es igual a (x3)3.
Por eso, x3 es cubo de x3
x12 es igual a (x4)3. Por
eso, x12
es cubo de x4
x15 es igual a (x5)3. Por
eso, x15
es cubo de x5
Cualquier potencia que sea múltiplo de 3 puede separarse de esa manera,
debido a la propiedad POTENCIA DE
POTENCIA. Reconocemos entonces a una
potencia como cubo, si es una potencia múltiplo de 3 (¿a qué números tiene que
estar elevada una potencia para ser cubo?)
Multiplicaciones en los triple-productos:
3.(x2)2.2
es igual 3.x4.2 (potencia de
potencia)
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.2.x4 , lo que es igual a 6x4
3.x2.22 es igual 3.x2.4,
lo que es igual a 3.4.x2 , o sea 12x2
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (x2 + 2)3 es igual a
x6 + 6x4 + 12x2 + 8:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(x2 + 2)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.2
+ 3.x2.22 + 23 =
x6 +
3.x4.2
+ 3.x2.4 + 8 = x6 +
6x4
+ 12x2 + 8
- O usando el concepto de potencia:
(x2 + 2)3 = (x2 + 2).(x2 + 2).(x2
+ 2) =
(x4 + 2x2 + 2x2 + 4).(x + 2) =
(x4 + 4x2 + 4).(x2 + 2) =
(x6
+ 2x4 + 4x4 + 8x2
+ 4x2 + 8) =
x6
+ 6x4 + 12x2
+ 8
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:
27 + 27x3 +
9x6 + x9 =
(3
+ x3)3
3
x3
3.32.x3 3.3.(x3)2
27x3
9x6
y12 +
125 + 15y8
+ 75y4 = (y4 +
5)3
y4 5
3.(y4)2.5 3.y4.52
3.y8.5
75y4
15y8
343 + a6y3
+ 21a4y2 + 63a2y = (7 +
a2y)3
7 a2y
3.7.(a2y)2
3.72.a2y
21a4y2
147a2y
3/4 ax10
+ a3 + 3/2 a2x5 +
1/8 x15 = (a
+ 1/2 x5)3
a
1/2 x5
3.a.(1/2 x5)2
3.a2.
1/2 x5 3.a. 1/4 x10 3/2
a2x5
3/4 ax10
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6
(Con varias letras)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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