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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7


EJEMPLO 7: (Con potencias distintas de 3)


x6  +   6x4  +   12x2   +  8 = (x3 + 2)3

x2                               2
     3.(x2)2.2  3.x2.22
         6x4        12x2

Las bases son x2 y 2, ya que (x2)3 es igual a x6.



EXPLICACIÓN:

Para más detalle en la explicación y vocabulario, consultar en los EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2.

1) Los cubos aquí son x6 y 8. Porque, x6 es cubo de x2, ya que (x2)3 es igual a x6 (potencia de potencia). Y 8 es el cubo de 2, ya que 23 es igual a 8. Las "bases" son entonces x2 y 2.


2) Determinadas ya las dos bases (x2 y 2), efectúo los dos "triple-productos":

3.(x2)2.2     ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 6x4 (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x6 + 6x4 + 12x2 + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.x2.22      ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2) 

Lo que dá como resultado 12x2 (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x6 + 6x4 + 12x2 + 8). "Dió bien".

Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces:

(x2 + 2)3 

O sea: "La suma de las bases, elevada a la potencia tercera".



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar también en el EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2


Potencias distintas de 3:

No sólo son cubos las letras elevadas a la potencia 3 (a3, x3, y3, etc.). También lo pueden ser otras potencias, como 6, 9, 12, 15, y otros múltiplos de 3. Y eso es porque cualquiera de estas potencias puede escribirse como potencia tercera, de la siguiente manera:

x6   es igual a (x2)3.  Por eso,  x6 es cubo de x2

x9   es igual a (x3)3.  Por eso, x3 es cubo de x3

x12  es igual a (x4)3.  Por eso, x12 es cubo de x4

x15  es igual a (x5)3.  Por eso, x15 es cubo de x5

Cualquier potencia que sea múltiplo de 3 puede separarse de esa manera, debido a la propiedad POTENCIA DE POTENCIA. Reconocemos entonces a una potencia como cubo, si es una potencia múltiplo de 3 (¿a qué números tiene que estar elevada una potencia para ser cubo?)


Multiplicaciones en los triple-productos:

3.(x2)2.2  es igual 3.x4.2   (potencia de potencia

Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores (Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:

3.2.x4 , lo que es igual a 6x4

3.x2.22  es igual 3.x2.4, lo que es igual a 3.4.x2 , o sea 12x2


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que de verdad (x2 + 2)3 es igual a x6 + 6x4 + 12x2 + 8:

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

(x2 + 2)3 = (x2)3  + 3.(x2)2.2  +  3.x2.22 +  23 =
x6  + 3.x4.2  +  3.x2.4 +  8 = x6  + 6x4  +  12x2 +  8

- O usando el concepto de potencia:

(x2 + 2)3 = (x2 + 2).(x2 + 2).(x2 + 2) =
(x4 + 2x2 + 2x2 + 4).(x + 2) =
(x4 + 4x2 + 4).(x2 + 2) =
(x6 + 2x4 + 4x4 + 8x2 + 4x2 + 8) =
x6 + 6x4 + 12x2 + 8


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:


27   +   27x3     +    9x6     +     x9  =  (3 + x3)3

 3                                          x3
          3.32.x3      3.3.(x3)2
           27x3           9x6



y12   +   125   +   15y8    +    75y4    =    (y4 + 5)3

 y4          5
                       3.(y4)2.5     3.y4.52
                        3.y8.5          75y4
                         15y8             



343   +   a6y3     +  21a4y2   +   63a2y    =    (7 + a2y)3

 7         a2y
                         3.7.(a2y)2     3.72.a2y
                           21a4y2        147a2y



3/4 ax10     +    a3    +   3/2 a2x5   +    1/8 x15   =   (a + 1/2 x5)3

                      a                               1/2 x5
3.a.(1/2 x5)2               3.a2. 1/2 x5
3.a. 1/4 x10                  3/2 a2x5
 3/4 ax10



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son cubos". O "con raíces")



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