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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9
EJEMPLO 9: ("Con cubos que no son cubos". O "con
raíces")
5x3 + 6
x2
+ 12
x
+ 8 = (
x + 2)3
x 2
3.(
x)2.2
3.
x.22
3.
.x2.2
12
x
6
x2
El 5 no es cubo de ningún número racional,
pero hay que tomarlo como cubo si se quiere factorizar este polinomio. Se
puede hacer esto porque 5 en realidad sí es cubo de algo, es cubo de un
número irracional: .
Ya que ()3
= 5.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle en la explicación
y vocabulario, consultar en los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
1) Los cubos aquí son 5x3 y 2. No queda otro remedio que
intentar con a 5x3, ya que los otros términos tienen potencias
que no pueden ser cubos de ninguna manera (potencias
que pueden ser cubos). Las "bases"
son entonces
x y 2.
2) Determinadas ya las dos bases (
x
y 2.), efectúo los dos "triple-productos":
3.(
x)2.2
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base")
Lo que dá como resultado: 6
x2. Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (5x3 + 6
x2 + 12
x + 8).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.
x.22 ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado")
Lo que dá como resultado 12
x. Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer término (5x3 +
6
x2 + 12
x
+ 8). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir,
en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(
x + 2)3
O sea:
"La suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Por qué tomé como base a
x ? ¿Por qué 5 es cubo de
?
De los 4 términos que tiene el polinomio, el 8 es evidentemente uno de los cubos, y el
otro que me pareció más parecido a un cubo fue 5x3. Los otros
dos términos tienen la x a potencias que no pueden ser cubos, y esas raíces... No parece
posible verlos como "cubos". En cambio 5x3 sí podría ser
un cubo, si 5 fuera cubo de algo. Pero resulta que
elevado a la potencia tercera es igual a 5. Recordemos que raíz tercera con
potencia tercera se pueden simplificar, entonces:
()3 es
igual a 5, ya que se cancela la raíz cúbica con la potencia tercera.
Si "algo" elevado al cubo dá como resultado 5, puedo decir que 5 es
"cubo". Eso lo podría hacer con cualquier número o letras,
por ejemplo, podría decir que 7 es el cubo de .
Es decir que hay un manera de ver a 5x3 como si fuera un cubo, y es
tomando como base a
x.
Eligiendo de esa manera, se pudieron verificar los dos triple productos con esas
bases, y comprobar que el polinomio era efectivamente un cuatrinomio cubo
perfecto, proveniente de las suma de esas bases elevada al cubo.
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que (
x + 2)3 es igual a
5x3 + 6
x2
+ 12
x + 8 =
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(
x + 2)3 = (
x)3 + 3.(
x)2.2
+ 3.(
x).22 +
23 =
5x3 +
6
x2
+
12
x + 8
- O usando el concepto de potencia:
(
x + 2)3 = (
x + 2).(
x + 2).(
x + 2) =
(
x2 + 2
x + 2
x + 4).(
x + 2) =
(
x2 + 4
x +
4).(
x + 2) =
(5x3 + 2
x2
+ 4 x2 +
8
x + 4
x + 8)
=
5x3 + 6
x2 + 12
x + 8 =
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 9:
3a3 + 3.
a2b2 + 3.a.b4 + b6 =
(a
+ b2)3
a
b2
3.(a)2.b2
3.a.(b2)2
3.
a2b2 3.a.b4
y12 - 7x3 -
3 y8.x
+
3
y4x2
= (y4 -
x)3
y4 -x
3.(y4)2.(-x)
3.y4.(-x)2
-3y8x
3y4x2
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6
(Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Un ejemplo "con todo")
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