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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9



EJEMPLO 9:  ("Con cubos que no son cubos". O "con raíces")


5x3    +   6 x2     +    12 x    +    8 =  ( x + 2)3

x                                               2
          3.( x)2.2        3. x.22
          3. .x2.2          12 x
            6 x2

El 5 no es cubo de ningún número racional, pero hay que tomarlo como cubo si se quiere factorizar este polinomio. Se puede hacer esto porque 5 en realidad sí es cubo de algo, es cubo de un número irracional: . Ya que ()3 = 5.



EXPLICACIÓN:

Para más detalle en la explicación y vocabulario, consultar en los EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2


1) Los cubos aquí son 5x3 y 2. No queda otro remedio que intentar con a 5x3, ya que los otros términos tienen potencias que no pueden ser cubos de ninguna manera (potencias que pueden ser cubos).  Las "bases" son entonces x y 2.


2) Determinadas ya las dos bases ( x y 2.), efectúo los dos "triple-productos":

3.( x)2.2     ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base")

Lo que dá como resultado: 6 x2. Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (5x3 + 6 x2 + 12 x + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3. x.22      ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado")

Lo que dá como resultado 12 x. Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (5x3  +  6 x2  + 12 x  +  8). "Dió bien".


Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces:

( x + 2)3 

O sea: "La suma de las bases, elevada a la potencia tercera".



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué tomé como base a x ? ¿Por qué 5 es cubo de ?

De los 4 términos que tiene el polinomio, el 8 es evidentemente uno de los cubos, y el otro que me pareció más parecido a un cubo fue 5x3. Los otros dos términos tienen la x a potencias que no pueden ser cubos, y esas raíces... No parece posible verlos como "cubos". En cambio 5x3 sí podría ser un cubo, si 5 fuera cubo de algo. Pero resulta que elevado a la potencia tercera es igual a 5. Recordemos que raíz tercera con potencia tercera se pueden simplificar, entonces:

()3 es igual a 5, ya que se cancela la raíz cúbica con la potencia tercera.

Si "algo" elevado al cubo dá como resultado 5, puedo decir que 5 es "cubo". Eso lo podría hacer con cualquier número o letras, por ejemplo, podría decir que 7 es el cubo de .
Es decir que hay un manera de ver a 5x3 como si fuera un cubo, y es tomando como base a x.
Eligiendo de esa manera, se pudieron verificar los dos triple productos con esas bases, y comprobar que el polinomio era efectivamente un cuatrinomio cubo perfecto, proveniente de las suma de esas bases elevada al cubo.


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que ( x + 2)3 es igual a 5x3 + 6 x2 + 12 x + 8 =  

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

( x + 2)3 = ( x)3  + 3.( x)2.2  +  3.( x).22 +  23 = 5x3  + 6 x2  + 12 x +  8

- O usando el concepto de potencia:

( x + 2)3 = ( x + 2).( x + 2).( x + 2) =
( x2 + 2 x + 2 x + 4).( x + 2) =
( x2 + 4 x + 4).( x + 2) =
(5x3 + 2 x2 + 4 x2 + 8 x + 4 x + 8) =
5x3 + 6 x2 + 12 x + 8 =


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 9:


3a3   +   3. a2b2    +    3.a.b4     +    b6 (a + b2)3

 a                                                      b2
            3.(a)2.b2       3.a.(b2)2
            3. a2b2         3.a.b4



y12   -  7x3     -     3 y8.x      +       3 y4x2       =     (y4 - x)3

y4       -x
                        3.(y4)2.(-x)       3.y4.(-x)2
                          -3y8x              3y4x2




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Un ejemplo "con todo")



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