DIFERENCIA DE CUADRADOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x⁶ - 4 = (x³ + 2).(x³ - 2)

x³   2

x⁶ es también un cuadrado, es el cuadrado de x³. Ya que (x³)² es igual a x⁶

EXPLICACIÓN:


1) Las bases son: x³ y 2. Ya que (x³)² es igual a x⁶. (Potencia de Potencia)
(¿qué son las bases?)

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x³ + 2).(x³ - 2)         SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS - DIFERENCIA DE CUADRADOS


¿Cómo reconozco si una potencia distinta de 2 es un cuadrado?

Para que una potencia sea "cuadrado", el exponente tiene que ser un número par (2, 4, 6, 8, 10, etc.). (¿qué es el exponente?) Por ejemplo, son cuadrado las siguientes potencias distintas de 2:

x⁴       porque es igual a (x²)², o sea: es cuadrado de x²      (Potencia de Potencia)

x⁶       porque es igual a (x³)², o sea: es cuadrado de x³

x⁸       porque es igual a (x⁴)², o sea: es cuadrado de x⁴

x¹⁰     porque es igual a (x⁵)², o sea: es cuadrado de x⁵

etc.

Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes. Por ejemplo: (x³)² es igual a x^3.2, lo que es igual a x⁶. Multipliqué los exponentes ("dos por tres"), usando una propiedad a la que llaman Potencia de Potencia. Entonces, por la misma razón, puedo hacer lo contrario: Si tengo una potencia como x⁶, puedo dividir el 6 por 2 (que dá 3), y así concluir que x⁶ es igual a (x³)².
Así, pude expresar a x⁶ como un cuadrado: como x³ al cuadrado. Esto lo puedo hacer siempre que la potencia sea un número par. Porque solamente a los números pares los puedo dividir por 2 y que me dé un número natural ("sin coma"). Por eso, sólo a las potencias pares las puedo ver como cuadrados para este tema. 
Si tratara de hacerlo con un exponente impar, me quedaría un exponente que no es un número natural. Por ejemplo: x⁵ es igual a (x^2,5)². Es verdad que pude escribir al x⁵ como cuadrado, pero es cuadrado de una potencia con exponente decimal o fraccionario (2,5 o 5/2). Eso no sirve para este tema, porque los polinomios deben tener sus potencias con exponentes naturales (0, 1, 2, 3, 4, etc.), por definición.

Más información sobre esto en: POTENCIAS QUE SON CUADRADOS


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:  (¿Cómo se hacen estas "Distributivas"?)

(x³ + 2).(x³ - 2) = x⁶ - 2x³ + 2x³ - 4 = x⁶ - 4


Otros ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 5:

y⁴ - 1/4 = (y² + 1/2).(y² - 1/2)

y²     1/2


81/16 - a¹⁰ = (9/4 + a⁵).(9/4 - a⁵)

9/4       a⁵


x⁸ - 9/100 = (x⁴ + 3/10).(x⁴ - 3/10)

x     3/10




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Fácil)
EJEMPLO 2 (Con dos letras)
EJEMPLO 3 (Con el número "1")
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 6 (Con términos "compuestos")
EJEMPLO 7 (Con números decimales)
EJEMPLO 8 (Con la resta "al revés")
EJEMPLO 9 (Uno "con todo")
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)

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