Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

Página Principal - Temario | Factoreo | Todos los Ejemplos | Respuestas

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)


8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. 

EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis (¿por qué el 4?). A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:  

8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d                  ( ¿Cómo se hacen estas divisiones? )


De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".


Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.  (¿Por qué?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué el número 4?

Los números 8, 4, 16 y 12, son divisibles 4. Como en todos los términos hay números divisibles por 4, se dice que "hay factor común 4". (¿Qué significa "divisible"?). Es decir que el número 4 está multiplicando en todos los términos, porque veamos:

 8 es igual a 4 x 2
 4 es igual a 4 x 1
16 es igual a 4 x 4
12 es igual a 4 x 3

Como el número 4 está multiplicando en todos los términos, es un "factor común".
(¿Qué es "factor" y  por qué "común"?)

Ahora, no sólo son divisibles por 4, sino también por 2, y hasta por 1. Pero tenemos que sacar el mayor número posible que divida a todos los términos, y ese número es el 4. Es el llamado Máximo Común Divisor (M.C.D o D.C.M). (¿Por qué tiene que ser el mayor número posible?)
Si no podemos darnos cuenta intuitivamente de cuál es ese número, entonces podemos usar la regla del D.C.M para calcularlo. (¿Cómo se calcula el D.C.M o M.C.D?). Es decir que el "factor común" que nos piden sacar entre varios números es su Máximo Común Divisor.


Un ejemplo donde no haya factor común entre los números:

3a²b + 5ac + 7a³d =

Aquí no hay un número que sea factor común, ya que 3, 5 y 7 no tienen ningún divisor en común, es decir, no son divisibles por ningún otro número que no sea el 1 (y el 1 no se tiene en cuenta como factor común, pues dividir por 1 no cambia nada).


Cómo se hacen las divisiones de los términos (división de monomios)

Números con números y letra con letra igual, pues se trata de una división de monomios.
(¿qué es un monomio?)

Ejemplos de divisiones entre monomios:

8a : 4 = 2a       Divido número con número y letra con letra igual. En este caso sólo se puede dividir el 8 con el 4, porque no hay otra letra "a".


7a⁵ : a² = 7a³    En este caso sólo se puede dividir la letra "a", restando los exponentes, por la propiedad de las potencias de igual base. a⁵ : a² = a^{5 - 2} = a³  
(división de potencias de igual base)


-6a⁷ : 3a² = -2a⁵   Divido el 6 : 3 y dá 2. Divido a⁷ : a² y dá a⁵ . El resultado es negativo porque "menos por más = menos". (Regla de los signos para multiplicación y división)


2a⁶ : 2a = a⁵    En este caso tenemos 2a, que significa 2a¹, ya que el exponente "1" no se pone. Y 2 dividido 2, que dá 1. Tampoco se pone el número 1 multiplicando (a menos que sea lo único que queda del término)

3a² : 3a² = 1   En este caso sí ponemos el 1.

(Divisiones como estas explicadas con más detalle: EJEMPLO 2 , EJEMPLO 3 , EJEMPLO 4, etc)


¿Por qué si saco factor común positivo todos los términos quedan con el mismo signo que ya traían?

Se puede comprobar fácilmente por la regla de los signos. En los siguientes ejemplos, donde divido por el número positivo "+4", se ve con claridad:

+12 : +4 = +3  Porque "más por más = más". El resultado tiene el mismo signo que el 12.
-20 : +4 = -5   Porque "menos por más = menos". El resultado tiene el mismo signo que el 20. (Ver también SIGNOS)


¿Cómo puedo verificar si saqué bien el factor común?

"Haciendo la distributiva" en el resultado (Es decir: "Aplicando la Propiedad distributiva del producto respecto de la suma y la resta"). Me tiene que dar como resultado el polinomio original.

Verificación para el Ejemplo 1 explicado en esta página:

En el polinomio ya factorizado 4. (2a - b + 4c + 3d) "hago la distributiva" con el 4:

4 x 2a = 8a
4 x (-b) = -4b
4 x 4c = 16c
4 x 3d = 12d

Es decir que el resultado de aplicar la distributiva dá:

8a - 4b + 16c + 12d

Que son los 4 términos que tenía en el polinomio original, con los signos correctos, entonces está bien factorizado: las dos expresiones son equivalentes.


¿Qué significa "divisible"?

Se dice que un número natural es divisible por otro número natural si el resto de la división es "0". Es decir, es una "división exacta".

Por ejemplo, 48 es divisible por 4, porque el resto de dividir a 48 por 4 es "0":

48 |__4__
08   12
 0
 /

También se dice que "48 es múltiplo de 4". O que "4 es divisor de 48".


¿Qué es "factor" y por qué "común"?

"Factores" se les llaman a los números que están multiplicando. Por ejemplo, en la multiplicación 7 x 2 = 14  los "factores" son el 7 y el 2.

Y por "común" quiere decir que lo tienen todos los términos. Es algo "común" a todos.

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2". Porque en todos los términos está multiplicando el número 2.

En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a". Porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Entre los números 8, 4, 16 y 12 está el factor común 4. Porque:

 8 = 4 x 2
 4 = 4 x 1
16 = 4 x 4
12 = 4 x 3


¿Qué es un "monomio"?

Podríamos decir que es un "polinomio de un solo término" ("mono" = uno).  Ejemplos de monomios:

2x³
-3x
1/2 x⁷
x
-x⁴


Regla de los signos para la multiplicación y la división:

" más por más = más "
" menos por menos = más "
" más por menos = menos "
" menos por más = menos "

Para recordarla podemos pensar así: "Cuando los dos signos son iguales, dá positivo. Cuando los dos signos son diferentes entre sí, dá negativo."

Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1: