CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Por qué el factor común es x2?
Porque en todos los términos está multipicando la letra x, y el menor
exponente con que aparece es 2. Entonces, hay factor común "x a la dos". Como no
hay otra letra, y entre los números no hay divisor común, el único factor común
es x2.
¿Pero por qué hay que sacar la letra "a la menor potencia"?
Si quieren entender más a fondo ese asunto, vean esto:
X2 =
X . X
X3 =
X . X
. X
X5 =
X . X . X . X . X
X4 =
X . X . X . X
X8 =
X . X . X . X . X . X . X . X
¿Qué es lo que se repite en todas las potencias de nuestro ejemplo? Solamente X.X, es decir X2,
la menor de esas potencias. La menor potencia es el "factor común" entre ellas.
La menor potencia está "incluida" en las otras, es lo que tienen en común. Todas
esas potencias se pueden dividir por la menor, que es X2. En este
caso no hablamos de "divisible" como en los números, sino que se puedan restar
los exponentes y el exponente resultado sea un número positivo o "0".
A ver, dividamos:
X2 : X2 = X2-2 = X 0 = 1
(Propiedad de las potencias de igual
base)
X3 : X2 = X3-2 = X1
X5 : X2 = X5-2 = X3
X4 : X2 = X4-2 = X2
X8 : X2 = X8-2 = X6
Todas las potencias mayores o iguales que 2 se pueden dividir por X2 de
manera que el resultado dé con potencia positiva o "0".
Si en cambio quisiéramos sacar como factor común una potencia más grande, X8 por ejemplo,
obtendríamos potencias negativas al dividir en la mayoría de los casos. Por
ejemplo:
X2 : X8 = X2-8 = X-6
X3 : X8 = X3-8 = X-5
Y un polinomio no puede tener potencias negativas, por definición. Entonces no
podríamos dividir así para sacar factor común, porque el resultado no es un
polinomio. Una potencia que es mayor a otra no está "incluida" en la que es
menor, no puede ser factor común, porque no es ni siquiera "factor". Veamos en
el ejemplo anterior, como X2 sí es factor en todas las otras
potencias:
X2 =
X . X
= X2
X3 =
X . X
. X =
X2. X
X5 =
X . X . X . X . X
=
X2. X3
X4 =
X . X . X . X
= X2 . X2
X8 =
X . X. X . X . X . X . X . X
= X2 . X6
Cómo se puede ver arriba, X2 está multiplicando en todos los
casos. Es
entonces "factor". Y es "común" a todos.
EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES
Las divisiones que hicimos al sacar factor común x2 , son divisiones
entre monomios. En ellas, dividimos "el número por el número, y letra por letra
igual".
Primer término: 7x2 : x2 = 7
(Un caso particular)
Lo que hice es:
" 7 dividido 1 = 7
" (¿por
qué divido por 1?) "Por el lado de los números"
" x2 dividido x2 = x2-2 = x0 =
1 " (¿por
qué?) "Por
el lado de las letras"
(Se restan los exponentes, por la
propiedad de las potencias de igual base)
El resultado final para el primer
término es 7.1 , que es igual a
7
Este fue un "caso particular", porque nos faltaba
un número (el "1"), y porque la x estaba al cuadrado las dos veces.
Segundo término:
11x3 : x2 = 11x
" 11 dividido 1 dá 11
" (¿de
dónde salió el "1"?)
"x3 dividido x2 dá x1 ó
x
" ("x a la 1" es igual a x, por eso ya no puse el 1)
(¿por qué?)
El resultado para el segundo término es
11.x
Tercer término:
-4x5 : x2 = -4x3
" -4 dividido 1 dá -4 "
" x5 dividido x2 dá x3
"
El resultado para el tercer término es entonces -4.x3
Cuarto término:
3x4 : x2 = 3x2
" 3 dividido 1 dá 3 "
" x4 dividido x2 dá x2 "
El resultado para el cuarto término es 3.x2
Quinto término:
- x8 : x2 = - x6
" - x8 dividido x2 dá - x6
"
El resultado para el quinto término es -x6
¿Por qué hice "7 dividido 1"? ¿Dé dónde salió ese 1"?
Al no tener ningún número multiplicando adelante, consideramos que x2 tiene
un "1" delante. Porque el número "1" es el neutro de la multiplicación, y 1.x2 =
x2. Eso seguramente lo habrán hecho en otras situaciones y les
resultará familiar. Aquí estamos obligados a hacerlo si necesitamos pensar que
dividimos "número por
número". Lo mismo vale para las divisiones de los otros términos.
¿Por qué x2 : x2 = 1?
El resultado de dividir un número (o letra o expresión) por sí mismo,
siempre es "1". Así que directamente se puede poner "1" como resultado, sin
necesidad de restar los exponentes. Pero, de todos modos, si restamos los
exponentes, vemos que dá 2 - 2 = 0. El resultado es x0. Y "cualquier
cosa elevada a la 0, dá 1".
Propiedades de las potencias de igual base
Lo que estamos usando aquí para dividir las letras, es una de las Propiedades de
las potencias del igual base: la de la división. ¿Las recordamos?:
Con ejemplos:
a5.a3 = a8 porque 5 + 3 = 8
Para multiplicar, los exponentes se suman
a7:a4 = a3 porque 7 - 4 = 3
Para dividir, los exponentes se restan
En general sería:
an . am = an + m
an : am = an - m
¿Cómo podrías convencerme de que esas propiedades son válidas?
Te voy a mostrar por qué
a5.a3 = a8
a5 = a.a.a.a.a
Por definición de lo que es una "potencia" (¿qué
es una "potencia"?)
a3 = a.a.a
Por la misma razón
Entonces, resulta que,
a5.a3 =
a.a.a.a.a. a.a.a = a8
Ya que tengo la "a" multiplicada por sí misma 8 veces.
Un poco más difícil será convencerte de que a7 : a4 = 3,
pero usemos la simplificación de fracciones, que es algo que habitualmente
hacemos:
En vez de a7 : a4 , podemos poner la división en forma de
fracción:
a7 / a4 = a.a.a.a.a.a.a / a.a.a.a
Ahora recordemos que si en una fracción yo tenía un mismo número multiplicando
"arriba" y "abajo", podía "tachar uno con uno", es decir "simplificar". Si
tachamos "una con una" cada "a" de arriba con cada "a" de abajo, sólo nos
quedarán tres "a" arriba y ninguna "a" abajo. O sea, nos queda a3.
Así:
a7 / a4 = a.a.a.a.a.a.a / a.a.a.a
Resultado: a.a.a = a3
¿Qué es una "potencia"?
Como operación, elevar un número o letra a una cierta "potencia", significa
multiplicarlo por sí mismo tantas veces como el "potencia" indique. Por ejemplo:
24 = 2.2.2.2 = 16
En realidad, el númerito ese que va arriba se llama "exponente". Y al que va abajo, se le
llama "base". En x5 , el exponente es 5 y la base es
x.
Cuando trabajamos con letras o números que llevan exponente, solemos usar la
palabra "potencia" para nombrar a los números o letras que están elevados. Por
ejemplo:
Para x5 , decimos que la x "está a la potencia quinta", o
directamente que "es una potencia quinta".
Para 27 , decimos que el 2 "está a la potencia séptima", o que "es una
potencia séptima".
El significado de tener un número o letra elevado a cierta una potencia, es que la base se multiplica por sí misma tantas
veces como "lo dice" el exponente. Por ejemplo:
27 representa a 2.2.2.2.2.2.2
Es decir, el número 2 (la base) multiplicado por sí mismo 7 veces (el
expontente).
x5 significa x.x.x.x.x
Es decir, la letra x, multiplicada por sí misma 5 veces.
Aclaración: En todo lo anterior
nos estamos refiriendo a potencias cuyo exponente es un número natural (1, 2, 3,
etc.).
¿Por qué x0 = 1?
Cualquier número elevado a la potencia "0", dá 1, por definición. Lo mismo para
las letras, ya que representan a números.
¿Por qué x1 = x? Y también: ¿Por qué "no le ponen el 1"
cuando la potencia es 1?
Cualquier número elevado a la potencia "1", dá el mismo número. Por ejemplo:
31 = 3
Porque "elevar" significa multiplicar el número por sí mismo la cantidad de veces que
indica el exponente. Si el exponente es "1", el 3 tiene que estar una sola vez.
No lo multiplico por nada, entonces dá 3. (¿que
es una potencia?)
Como las letras representan a números, lo mismo vale para las letras. Entonces,
cualquier letra elevada "a la uno", puedo decir que dá la misma letra, sin elevar.
Por eso, se puede no poner el "1" como exponente, porque x1
y "x" son cosas equivalentes. O cuando no hay exponente, podemos interpretar que
hay un "1".
Para "ahorrar símbolos", se pone sin el uno,
así como en la raíz cuadrada no se pone el índice 2, etc. Pero si necesitamos el
exponente, debemos recordar que "si no hay nada, hay un uno".
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 2:
3x4 - 2x5 - 7x3 - x7 = x3.(3x
- 2x2 - 7 - x4)
7a4b - 2ac - a3 = a.(7a3b - 2c - a2)
-x3 + x5 + 2x7a + bx4 = x3.(-1
+ x2 + 2x4 + bx)
a5b2c3 + 5a2 - ad = a.(a4b2c3
+ 5a - d)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)
AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 8 (El Factor Común es una expresión)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)
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