FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 8: (El Factor Común es una expresión de dos términos)


(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x² = (x + 1). (3 - 5x + x²)


(x + 1) está multiplicando en todos los términos. Es factor común.

EXPLICACIÓN:


Miremos el polinomio:

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x² =

Se puede ver que la expresión de dos términos, "(x + 1)", está multiplicando en todos los términos. Entonces, puedo decir que (x + 1) es un factor común, ya que es un "factor" y "está en todos los términos".
(¿qué es "factor común"?).


1) Tal como si fuera una letra o un número solo, saco como factor común a la expresión (x + 1), y tengo que hacerlo "con el menor exponente con que aparece". El menor exponente o potencia con que aparece en este polinomio es a la potencia 1 (¿por qué?) (¿por qué "con el menor exponente con que aparece"?)


2) Luego, divido cada término por (x + 1):

Primer término:

(x + 1).3 dividido (x + 1), dá como resultado: 3    (no entiendo estas divisiones)

Segundo término:

-5x. (x + 1) dividido (x + 1), dá como resultado: -5x

Tercer término:

(x + 1).x² dividido (x + 1), dá como resultado: x²

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS



EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES

Este tipo de divisiones quizás no estamos acostumbrados a hacerlas. Pero una "forma práctica" de pensarlas sería de esta manera:

Primer término:

" Si  a (x + 1).3  le "saco" el (x + 1), ¿qué me queda?: el 3 "

Segundo término:

" Si a -5x. (x + 1) le saco un (x + 1), ¿qué me queda?: el -5x "

Tercer término:

"Si a (x + 1).x² le saco (x + 1), ¿qué me queda?: la x²

(Más ejemplos de esta regla práctica, así comparo)

Ésa es una manera rápída de aprenderlo, pero para saber bien qué estamos haciendo tendríamos que preguntarnos "¿"Le saco"? ¿qué "le saco"? ¿No es una división? ¿Por qué me sirve pensar que "le saco", si no es una resta?" De eso daré una explicación sólo para interesados:


El fundamento de estas divisiones

"(x + 1).3  dividido  (x + 1)" no es otra cosa que una división de polinomios. Y si han visto operaciones con polinomios, sabrán cómo se dividen. Incluso para este caso sirve la Regla de Ruffini. Pero antes tendríamos que hacer la distributiva con el 3, y el dividendo nos quedaría así: 3x + 3 (¿qué es el dividendo?). La división sería entonces (3x + 3) dividido (x + 1). Y con el método que quieran (Ruffini o la división común de polinomios) llegaríamos a que el resultado es 3, y el resto es 0. Pueden hacerlo en todos los términos si quieren comprobarlo. Sin embargo  no es lo más práctico aplicar esa división en estos casos.

Pero hay otra forma de ver una división entre polinomios, (y ese tema nos lo enseñan después de todos los casos de factoreo), que consiste en "simplificar fracciones polinómicas", ya que una fracción es una división (¿por qué?). Dentro de ese contexto, nuestra división se vería así:

(x + 1).3 / (x + 1)

Ahora, sabemos también que una fracción se puede simplicar algo que esté multiplicando tanto arriba como abajo (¿por qué?). Y en nuestro caso, tenemos a (x + 1) multiplicando arriba y abajo. Entonces puedo simplificar el (x + 1) de arriba con el de abajo, y sólo me queda el 3 de arriba.
Eso es lo que hago en mi "regla práctica" cuando digo "le saco (x + 1)". Lo que estoy haciendo es "tachar mentalmente" uno de arriba con uno de abajo, y así al dividendo "le saco"  un x + 1, porque se me está tachando con el de abajo:

(x + 1).3 / (x + 1)

El resultado es 1.3 / 1 , es decir 3.

Aquí hay que hacer una aclaración: Esto de simplificar lo que está multiplicando arriba y abajo sólo vale cuando lo que simplificamos es desigual a "0", ya que estamos usando una propiedad que así lo exige (para el "0" la propiedad no se cumple). Pero resulta que cuando aplicamos el caso factor común estamos sobreentendiendo que el factor común es desigual a "0", porque sino no tendría mucho sentido sacar factor común (todo el polinomio sería igual a 0).

Ahora probemos cómo se vería el segundo término: -5x. (x + 1) dividido (x + 1)

 -5x. (x + 1) / (x + 1)

Tacho uno con uno y me queda solamente el -5x:

-5x. (x + 1) / (x + 1)

Por eso es que en la explicación de las divisiones decía:

" a -5x. (x + 1) le saco (x + 1), me queda el -5x "

Eso de "sacar" era por esta simplificación. Y además esto está asociado a la Propiedad de las potencias de igual base, ya que en la división "se restan los exponentes". Y restar es "sacar". (Propiedades de las potencias de igual base)


¿Por qué la menor potencia con que aparece (x + 1) es "1"?¿ Y por qué digo que
(x + 1) está a la potencia 1?

En ese polinomio, el factor (x + 1) aparece en todos los términos.  Puede parecer que "no está elevado a ninguna potencia", pero puedo decir que está elevado a la potencia 1. ¿Por qué?:

(x + 1)¹ es igual a (x + 1), por lo que significa elevar a la potencia 1 (¿qué es una potencia?). Entonces, puedo decir que (x + 1) es igual a (x + 1)¹ cuando me conviene verlo así. Si dos cosas son iguales, son iguales en cualquier orden: Si a = b entonces b = a (Propiedad simétrica de la igualdad).
Por esa razón, si algo no está elevado a ninguna potencia, puedo decir que está elevado a la potencia 1, ya que elevar a la 1 equivale a "no hacerle nada".

Como en este ejemplo, en todos los términos está (x + 1), la menor potencia con que aparece es entonces la "potencia 1". Si hubiera en algún término un (x + 1)² por ejemplo, también sería "1" la menor potencia. En el siguiente ejemplo:

2x.(x + 1)³ + 4.(x + 1)⁸ - x.(x + 1)⁵

habría que sacar como factor común a (x + 1)³. Porque es "3" la menor potencia a la que aparece (x + 1). Quedaría así:


(x + 1)³.[2x + 4.(x + 1)⁵ - x.(x + 1)²]


Más ejemplos de división con la regla práctica:

-2.(x + 1)⁴ dividido (x + 1)  dá  -2.(x + 1)³     (si a 4 le saco 1, quedan 3)
3x.(x + 1)⁷ dividido (x + 1)  dá  3x.(x + 1)⁶     (si a 7 le quito 1, quedan 6)
-4x.(x + 1)⁷ dividido (x + 1)²  dá  -4x.(x + 1)⁵ (si a 7 le quito 2, quedan 5)


¿Qué es el "dividendo"?

Es el número o la expresión al que estoy dividiendo por el otro. Por ejemplo, en la división 20 : 4 = 5 , el dividendo es el número 20.
En todas las operaciones (creo) hay un nombre para cada elemento que la forma. En el caso de la división tenemos: el dividendo (número al que se divide), el divisor (número por el cuál se divide, el 4 en nuestro ejemplo), el cociente (resultado de la división, el 5 en nuestro ejemplo), y el resto (lo que sobra. En nuestro ejemplo es "0", porque es una división exacta).
En 3.(x + 1) dividido (x + 1), el dividendo es 3.(x + 1), porque es la expresión a la que estoy dividiendo.


¿Por qué digo que la fracción es una división?

Es que una fracción expresa una división sin resolver. Los números fraccionarios expresan divisiones que no dan un resultado exacto en el conjunto de los números enteros (¿división exacta?  ¿números enteros?).

Por ejemplo, 3 dividido 2 es una división que no dá un resultado exacto en el conjunto de los números enteros. Si hacemos esa cuenta con la calculadora, veremos que dá 1,5, que no es un número entero, sino un número decimal. La fracción 3/2 representa al número decimal 1,5. Ambos son números Racionales, y podemos pasar de una forma a la otra, con el procedimiento adecuado. Para pasar de fracción a decimal dividíamos "el de arriba por el de abajo". Y eso es porque 3/2 significa "3 dividido 2".
Las divisiones exactas también se pueden representar como fracción, pero son esos casos en que al simplificar la fracción me termina quedando un número entero. Por ejemplo: 6/3 significa "6 dividido 3", que dá como resultado 2. Si simplificamos 6/3, queda 2/1 es decir 2.


¿Por qué en una fracción se puede simplicar algo que esté multiplicando tanto arriba como abajo?

En una fracción podemos considerar que todo lo que está "abajo" (en el denominador) está dividiendo a lo que está "arriba" (el numerador). Y lo que está "arriba", está multiplicando. Por ejemplo:

En   7.3 / 8.5                  el 7 y 3 "están multiplicando"; y el 8 y el 5 "están dividiendo"

Pensándolo así, si el mismo número estuviera arriba y abajo, ese mismo número estaría multiplicando y dividiendo al mismo tiempo, entonces podemos anular ambas operaciones ya que "una deshace lo que la otra hace". Son operaciones inversas u opuestas, y al hacerlas con el mismo número es lo mismo si no estuvieran, por eso podemos "cancelarlas". Eso es en general lo que hacemos cuando simplificamos en cualquier caso.

(x + 1). 10 / 8.(x + 1)        Los (x + 1) están "multiplicando y dividiendo", entonces los puedo cancelar.

Ésta es simplemente una forma práctica de pensarlo y que pueden usar, pero siempre teniendo en cuenta que (x + 1) es desigual a 0 (cero).


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 8:

a².(x - 2) - 2x.(x - 2) + (x - 2) + ab.(x - 2) = (x - 2).(a² - 2x + 1 + ab)

(a + b).3x + 5.(a + b) - xy.(a + b) = (a + b).(3x + 5 - xy)

x.(x² + 1) + y.(x² + 1) = (x² + 1).(x + y)

3.(x - 4) + (x - 4).ab - (x - 4).z = (x - 4).(3 + ab - z)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 2 (Factor común entre las letras)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)

AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)

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