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EXPLICACIÓN:
Nota: Para entender este caso, primero hay que saber sacar Factor
Común, es decir, saber aplicar el P RIMER
CASO DE FACTOREO.
PASO 1: Agrupación de a dos términos
Agrupo de la siguiente manera:
4a con 4b (ya que entre hay factor común
"4" entre ellos). Y, por otro lado:
xa con xb (ya que hay factor común "x" entre
ellos)
(¿se podría haber agrupado de
otra forma?)
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a + b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(a + b)
Como estoy sacando factor común "positivo", la "x" es positiva, y por eso las dos expresiones quedan sumando,
así:
4. (a + b) + x. (a + b)
Ese signo "+" puedo pensar que corresponde a la x, porque saqué factor común
positivo x, es decir "+ x". (pero quiero estar más
seguro)
PASO 2: Sacar factor común (a + b)
En lo que quedó en el paso anterior, puedo ver algo que está "repetido".
Es la expresión (a + b). Y está multiplicando en los dos términos que tiene
ahora el polinomio (¿cuáles son los dos términos?).
Si algo está multiplicando en todos los términos de un polinomio, puedo decir
que ese algo es un "factor común" (¿qué
es "factor común"?). Esta vez tengo una expresión de dos
términos como factor común (¿qué es
una "expresión de dos términos"?). Es la expresión (a + b). No importa que tenga dos términos, debo verla como un todo, como si
fuera un sólo número o letra. Como si fuera un sólo término. Y para eso la
conservo entre paréntesis.
Entonces, ahora aplico de nuevo el caso "Factor
común", siendo mi nuevo factor común la expresión (a + b). (¿No
hay una manera más fácil de pensar este paso?) En la
sección dedicada al Primer Caso, hay un ejemplo donde explico cómo sacar factor
común cuando el factor común es una expresión de dos términos.
(FACTOR
COMÚN - EJEMPLO 8)
Como todo factor común, (a + b) "sale multiplicando a un paréntesis":
(a + b).(4 + x)
Y dentro del segundo paréntesis, van los resultados de las divisiones:
4. (a + b) dividido (a + b), dá como resultado 4
x. (a + b) dividido (a + b), dá como resultado x
(El
fundamento de estas divisiones)
La manera "práctica" y rápida de hacer estas divisiones con facilidad, es pensar
en "sacar". Así:
" Si a 4.(a + b), le saco el (a + b), ¿qué me queda?: El 4
"
" Si a x.(a + b), le saco el (a + b), ¿qué me queda?: La x
"
Pero para entender realmente lo que estamos haciendo (sólo recomendable para
interesados), lleva más tiempo y esfuerzo: El fundamento
de estas divisiones
Y si realmente no quieren pensar en sacar factor común (a + b), hay un truquito
para hacer el segundo paso sin pensar para nada en ningún factor común, sólo hay
que mirar un poco y acordarse qué hacer: Una manera fácil de hacer el segundo paso
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Cómo puedo saber si estoy haciendo lo correcto en cada paso?
Como en cada ejercicio de factoreo, existe la posibilidad de VERIFICAR,
usando la Propiedad Distributiva. Lo que estamos "verificando" es que la
expresión que obtuvimos es equivalente a la original. Y podemos hacerlo en cada
paso, si no estamos seguros de su exactitud.
Por ejemplo, en el primer paso de este ejemplo, yo hice:
4. (a + b) + x. (a + b)
Si no estoy seguro de que eso está bien, si dudo de ese signo más del medio,
puedo aplicar la Propiedad Distributiva, y me queda:
4.a + 4.b + x.a + x.b
¡Y ése es el polinomio que a mi me dieron! ¡Entonces son iguales! Quiere decir
que ese paso es correcto, porque me llevó a una expresión equivalente, que pude
comprobar que lo es usando la conocida Propiedad Distributiva de cuya validez no
dudo.
Una manera fácil de hacer el segundo paso (pero sin entender por qué se hace)
Ésta es una forma de hacerlo "de
memoria", sin entender por qué lo hacen (pero efectiva en última instancia). Es
así:
En el primer paso llegamos a :
4. (a + b) +
x. (a + b)
Entonces en el segundo paso, hago:
(4 + x).(a + b)
Es decir, tomo el "4", el "+" y la "x", y lo pongo todo junto entre paréntesis;
multiplicando a (a + b), que es lo que se repite en el paso anterior.
Lo que tiene de "fácil" este truco, es que se pone todo en el mismo
orden que ya está. Hasta se puede pensar así: "Borro el primer (a + b) y
listo".
Otros ejemplos para reforzar esta "técnica":
3. (a + b) - x. (a + b), pasaría a (3 - x).(a + b)
7. (x - 1) - b. (x - 1), pasaría a (7 - b).(x - 1)
-5. (a - b) + x. (a - b), pasaría a (-5 + x).(a-b)
Espero que vean la relación, y sino... mejor entender que estoy sacando factor
común por segunda vez.
¿Se podría haber elegido una agrupación diferente en este ejemplo?
Sí. 4a con xa (ya que hay factor común "a" entre ellos), y 4b con xb (ya que
hay factor común "b" entre ellos. El ejercicio se resolvería así::
4a + 4b
+ xa + xb =
Agrupé 1ero con 3ero, y 2do con 4to.
a. (4 + x) + b. (4 + x) =
Saqué factor común en las dos agrupaciones
(4 + x).(a + b)
Obviamente el resultado es igual al que nos dió con la otra agrupación, ya que
(4 + x).(a + b) es igual a (a + b).(4 + x), porque la multiplicación
es una operación "conmutativa" ("se puede cambiar el orden y dá igual").
¿Cuáles son los dos términos del polinomio
4. (a + b) + x. (a + b)?
4. (a + b) es un término, y x.(a + b) es el otro término.
Te habrán dicho alguna vez que "los signos más (+) y (-) separan términos".
También habrás aprendido tú mismo a "separar en términos" antes de resolver un
ejercicio "combinado" (operaciones combinadas). Separa en términos a 4. (a + b)
+ x. (a + b), como acostumbras a hacerlo en un ejercicio combinado, y verás que
el signo "+" central divide al polinomio en los dos términos que te dije.
¿A qué le llamo "expresión de dos términos"?
Llamo "expresiones de dos términos" (por "expresión algebraica"), a sumas o restas
de términos con letras y/o números, u otras
operaciones, que uso "sin resolverlas", así como están. O porque no se pueden
resolver porque tienen letras, o porque quiero dejarlas sin resolver para que se
observe algo en ellas. La palabra "expresión" tiene que dar la idea del
significado que tiene. Se trata de algo que está "expresado", una operación
"expresada", no resuelta.
En el Caso de Factoreo que estamos tratando, tengo que hablar de "expresiones
de dos términos"
en el segundo paso, cuando saco como factor común por segunda vez, ya que el
factor común es una "suma no resuelta", o "resta no resuelta" (o sea,
dos términos) como
(a + b) por ejemplo; y no es un número o letras en un sólo
término (como 8xa por ejemplo), como acostumbramos sacar en el primer caso de
factoreo.
Ejemplos de expresiones de dos términos:
(a + b)
2x + 5
x + y - z
5 + 4, en lugar de "9"
x2 - 1
Si voy a multiplicar, dividir, o restar de alguna de estas expresiones, debo
ponerlas entre paréntesis, para indicar que la operación se la estoy aplicando a
TODA la expresión, es decir a todos los términos de la expresión. Por ejemplo:
Si quiero multiplicar a (a + b) por 2, debo hacerlo así: 2. (a + b)
Si quiero restarle a 7 la expresión 2x + 5, debo hacerlo así: 7 - (2x + 5)
Si voy a dividir por 3 a la expresión x + y - z, debo ponerlo así: (x + y -z ): 3
Porque si yo pusiera "2.a + b", el "2" estaría multiplicando sólo a la letra
"a", y no a la letra "b".
Esto es simplemente una cuestión de cómo interpretamos los símbolos por
convención, según las reglas ya establecidas. Cuando vemos 2.a + b, nos exigen
interpretarlo como: "Multiplica por 2 a la "a", y luego súmale "b"". Y por eso
también nos hacen "separar en términos" (el signo "+" separa los dos términos: 2a
por un lado y b por el otro). Eso de "separar en términos", es en realidad
"interpretar el lenguaje", comprender qué quiere que haga la persona
que inventó el ejercicio, en
qué orden quiere que yo haga las operaciones.
Entonces, si nosotros queremos representar que el 2 está multiplicando a "a + b"
como un todo (es decir al resultado de la suma), debemos usar esas mismas reglas
del lenguaje simbólico que nos enseñan, y poner 2.(a + b). Porque sino, si lo
lee otra persona que usa el mismo lenguaje, lo va interpretar de otra manera,
dando un resultado diferente.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:
ax + ay + 2x + 2y =
a. (x + y) + 2. (x + y) =
(x + y).(a + 2)
3x2 + 6x + 5xa + 10a =
3x. (x + 2) + 5a. (x + 2) =
(x + 2).(3x + 5a)
8xb + 2x3 + 4ba + ax2 =
2x. (4b + x2) + a. (4b + x2) =
(4b + x2).(2x + a)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR
COMÚN EN GRUPOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado
desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos son negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)
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