FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")

4a - 4b - xb + xa =

4. (a - b) + x. (- b + a) =

4. (a - b) + x. (a - b) =

     (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EXPLICACIÓN:


PASO 1: Agrupación de a dos términos

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(-b + a)

4. (a - b) + x. (-b + a)           (para saber por qué el signo +, consultar en el EJEMPLO1)


PASO 2: Ordenar los términos

Los resultados de sacar factor común en las dos agrupaciones son iguales, aunque no lo parezca a simple vista:

(a - b) es lo mismo que (-b + a). Se trata de las mismas letras, con el mismo signo cada una, pero en otro orden. Analicemos cada uno:

En (a - b), la "a" es "positiva", y la "b" es "negativa"       (¿por qué la "a" es "positiva"?)
En (-b + a), la "a es "positiva", y la "b" es "negativa"
(más explicación sobre estos "análisis")

Si invierto en orden en (-b + a), me queda (+a - b), que es lo mismo que (a - b), ya que el "+" adelante de la "a" no se pone (¿por qué no se pone el "+"?)
Entonces, como (-b + a) es igual que (a -b), puedo reemplazarlo, y queda:

4. (a - b) + x. (a - b)


PASO 3: Sacar Factor Común (a - b)

Llegamos entonces a la situación normal, vista ya en el PASO 2 de los Ejemplos 1 ó 3. Podemos sacar factor común (a - b)

(a - b).(4 + x)              (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?

Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a con xa por un lado, y 4b con xb por otro lado.
Pero cuando saco factor común "positivo" (como es costumbre hacer) en ambos grupos, me queda lo siguiente:

4a - 4b - xb + xa =                Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
a. (4 + x) + b. (-4 - x) =         Saqué factor común en las dos agrupaciones

Se puede ver que los resultados no son idénticos: (4 + x) por un lado, y (-4 - x) por otro lado. Pero se puede hacer un "pequeño arreglo" para que los resultados queden iguales. Un caso como éste es lo que se explica en el EJEMPLO 5.
También, ante esta situación, se puede tener en cuenta de que existe la posibilidad de "sacar factor negativo". En un ejemplo como éste, al sacar factor común "b", podríamos ir "especulando" que si sacara factor común "-b", me quedarían bien los signos.
(¿cómo se saca factor común negativo?)

Les voy a dar la conclusión de este ejemplo, aunque nos estamos adelantando a lo que se explica en el EJEMPLO 5. Así que no es imprescindible que lo entiendan aún:

a. (4 + x) - b. (4 + x) =
(4 + x).(a - b)


¿Por qué en (a - b) digo que la "a" es positiva?

Como la "a" no tiene símbolo + ó - delante, hay que considerar que tiene un "+" delante. Así como cuando vemos por ejemplo:  "5 - 8" , decimos que el 5 es positivo, o que tiene un "+" adelante, aunque no se pone ese "+", porque se toma como sobrentendido que está. De nuevo es un asunto de "ahorro de símbolos".
Cuidado, no quiere decir que el VALOR de "a" sea positivo (de todos modos en este tema no nos importan los valores que toman las letras). Lo que quiere decir es que la "a" está sumando.
Entonces aclaremos este asunto:

(a - b)  es lo mismo que (+a - b), y es lo mismo que (-b + a)
(a + b) es lo mismo que (+a + b), y es lo mismo que (b + a), y que (+b + a)
(b - a) es lo mismo que (+b - a), y es lo mismo que (b - a)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 4:

ax - ay - 2y + 2x =
a. (x  - y) + 2. (-y + x) =
a. (x  - y) + 2. (x - y) =
(x - y).(a + 2)

3x² - 6x - 10a + 5xa  =
3x. (x - 2) + 5a. (-2 + x) =
3x. (x - 2) + 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x + 5a)

8xb - 2x³ - ax² + 4ba  =
2x. (4b - x²) + a. (- x² + 4b) =
2x. (4b - x²) + a. (4b - x²) =
(4b - x²).(2x + a)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos son negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)

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