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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12


EJEMPLO 12: (Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de otros números impares)

x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)

               x2      4

Esta es una suma de potencias pares que sí se puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera, es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2 y 4. La división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de polinomios.


EXPLICACIÓN:

x6 + 64 es una Suma de potencias sextas, ya que 64 es igual a 26. Pero una Suma de potencias pares no es divisible ni por la Suma ni por la Resta de las bases, como ya expliqué en el EJEMPLO 4 (CONCEPTOS - EJEMPLO 4). Ahora, resulta que x6 y 64 también son potencias terceras. Entonces, lo puedo factorizar como Suma de potencias terceras, que son potencias impares. x6 es potencia tercera, ya que es igual a (x2)3; y 64 es potencia tercera, ya que es igual a 43. (¿cómo me doy cuenta de eso?)

x6 + 64 = (x2)3 + 43. Entonces las bases de las potencias terceras son x2 y 4.
               x2      4

Tomando esas bases, lo puedo factorizar usando la división común de polinomios (no la de Ruffini), o con la Regla para el Sexto Caso. Recordemos que la división de Ruffini sólo se puede aplicar con divisores de grado 1, y aquí queremos dividir por un polinomio de grado 2 (x2 + 4).


A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) "Bajo las bases", que son x2 y 4 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x6 y 64.

2) Divido el polinomio (x6 + 64) por el polinomio (x2 + 4). Porque en la SUMA de potencias IMPARES, debo dividir por la SUMA de las bases. Pero no puedo utilizar la división de Ruffini, porque la x está elevada a la potencia 2. Entonces, utilizo la división común de polinomios:


 x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 64 |   x2 + 4           
-x6       - 4x4                                          
                                       x4 - 4x2 + 16 
           -4x4 + 0x3 + 0x2
            4x4 +      16x2
                           
                      
16x2 + 0x + 64
                      -16x2      + 64
                                     
                                   0
                                   /


Entonces: 

x6 + 64 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO



x6 + 64 = (x2)3 + 43. Entonces las bases de las potencias terceras son x2 y 4.
               x2      4

1) Las bases son entonces x2 y 4

2) Por ser x6 + 64 ó (x2)3 + 43 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de las bases, que son x2 y 4 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x6 + 64 = (x2 + 4).(..................)
x2     4

3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (x2)2 y el 40. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno menos que el polinomio a factorizar, que estoy tomando como potencia tercera y no sexta), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x2 en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del número 4. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

x6 + 64 = (x2 + 4).[(x2)2.40 - (x2)1.41 + (x2)0.42]= 


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

= (x2 + 4).(x4.1 - x2.4 + 1.16)=

= (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)

          
Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Todas las potencias pares pueden factorizarse así?

No. Como ya lo dije en varios apartados, solamente pueden factorizarse así las potencias pares cuyo exponente sea múltiplo de algún número impar. Por ejemplo:

 x6, porque 6 es múltiplo del número impar 3. Y entonces, x6 puede verse como (x2)3: una potencia de exponente 3, el cual es un número impar, y cuya Suma sí puede factorizarse.

x10, porque 10 es múltiplo del número impar 5. Y entonces, x10 puede verse como (x2)5: una potencia de exponente 5, el cual es un número impar y cuya Suma sí puede factorizarse.

x12, porque 12 es múltiplo de 3. Y entonces x12 puede verse como (x4)3: una potencia impar.

x14 = (x2)7, entonces puede factorizarse como potencia séptima.

etc.

Y ejemplos de las que no pueden factorizarse son las potencias de exponente: 4, 8, 16, 32, etc., las cuáles no tienen un divisor impar, y por lo tanto no se pueden ver como potencias impares.


¿Y por qué no se puede usar la Regla de Ruffini para hacer la división?

Sólo podemos usar Ruffini para dividir por polinomios de la forma (x + a), siendo a un número racional (puede ser positivo o negativo). Por ejemplo, podemos dividir con Ruffini con los siguientes divisores: (x + 2), (x - 1), (x + 1/2), (x -5), etc. No podemos usar la Regla de Ruffini si queremos dividir por polinomios de grado mayor que 1, si en el primer término hay dos letras (ax + 2 por ejemplo), o si en el primer término hay un número junto a la letra (3x + 1 por ejemplo). En ejemplos como éste que estamos viendo, siempre el divisor es un polinomio de grado mayor que 1, por ejemplo: (x2 + 4), (x4 - 9), etc.


¿Cómo me doy cuenta de que x6 es igual a (x2)3, y entonces puedo "verlo" como potencia tercera?

Primero debo darme cuenta de que 6 es múltiplo de algún número impar. Obviamente es múltiplo de 3, ya que 6 = 2.3. Entonces, puedo escribirlo como potencia tercera recordando una de las Propiedades de las Potencias: Potencia de Potencia, en la cual "se multiplican los exponentes". Así, puedo escribir a x6 como potencia de otra potencia, de modo que sus exponente multiplicados den 6. Como quiero que sea una potencia impar, pongo el 3 "afuera" y el 2 "adentro", así: (x2)3.

Otros ejemplos:

x12. Primero que nada debo darme cuenta de que 12 es múltiplo de 3, y es igual a 3 por 4. Entonces, pongo el 3 afuera y el 4 adentro, porque el 3 es impar pero el 4 es par. Así: (x4)3. Si lo hiciera al revés, me quedaría una potencia cuarta, que es par y no sirve para factorizar su suma.

x10. Primero debo darme cuenta de que 10 es igual a 2 por 5. Y para que quede como potencia impar, pongo el 5 afuera y el 2 adentro: (x2)5.


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16) = x6 - 4x4 + 16x2 + 4x4 - 16x2 + 64 = x6 + 64

Se puede ver que hay términos "opuestos": -4x4 y 4x4, 16x2 y -16x2 (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x6 y 64. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 12:


x10 + 1024 = (x2)5 + 45 = (x2 + 4).(x8 - 4x6 + 16x4 - 64x2 + 256)
                   x2       4


x6 + 1 = (x2)3 + 13 = (x2 + 1).(x4 - x2 + 1)
             x2       1


x12 + y12 = (x4)3 + (y4)3 = (x4 + y4).(x8 - x4y4 + y8)
                 x4        y4


a14 + b14 = (a2)7 + (b2)7 = (a2 + b2).(a12 - a10b2 + a8b4 - a6b6 + a4b8 - a2b10 + b12)
                  a2       b2



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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