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SUMA O RESTA DE POTENCIAS
DE IGUAL GRADO
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 12
EJEMPLO 12: (Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de
otros
números impares)
x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)
x2 4
Esta
es una suma de potencias pares que sí se
puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera,
es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que
es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya
que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2
y 4. La
división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de
polinomios.
EXPLICACIÓN:
x6 + 64 es una Suma de potencias sextas, ya que 64 es igual a 26. Pero
una Suma de potencias pares no es divisible ni por la Suma ni por la Resta de
las bases, como ya expliqué en el EJEMPLO 4 (CONCEPTOS
- EJEMPLO 4). Ahora, resulta que x6 y 64 también
son potencias terceras. Entonces, lo puedo factorizar como Suma de potencias
terceras, que son potencias impares. x6 es
potencia tercera, ya que es igual a (x2)3; y 64 es potencia tercera, ya
que es igual a 43. (¿cómo me doy cuenta de
eso?)
x6 + 64 = (x2)3 + 43. Entonces las
bases de las potencias terceras son x2 y 4.
x2
4
Tomando esas bases, lo puedo factorizar usando la división común de polinomios
(no la de Ruffini), o con la Regla para el Sexto Caso. Recordemos que la
división de Ruffini sólo se puede aplicar con divisores de grado 1, y aquí
queremos dividir por un polinomio de grado 2 (x2
+ 4).
A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:
1) "Bajo las bases", que son x2
y 4 (¿qué
son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x6 y
64.
2) Divido el polinomio (x6 + 64) por el polinomio (x2 + 4). Porque en la
SUMA de potencias IMPARES, debo dividir por la SUMA de las bases. Pero no puedo
utilizar la división de Ruffini, porque la x está elevada a la potencia 2.
Entonces, utilizo la división común de polinomios:
x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2 + 0x + 64 | x2
+ 4
-x6 - 4x4
x4 - 4x2 + 16
-4x4 + 0x3 +
0x2
4x4 +
16x2
16x2 + 0x + 64
-16x2 + 64
0
/
Entonces:
x6 + 64 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:
Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este
ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la
pueden ver en:
REGLA
PARA EL SEXTO CASO
x6 + 64 = (x2)3 + 43. Entonces las
bases de las potencias terceras son x2 y 4.
x2
4
1) Las bases son entonces x2 y 4
2) Por ser
x6 + 64 ó (x2)3 + 43
una
SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de las bases, que son x2
y 4 (¿qué
son las bases?). Voy "armando" el resultado:
x6 + 64 = (x2 + 4).(..................)
x2 4
3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (x2)2 y
el 40.
Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno
menos que el polinomio a factorizar, que estoy tomando como potencia tercera y
no sexta), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente
de x2 en los siguientes términos, mientras que subo el
exponente del número 4. Los términos irán con los signos alternados (+ - + -
+ -), porque así dice la regla que deben ser cuando se
factoriza una SUMA. Me queda así:
x6 + 64 =
(x2 + 4).[(x2)2.40 - (x2)1.41 +
(x2)0.42]=
4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más
simple:
=
(x2 + 4).(x4.1 - x2.4 + 1.16)=
=
(x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)
Para una explicación
completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del
Caso están en CONCEPTOS
- SEXTO CASO
¿Todas las potencias pares pueden factorizarse así?
No. Como ya lo dije en varios apartados, solamente pueden factorizarse así las
potencias pares cuyo exponente sea múltiplo de algún número impar. Por
ejemplo:
x6, porque 6 es múltiplo del número impar 3. Y entonces, x6
puede verse como (x2)3: una
potencia de exponente 3, el cual es un número impar, y cuya Suma sí puede
factorizarse.
x10, porque 10 es múltiplo del número impar 5. Y entonces, x10
puede verse como (x2)5: una
potencia de exponente 5, el cual es un número impar y cuya Suma sí puede
factorizarse.
x12, porque 12 es múltiplo de 3. Y entonces x12 puede verse
como (x4)3: una potencia impar.
x14 = (x2)7, entonces puede factorizarse como
potencia séptima.
etc.
Y ejemplos de las que no pueden factorizarse son las potencias de exponente: 4,
8, 16, 32, etc., las cuáles no tienen un divisor impar, y por lo tanto no se
pueden ver como potencias impares.
¿Y por qué no se puede usar la Regla de Ruffini para hacer la división?
Sólo podemos usar Ruffini para dividir por polinomios de la forma (x + a),
siendo a un número racional (puede ser positivo o negativo). Por ejemplo,
podemos dividir con Ruffini con los siguientes divisores: (x + 2), (x - 1), (x + 1/2), (x -5), etc. No podemos usar la Regla de
Ruffini si queremos dividir por polinomios de grado mayor que 1, si en el primer
término hay dos letras (ax + 2 por ejemplo), o si en el primer término hay un
número junto a la letra (3x + 1 por ejemplo). En ejemplos
como éste que estamos viendo, siempre el divisor es un polinomio de grado mayor
que 1, por ejemplo: (x2 + 4), (x4 - 9), etc.
¿Cómo me doy cuenta de que x6 es igual a (x2)3, y entonces
puedo "verlo" como potencia tercera?
Primero debo darme cuenta de que 6 es múltiplo de algún número impar.
Obviamente es múltiplo de 3, ya que 6 = 2.3. Entonces, puedo escribirlo como
potencia tercera recordando una de las Propiedades de las Potencias: Potencia
de Potencia, en la cual "se multiplican los exponentes". Así,
puedo escribir a x6 como potencia de otra potencia, de modo que sus
exponente multiplicados den 6. Como quiero que sea una potencia impar, pongo el
3 "afuera" y el 2 "adentro", así: (x2)3.
Otros ejemplos:
x12. Primero que nada debo darme cuenta de que 12 es múltiplo de 3, y
es igual a 3 por 4. Entonces, pongo el 3 afuera y el 4 adentro, porque el 3 es impar
pero el 4 es par. Así: (x4)3. Si lo hiciera al revés, me quedaría una
potencia cuarta, que es par y no sirve para factorizar su suma.
x10. Primero debo darme cuenta de que 10 es igual a 2 por 5. Y para
que quede como potencia impar, pongo el 5 afuera y el 2 adentro: (x2)5.
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:
(x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16) = x6
- 4x4 + 16x2 + 4x4 - 16x2 + 64 = x6
+ 64
Se puede ver que hay términos "opuestos": -4x4 y 4x4,
16x2 y -16x2 (¿qué
es el opuesto?).
Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan
los términos x6 y 64. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la
factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización
es correcta.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 12:
x10 + 1024 = (x2)5 + 45 = (x2
+ 4).(x8 - 4x6 + 16x4 - 64x2 + 256)
x2 4
x6 + 1 = (x2)3 + 13 = (x2
+ 1).(x4 - x2 + 1)
x2 1
x12 + y12 = (x4)3 + (y4)3
= (x4 + y4).(x8 - x4y4
+ y8)
x4 y4
a14 + b14 = (a2)7 + (b2)7
= (a2 + b2).(a12 - a10b2
+ a8b4 - a6b6 + a4b8
- a2b10 + b12)
a2 b2
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la
primera letra)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo
término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con
Ruffini")
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